圆的一般方程教学设计
【一】教学背景分析
1、教材结构分析
《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时。圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。
2、学情分析
圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强。
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定了如下教学目标：
3、教学目标
知识与技能：(1)掌握圆的一般方程及一般方程的特点；
(2)能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径；
(3)能用待定系数法由已知条件求出圆的方程；
(4)能用相关点法求动点的轨迹方程。
过程与方法：(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；
(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察、思考能力；
(3)增强学生应用数学的意识。
情感、态度与价值观：
(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；
(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神；
(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
根据以上对教材、学情及教学目标的分析，我确定如下的教学重点和难点：
4、教学重点与难点
重点：(1)圆的一般方程；
(2)待定系数法求圆的方程；
(3)相关点法求动点的轨迹方程。
难点：圆的一般方程的应用，待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解。
【二】教法学法分析
1、教法分析
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“诱思探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上。
2、学法分析
众所周知，高中数学教学不仅要传授给学生基本的数学知识与技能，更要注重过程与方法，情感态度与价值观，因此我在教学活动中，不断地设置问题，提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，讨论交流，使学生在积极的学习中解决问题。因此我在教学贯穿“疑问”—“思考”—“探究与发现”—“问题解决”四个环节。教学中，我很关注学生已有的认知结构，学生数学思维的形成，以期提高学生的数学素养，实现素质教育的目标。
下面我就对具体的教学过程和设计意图加以说明：
【三】教学过程与设计意图
整个教学过程是由问题链驱动的，共分为六个环节，分别为：
课前快餐、巩固旧知创设情境、启迪思维?深入探究、获得新知?应用举例、巩固提高反馈训练、形成方法小结反思、拓展引申
（一）
课前快餐
巩固旧知
已知圆的圆心为，半径为r，则圆的标准方程为；
若圆心在坐标原点上，则圆的方程为
；
已知为一个圆的直径端点，则圆的方程为。
针对文科学生基础薄弱，学习能力稍欠的特点，在课堂上最有效的课前三分钟，设置“快餐”，对学生进行巩固性训练，这是我长期以来坚持的传统。
（二）
创设情境
启迪思维
直线方程的本质是二元一次方程，那圆的方程的本质又是什么呢？这是一个需要探讨的问题。
板书课题：圆的一般方程 通过对这问题的探究，一方面引导学生回顾了旧知，另一方面，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到研究圆的方程上来，激发了学生的学习兴趣和学习欲望。这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。
问：方程表示什么图形？
方程表示什么图形？
问：方程在什么条件下表示圆？
这样设计，目的在于:
使新知识建立在学生已有的知识之上，是旧知识的应用与延伸；
突破教学难点：形如++Dx+Ey+F=0的方程在什么条件下表示圆?认识到方程++Dx+Ey+F=0可能表示圆，但不一定，促使学生进一步探究在什么条件下，一定表示圆；
采用从特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。
（三）
深入探究
获得新知 （1）当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；
（2）当时，方程只有一组实数解，即只表示一个点；
（3）时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。
小结：方程表示的曲线不一定是圆，只有当时，它表示的曲线才是圆，形如的方程称为圆的一般方程。
通过对的分类讨论，使问题化难为易
问：1．圆的一般方程的特点？
2．比较圆的标准方程与一般方程的特点。
标准方程几何特征明显；一般方程代数特征明显。
通过让学生比较，体会，可以进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力，强化学生的观察，思考能力。
（四）
应用举例
巩固提高
例1、求下列方程表示的轨迹：
我设计了由特殊到一般的两个问题，一是巩固了本节所学的有关知识；二是让学生认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，增强学生应用数学的意识。
例2、
求过三点的圆的方程，并求出圆心坐标和半径。
例2是为圆的一般方程的应用而设置的。主要是让学生根据题设条件，运用待定系数法确定圆的一般方程中的系数D，E，F，从而求出圆的一般方程。
例题中没有给出图形，教学时，要求学生画出图形，加强数与形的联系。
教学中，我要求学生把例2的解题方法与上节例题中求圆的标准方程的解题方法作比较，谈体会，目的在于总结经验，归纳使用待定系数法的一般步骤。
例3、
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程。
通过对这个问题的解决，让学生理解用坐标法求动点的轨迹方程的思想方法，并掌握其一般步骤。如图，点A运动引起点M的运动，而点A在已知圆上运动，其坐标应满足方程+=4。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标（x，y）之间的关系，求出轨迹方程。
（五）
反馈训练
形成方法
练1.已知点，过点可作圆的两条切线，求的取值范围。
练2.已知,若坐标轴上的点C使,求C点的轨迹方程。
在这一环节中，我设计了两道题作为巩固性训练，给不同层次的学生一块“用武”之地，这样设计有助于培养学生勇于思考问题，探究问题的精神，充分调动学生学习的积极性，在积极的学习过程中解决问题。
（六）
小结反思
拓展引申
1、任一圆的方程都可以写成的形式，但方程表示的曲线不一定是圆。当时，它表示以为圆心，为半径的圆。
2、用待定系数法求圆方程的基本步骤：（1）设圆方程；（2）列方程组；（3）求系数；（4）小结。
3、求轨迹方程的基本思想：
求出动点坐标x、y满足的关系。
通过学生的讨论交流，把圆的一般方程加以小结，归纳总结用待定系数法及坐标法解题的基本步骤，提炼分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想。
（七）
分层作业
巩固提高
巩固型作业：
《红对勾》P65~P66
思维拓展型作业：
课本P124A组T6、B组T3
预习教材P126~P128《直线与圆的位置关系》，找出疑惑之处。
通过设置分层作业，让所有的学生既能吃得饱，又能吃得好，即让每一位同学都能体验到学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心。
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