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作者：量子杂志作家Charlie Wood 2021-6-17 译者：zzllrr小乐 2021-6-19 在普林斯顿大学的理论物理学家亚历山大·波利亚科夫( Alexander Polyakov)于 1981 年瞥见了量子理论的未来。从弦的摆动到夸克与质子的结合，一系列的谜团需要一种新的数学工具，来描绘出其轮廓。 “科学中有一些方法和公式可以作为解决诸多明显不同问题的万能钥匙，”他在现在著名的《物理快报 B》的四页信的介绍中写道。“目前我们必须开发一种在随机表面上处理求和的艺术。” 波利亚科夫的提议被证明是有力的。在他的论文中，他草拟了一个公式，粗略地描述了如何计算一种非常混乱的表面，即“刘维尔场”（ Liouville field）的均值。他的工作将物理学家带入了一个新的数学领域，这对于解开称为弦的理论对象的行为和构建量子引力的简化模型至关重要。 多年的辛劳使波利亚科夫为物理学中的其他理论找到突破性的解决方案，但他从未完全理解刘维尔场背后的数学。 然而，在过去的七年里，一群数学家完成了许多研究人员认为不可能的事情。在具有里程碑意义的出版物三部曲中，他们使用完全严谨的数学语言重新定义了波利亚科夫 的公式，并证明了刘维尔场完美地模拟了波利亚科夫预测的现象。
法国国家科学研究中心的Vincent Vargas 及其合作者取得了一项罕见的壮举：用简短的数学公式完美地描述了强相互作用的量子场论。（照片出处：IHES/MC Vergne） “我们在数学上花了 40 年的时间才弄懂了四页纸。”法国国家科学研究中心的数学家 Vincent Vargas说。他与艾克斯-马赛大学的 Rémi Rhode、赫尔辛基大学的Antti Kupiainen、法国国家科学研究中心的François David和巴黎萨克雷大学的Colin Guillarmou是共同作者。 这三篇论文在崭新的数学世界和混乱的物理学现实之间架起了一座桥梁——他们在概率论的数学领域开辟了新天地。这项工作还涉及有关在基础物理学主流理论中占据中心位置的物体的哲学问题：量子场。
“这是数学物理学的杰作，”宾夕法尼亚大学数学家Sun Xin说。 无限场在今天的物理学中，理论上最成功的主角是场——填充空间的物体，在不同的地方具有不同的取值。 例如，在经典物理学中，单个场会告诉你有关力如何推动物体的所有信息。以地球的磁场为例：罗盘指针的颤动揭示了磁场对地球上每一点的影响（其强度和方向）。 场也是量子物理学的核心。然而，由于量子理论的深度随机性，这里的情况更加复杂。从量子的角度来看，地球不会产生一个磁场，而是产生无数不同的磁场。有些看起来几乎就像我们在经典物理学中观察到的场，但其他的却大不相同。 但是物理学家仍然希望做出预测——在这种情况下，预测与登山者在指南针上看到的内容完美匹配。将量子场的无限形式透彻理解为单一预测是“量子场论”（简称QFT，内容详见zzllrr小乐公众号上一篇译作）的艰巨任务。这是一个或多个量子场如何运作和相互作用的模型，每个量子场都有无限的变化。 在大量实验支持的推动下，QFT 已成为粒子物理学的基本语言。标准模型就是一个这样的QFT，描绘了电子等基本粒子是从无穷电子场模糊碰撞中涌现出来的。迄今为止，它已经通过了所有实验测试（尽管各个小组可能即将找到第一个洞）。 物理学家尝试了许多不同的 QFT。一些，如标准模型，渴望模拟在我们宇宙的四个维度（三个空间维度加上一个时间维度）中移动的真实粒子。其他则描述了奇异宇宙中的奇异粒子，从二维平面到六维超级世界。它们与现实的联系是遥远的，但物理学家研究它们是希望获得可以带回我们自己世界的见解。 波利亚科夫的刘维尔场论就是这样一个例子。
重力场刘维尔场基于 1800 年代法国数学家 Joseph Liouville发展的复分析方程，描述了一个完全随机的二维表面——即，一个类似于地壳的表面，但其在每个点的高度都是随机选择的。这样的星球会爆发出无数山脉的高峰，每个山峰都 这样的对象可能看起来不像物理学的提供有用信息的模型，但随机性并非没有模式。例如，钟形曲线告诉你在街上随机走过一个 7 英尺高的篮球运动员的可能性有多大。同样，球状云和皱巴巴的海岸线遵循随机模式，但仍然有可能辨别出它们的大尺度和小尺度特征之间的一致关系。 刘维尔理论可用于识别所有可能的随机、锯齿状表面的无尽景观中的模式。Polyakov 意识到这种混沌地形对于弦的建模至关重要，弦在其移动时可以描绘出表面。该理论还被应用于描述二维世界中的量子引力。爱因斯坦将引力定义为时空的曲率，但将他的描述翻译成量子场论的语言会创造出无数的时空——就像地球产生无限的磁场一样。刘维尔理论将所有这些表面打包成一个对象。它为物理学家提供了测量随机二维表面上每个位置的曲率以及引力的工具。 “量子引力基本上意味着随机几何，因为量子意味着随机，引力意味着几何，”孙说。 波利亚科夫探索随机表面世界的第一步是写下一个表达式，定义找到特定尖刺行星的几率，就像钟形曲线定义遇到特定高度的人的几率一样。但是他的公式并没有带来有用的数值预测。 解决量子场论就是能够使用这个场来预测观察结果。在实践中，这意味着计算一个场的“相关函数”，它通过描述一个点的场测量与另一点的测量相关或以关联程度来刻画场的行为。例如，计算光子场中的相关函数可以为你提供量子电磁学的教科书定律。 Polyakov 追求的是更抽象的东西：随机表面的本质，类似于使云成为云或海岸线成为海岸线的统计关系。他需要刘维尔场随机高度之间的相关性。几十年来，他尝试了两种不同的计算方法。他从一种称为费曼路径积分的技术开始，最终开发了一种变通方法（称为bootstrap）。两种方法都以不同的方式出现问题，直到（本文提及的）新工作背后的数学家将它们结合在一起，形成了更精确的公式。 把它们加起来你可能会想象，解释一个量子场可以采取的无限多种形式几乎是不可能的。你可能是对的。1940 年代，量子物理学先驱理查德·费曼 (Richard Feynman) 开发了一种方法来处理这种令人困惑的情况，但事实证明该方法非常有限。 再以地球磁场为例。你的目标是使用量子场论来预测你在特定位置进行指南针读数时会观察到的情况。为此，费曼提议将所有场的形式汇总在一起。他认为你的读数将代表这个场所有可能形式的平均水平。将这些配置适当权重的无限场相加的过程称为费曼路径积分。 这是一个优雅的想法，它只针对选定的量子场产生具体的答案。没有任何已知的数学处理方法可以有意义地平均覆盖无限广阔空间的无限数量的物体。路径积分更像是一种物理哲学，而不是精确的数学配方。数学家质疑它作为有效运算的存在，并为物理学家依赖它的方式感到困扰。 德国波恩大学数学家Eveliina Peltola说：“作为一名数学家，我对一些未定义的事情感到不安。” 物理学家可以利用费曼的路径积分来计算最无聊的场的精确相关函数——自由场，它们不与其他场相互作用，甚至不与它们自身相互作用。另外，他们必须回避它，假装这些场是自由的，并添加温和的相互作用（即“扰动”perturbations）。这个程序被称为微扰理论，它为标准模型中的大多数场获得相关函数，因为自然力恰好非常微弱。 但它对Polyakov 不起作用。尽管他最初推测刘维尔场可能服从添加轻度扰动的标准技巧，但他发现它与自身相互作用太强。与自由场相比，刘维尔场在数学上显得高深莫测，其相关函数也显得高不可攀。
通过bootstrap往上爬Polyakov 很快开始寻找解决方法。1984 年，他与 Alexander Belavin 和 Alexander Zamolodchikov 合作开发了一种称为bootstrap的技术——一种逐渐通向一个场的相关函数的数学阶梯。 要开始爬梯子，你需要一个函数来表达一个场中仅三个点的测量值之间的相关性。这个“三点相关函数”，加上一些关于场的粒子可以拥有的能量的额外信息，形成了bootstrap梯子的底部梯级。 从那里你一次爬一个点：用三点函数构造四点函数，用四点函数构造五点函数，依此类推。但是，如果你在第一个 Polyakov、Belavin 和 Zamolodchikov 使用 bootstrap 成功地解决了各种简单的 QFT 理论，但就像费曼路径积分一样，他们无法使其适用于刘维尔场。 然后在 1990 年代，两对物理学家——Harald Dorn 和 Hans-Jörg Otto，以及Zamolodchikov 和他的兄弟 Alexei——设法找到了可以缩放梯子的三点相关函数，完全解决了刘维尔场（和它对量子引力的简单描述）。他们的结果，以他们的首字母缩写为 DOZZ 公式，让物理学家可以做出任何有关刘维尔场的预测。但即使是作者也知道他们有部分出于碰偶然巧，而不是通过可靠的数学。 “他们就是那种猜公式的天才，”Vargas说。 有 “在我看来，它就像科幻小说，”Kupiainen说。“这永远不会被任何人证明。” 驯服狂野的表面在 2010 年代初期，Vargas和Kupiainen 与概率论学家Rémi Rhodes和物理学家François David联手。他们的目标是将刘维尔场的数学松散端扎牢——使 Polyakov 放弃的费曼路径积分形式化，并且也许能揭开 DOZZ 公式的神秘面纱。 当他们开始时，他们意识到一位名叫Jean Pierre Kahane的法国数学家在几十年前发现了Polyakov大师理论的关键。 “从某种意义上说，刘维尔在我们之前没有被定义是完全疯狂的，”Vargas 说。“所有的材料都已经在那里。” 这一见解导致了 2014 年至 2020 年间完成的三篇数学物理学里程碑式论文。
他们首先完善了路径积分，这使Polyakov失败了，因为刘维尔场与自身强烈相互作用，使其与费曼的微扰工具不兼容。因此，数学家们使用 Kahane 的想法将狂野的刘维尔场改写为一个稍微温和的随机对象，称为高斯自由场（Gaussian free field）。高斯自由场中的峰值不会像刘维尔场中的峰值一样波动到相同的随机极值，这使得数学家可以以合理的方式计算平均值和其他统计量度。 “某种程度上来讲，这一切都只是使用高斯自由场，”Peltola 说。“从中他们可以构建理论中的一切。” 2014 年，他们公布了他们的成果：一个新的对Polyakov 在 1981 年写下的路径积分改进的版本，但完全根据可信的高斯自由场定义。费曼的路径积分哲学找到了可靠的数学处理方式，这是一个罕见的例子。 “路径积分可以存在，也确实存在，”德国电子同步加速器的物理学家Jörg Teschner说。 有了严格定义的路径积分，研究人员随后试图看看他们是否可以用它来从刘维尔场中获得答案并推导出其相关函数。目标是神话般的 DOZZ 公式——但它与路径积分之间的鸿沟似乎很大。 Kupiainen 说：“出于宣传原因，我们会在论文中写道，我们想要理解 DOZZ 公式。” 该团队花了数年时间推动他们的概率路径积分，确认它确实具有使bootstrap凑效所需的所有特性。他们这样做是建立在 Teschner 早期工作的基础上。最终，Vargas、Kupiainen 和 Rhodes 于2017 年发表了一篇论文，并于2020 年10 月与 Colin Guillarmou发表了另一篇论文。他们从路径积分中推导出 DOZZ 和其他相关函数，并表明这些公式与物理学家使用bootstrap得出的方程完全匹配。 “现在我们完成了，”Vargas 说。“两个对象都是一样的。” 这项工作解释了 DOZZ 公式的起源，并将bootstrap（数学家认为这是粗略的）与经过验证的数学对象联系起来。总而言之，它解决了刘维尔场的最终谜团。 “某种意义上来讲，这是一个时代的终结，”Peltola 说。“但我希望这也是一些新的、有趣的事情的开始。” QFT 的新希望Vargas和他的合作者现在手上有一只独角兽，一个强相互作用的量子场论（QFT） 被一个简短的数学公式以非微扰的方式完美地描述，该公式也可以进行数值预测。 现在真正价值百万美元的问题（克莱研究所千禧年难题之一《杨米尔斯的存在性和质量缺口》是世界七大数学难题之一，译者zzllrr小乐注）是：这些概率方法能走多远？他们可以为所有 QFT 生成整洁的公式吗？Vargas很快就打破了这种希望，坚称他们的工具是专门针对刘维尔理论的二维环境的。在更高维度，即使是自由场也太不规则了，所以他怀疑该小组的方法是否能够处理我们宇宙中引力场的量子行为。 但是，Polyakov 的“万能钥匙”的重新铸造将打开另一扇门。它的影响已经在概率论中体现出来，数学家现在可以不受“惩罚”地运用以前“狡猾”的物理公式。受到刘维尔工作的鼓舞，孙和他的合作者已经从物理学中导入方程来解决关于随机曲线的两个 问题。 物理学家也在更远的道路上等待切实的好处。 “[数学家] 会做一些我们甚至无法想象的事情，”Perimeter 研究所的理论物理学家Davide Gaiotto说。 |
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