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作者：比尔·安德鲁斯 2021-12-23 译者：zzllrr小乐 2022-1-3
数学家和计算机科学家在集合论、拓扑和人工智能方面取得了令人兴奋的突破，除了保留逐渐消失的知识和重新审视旧问题。他们在该领域的基本问题上取得了新的进展，庆祝跨越遥远的数学领域的联系，并看到数学与其他学科之间的联系在增长。但许多结果只是部分答案，一些有希望的探索途径被证明是死胡同，留给后代（和当代）工作。 已经忙碌了一年的拓扑学家看到了今年秋天出版的一本书，该书终于全面呈现了一部有 40 年历史但面临丢失危险的重要著作。11 年前创建的几何工具在不同的数学环境中获得了新生，连接了不同的研究领域。集合论中的新工作让数学家们更接近于理解无穷大的本质以及到底有多少实数。这只是数学中许多几十年前的问题之一，今年得到了某种形式的答案。 但数学并不是凭空存在的。今年夏天，量子杂志报道了对量子场论的数学理解日益增长的需求，量子场论是物理学中最成功的概念之一。同样，计算机正日益成为数学家不可或缺的工具，他们不仅使用计算机进行计算，还使用它们解决原本不可能的问题，甚至验证复杂的证明。随着机器在解决问题方面变得越来越好，今年在理解它们是如何变得如此擅长的方面也取得了新的进展。
保持拓扑 人们很容易认为，数学证明一旦被发现，就会永远存在。但是 1981 年的开创性拓扑结果有被遗失的危险，因为少数残存的理解它的数学家年龄渐长并离开了该领域。迈克尔·弗里德曼 (Michael Freedman) 对四维庞加莱猜想的证明表明，某些形状在某些方面与四维球体相似（或“同伦等价”）也必须在其他方面与四维球体相似，从而使它们“同胚”。（拓扑学家有自己的方法来确定两个形状何时相同或相似。）幸运的是，一本名为The Disc Embedding Theorem 的 新书在近 500 页中建立了弗里德曼令人惊讶的方法的不可绕开的逻辑，并在数学经典中牢固地确立了这一发现。 拓扑学的另一个近期主要成果涉及 Smale 猜想，该猜想询问四维球体的基本对称性是否基本上是它所具有的所有对称性。Tadayuki Watanabe 证明了答案是否定的——存在更多种类的对称性——并且在这样做的过程中，他开始了对它们的搜索，最近在 9 月份出现了新的结果。此外，两位数学家开发了“ Floer Morava K- theory ”，一个结合了辛几何和拓扑的框架；这项工作建立了一套新的工具来解决这些领域的问题，并且几乎顺便证明了一个名为阿诺德猜想的几十年前问题的新版本。
打开人工智能的黑匣子 无论是帮助数学家做数学还是帮助分析科学数据，深度神经网络这种建立在人工神经元层上的人工智能形式，都变得越来越复杂和强大。它们也仍然很神秘：传统的机器学习理论认为它们的大量参数应该会导致过度拟合和无法概括，但显然其他事情肯定会发生。事实证明，更老的、更好理解的机器学习模型，称为核机器（kernel machine），在数学上等同于这些神经网络的理想化版本，提出了理解和利用数字黑匣子的新方法。 但也有挫折。被称为卷积神经网络的相关 AI 很难区分相似和不同的对象，而且很有可能它们总是会这样做。同样，最近的工作表明，梯度下降——一种对训练神经网络和执行其他计算任务有用的算法——是一个根本性的难题，这意味着某些任务可能永远无法实现。量子计算尽管有其承诺，但在 3 月份也遭遇了重大挫折，当时一篇描述如何创建抗误差的拓扑量子位的主要论文被撤回，迫使曾经充满希望的科学家们意识到这样的机器可能是不可能的。（Scott Aaronson在专栏和视频中强调，这就是为什么量子计算机如此难以使用，甚至难以谈论。）
无限的本质 存在多少实数？一个多世纪以来，它一直是一个具有挑衅性且尚未解决的问题，但今年我们看到了朝着答案的重大进展。David Asperó 和 Ralf Schindler 在 5 月发表了一个证明，该证明结合了两个先前对立的公理：其中一个的变体，称为 Martin 的最大值，隐含了另一个，命名为 (*)（发音为“star”）。结果意味着两个公理更有可能为真，这反过来表明实数的数量比最初认为的要多，对应于基数ℵ₂ 而不是较小的ℵ₁（但仍然是无限的） . 这将违反连续统假设，该假设指出ℵ₀（对应于所有自然数的集合），与实数的连续统，这两个基数之间不存在另外的无穷大。但并非所有人都同意，包括 (*) 的原始创造者休·伍丁 (Hugh Woodin)，他发表了新作品，表明连续统假设毕竟是正确的。 这并不是唯一一个几十年前的问题被现代解决方案重新审视。1900 年，大卫·希尔伯特提出了 23 个未解决的重要问题，今年，数学家们对第 12 个问题（关于某些数字系统的构建块）和第 13 个问题（关于七次多项式的解法）发布了不完整的答案。二月还看到单位猜想是错误的，这意味着乘法逆实际上存在于比数学家想象的更复杂的结构中。一月份，亚历克斯·康托罗维奇（Alex Kontorovich）在一篇文章和视频中探讨了也许是数学中最大的未解决问题，即黎曼假设。
扩展数学桥梁 通常，一个伟大的数学进步不仅回答了一个重大问题，而且还提供了一种新的探索途径来尝试解决其他问题。Laurent Fargues 和 Jean-Marc Fontaine 在 2010 年左右创建了一个新的几何对象，这有助于他们自己的研究。但是，当结合 Peter Scholze 围绕完美空间的想法时，Fargues-Fontaine 曲线具有更广泛的意义，进一步将数论和几何连接起来，作为已有数十年历史的朗兰兹纲领的一部分。“这是两个不同世界之间的某种虫洞，”Scholze 说。 对朗兰兹纲领的其他思考包括对Ana Caraiani的采访，她的工作有助于加强和改善不同数学领域之间的类似联系，以及对位于原始朗兰兹猜想核心的伽罗瓦对称群的检查。
数学和计算机联手 现实世界的系统是出了名的复杂，偏微分方程 (PDE) 可以帮助研究人员描述和理解它们。但众所周知，偏微分方程也很难解决。两种新的神经网络——DeepONet 和傅立叶神经算子——已经出现，使这项工作变得更容易。两者都具有逼近算子的能力，可以将函数转换为其他函数，有效地允许网络将无限维空间映射到另一个无限维空间。新系统比传统方法更快地求解现有方程，它们还可能有助于为以前过于复杂而无法建模的系统提供偏微分方程。 事实上，今年计算机以各种方式显示对数学家有所帮助。一月份，量子杂志报道了量子计算机的新算法，该算法将允许它们处理非线性系统，其中相互作用会影响自身，首先将它们近似为更简单的线性系统。当一组数学家使用现代硬件和算法证明没有比 26 年前发现的类型更多的特殊四面体时，计算机也继续推进数学研究（一个名叫Lean的计算机证明助手，证明了一个高深莫测的现代证明的正确性）。
数学再次遇到物理 物理和数学总是相互重叠、相互启发、相互促进。量子场论（QFT ）的概念是物理学家用来描述涉及量子场的框架的一个包罗万象的概念，它取得了巨大的成功，但它建立在不稳定的数学基础上。将数学严谨性引入量子场论将有助于物理学家在该框架中工作并扩展该框架，但它也将为数学家提供一套新的工具和结构。在一个由四部分组成的系列中，量子杂志研究了当前困扰数学家的主要问题，探索了一个二维的小规模成功故事，与QFT 专家 Nathan Seiberg讨论了这些可能性，并在视频中解释了最突出的 QFT：标准模型。 |
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