实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？一、问题的提出每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.二、多元函数的极值和最值播放1、二元函数极值的定义(1)(2)(3)例1例２例３2、多元函数取得极值的条件证仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？解3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.解如图,解由无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．三、条件极值拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．解则解可得即四、小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值拉格朗日乘数法思考题思考题解答练习题练习题答案二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；
不妨设在点处有极大值,
都有,
则对于的某邻域内任意
定理1（必要条件）
设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，.
必有;
有,
类似地可证.
说明一元函数在处有极大值,
推广如果三元函数在点具有偏导数，则它在有极值的必要条件为
，，
.
故当，时，
但不是极值点.
定理2（充分条件）
设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，
例如,点是函数的驻点，
则在点处是否取得极值的条件如下：
（1）时具有极值，
当时有极大值，当时有极小值；
（2）时没有极值；
（3）时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．
又,，
令，，
，
将上方程组再分别对求偏导数,
将方程两边分别对求偏导
由函数取极值的必要条件知,
驻点为,
例4求由方程
确定的函数的极值
当时，,
所以为极小值；
将代入原方程,
故,
当时，,
有,
函数在有极值.
所以为极大值.
第一步解方程组
第二步对于每一个驻点，
求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步定出的符号，再判定是否是极值.
求函数极值的一般步骤：
求出实数解，得驻点.
先求函数在内的驻点，
例5求二元函数
在直线，轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.
在边界和上,
且,
再求在边界上的最值，
解方程组
得区域内唯一驻点,
得
于是,
比较后可知为最大值,
为最小值.
由,
在边界上，即
得驻点和,
例6求的最大值和最小值.
所以最大值为，最小值为.
即边界上的值为零.
因为
拉格朗日乘数法
要找函数在条件下的可能极值点，
先构造函数，
其中为某一常数，可由
解出，其中就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数在条件
，
下的极值，
先构造函数
其中均为常数，可由偏导数为零及条件解出，即得极值点的坐标.
令,
解得唯一驻点，
故最大值为
例7将正数12分成三个正数之和使得为最大.
则，，
设为椭球面上一点,
过的切平面方程为
令,
例8在第一卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.
，，,
化简为,
所围四面体的体积,
该切平面在三个轴上的截距各为
,
由
令
,
在条件下求V的最小值,
，
四面体的体积最小.
当切点坐标为
(，，)时,
若及在点均取得极值，则在点是否也取得极值？
当时，在取极小值;
例如,
但在不取极值.
当时，在取极大值;
不是.
在平面上求一点,使它到及三直线的距离平方之和为最小.
求内接于半径为的球且有最大体积的长方体.
填空题:
函数在_______点取得极_________值为___________.
函数在附加条件下的极______值为_____________.
方程所确定的函数的极大值是___________,极小值是_____________.
在第一卦限内作球面的切平面,使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小,求切点的坐标.
一、1、(3,2),大,36；2、大,；3、7,-1.
二、.
三、当长,宽,高都是时,可得最大的体积.
四、
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