一、问题的提出一元函数的泰勒公式：能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.问题：二、二元函数的泰勒公式表示表示其中记号一般地,记号证引入函数显然由的定义及多元复合函数的求导法则,可得利用一元函数的麦克劳林公式，得其中证毕其中上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.例1解其中三、极值充分条件的证明利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2．证依二元函数的泰勒公式，注:及考察函数及3、阶麦克劳林公式；四、小结1、二元函数的泰勒公式；2、二元函数的拉格朗日中值公式；4、极值充分条件的证明.练习题练习题答案意义：可用次多项式来近似表达函数，且误差是当时比高阶的无穷小．
即设在点的某一邻域内连续且有直到阶的连续偏导数,为此邻域内任一点,能否把函数近似地表达为的次多项式，且误差是当时比高阶的无穷小．
定理设在点的某一邻域内连续且有直到阶的连续偏导数,为此邻域内任一点,则有
将,及上面求得的直到阶导数在的值,以及在的值代入上式.即得
公式称为二元函数在点的阶泰勒公式,而的表达式称为拉格朗日型余项.
由二元函数的泰勒公式知,的绝对值在点的某一邻域内都不超过某一正常数.于是,有下面的误差估计式:
由式可知,误差是当时比高阶的无穷小.
当时,公式成为
推论如果函数的偏导数,在某一邻域内都恒等于零,则函数在该区域内为一常数.
在泰勒公式中,如果取,则式成为阶麦克劳林公式.
求函数的三阶麦克劳林公式.
又,故
定理2（充分条件）
设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，
又,，
令，，
，
则在点处是否取得极值的条件如下：
（1）时有极值，
当时有极大值，当时有极小值；
（2）时没有极值；
（3）时可能有极值.
对于任一有
因的二阶偏导数在内连续,由不等式可知,存在点的邻域,使得对任一有
设,即
将在点处的值记为,其他类似.
由式可知,当时,及都不等于零且两者同号.于是式可写成
当不同时为零且时,上式右端方括号内的值为正,所以异于零且与同号.
设,即
又由的二阶偏导数的连续性知与同号,因此与同号,当时为极小值,当时为极大值.
先假定则
其中
分别令及,则由式可得
当时,以上两式方括号内的式子分别趋于极限
从而当充分接近零时,两式方括号内的值有相反的符号,因此可取不同符号的值,所以不是极值.
再证不同时为零的情形.不妨先取,于是由式得
当充分接近零时,与同号.
其中是异于零但充分接近于零的数,则可发现,当充分小时,与异号.
但如果取
如此证明了:在点的任意邻近,可取不同符号的值,因此不是极值.
容易验证,这两个函数都以为驻点,且在点处都满足.但在点处有极小值,而在点处却没有极值.
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