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图片：unsplash 在被称为朗兰兹纲领的这个产生大量数学思想的种子开始萌芽50多年后，令人惊讶的新发现正在涌现。 作者：Rachel Crowell 2022-3-21 译者：zzllrr小乐 2022-6-30 在数学中，有一个庞大且不断扩大的猜想、定理和思想组成的网络，称为朗兰兹纲领。该纲领链接了看似断开连接的子领域。它是如此的有力，以至于一些数学家说它——或者说它的某些方面——位于千禧年奖问题（Millennium Prize Problems）的重要行列，千禧年奖问题是数学界一个最热门的开放问题列表（截至2022年，七大难题中仅有庞加莱猜想被解决，zzllrr小乐译注）。加州大学伯克利分校的数学家爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）甚至将朗兰兹纲领称为“一个数学大统一理论”(以对应于物理学的大统一理论GUT-Grand Unified Theory，zzllrr小乐译注 )。 该纲领以新泽西州普林斯顿高等研究院的数学家罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）的名字命名。四年前，他被授予阿贝尔奖，这是数学领域最负盛名的奖项之一，他因为他的纲领被描述为“有远见的人”。 朗兰兹已经退休，但近年来，该纲领已经萌芽成“几乎自我完善的数学领域，有许多不同的部分”，这些部分由“共同的灵感源泉”联合起来，萨斯喀彻温大学数学家和数学物理学家Steven Rayan说。它有“许多化身，其中一些仍然开放，一些已经被用美丽的方式解决了。 越来越多的数学家发现原始纲领及其分支——几何朗兰兹与其他科学领域之间的联系。研究人员已经发现了其与物理学的紧密联系，Rayan和其他科学家继续探索新的联系。他有一种预感，随着时间的推移，这些纲领和其他领域之间也会找到联系。“我认为我们只是处在冰山一角，”他说。“我认为，未来几十年最引人入胜的一些工作是看到朗兰兹在科学领域的结果和表现，到目前为止，与这种纯数学的相互作用可能还很微不足道。Rayan补充说，总的来说，朗兰兹仍然很神秘，要知道它的发展方向，他希望“看到对这些纲领真正来自哪里的理解。 令人费解的网络
图片来源：pixabay.com 朗兰兹纲领一直是一场出乎意料的诱人舞蹈，多伦多大学数学家詹姆斯·亚瑟（James Arthur）说。朗兰兹是亚瑟在耶鲁大学的导师，亚瑟于1970年在那里获得博士学位。（朗兰兹拒绝接受这个故事的采访）。 “我基本上是他的第一个学生，当时我很幸运能遇到他，”亚瑟说。“他不同于我见过的任何数学家。我提出的任何问题，特别是关于数学的更广泛方面的问题，他都会清楚地回答，通常是以一种比我所能想象的更鼓舞人心的方式。 在那段时间里，朗兰兹为后来与他同名的纲领奠定基础。1969年，朗兰兹手写了一封17页的信，写给法国数学家安德烈·韦伊（André Weil）。在那封信中，朗兰兹分享了后来被称为“朗兰兹猜想”的新想法。 亚瑟指出，1969年，朗兰兹在会议上发表了演讲，分享了最终发展成为朗兰兹纲领的七个猜想。有一天，亚瑟向他的导师要了一份基于这些讲座的预印本文件。 “他心甘情愿地给了我一个，毫无疑问，他知道这超出了我的范围，”亚瑟说。“但多年来，它也超越了其他人。然而，我可以说它是基于一些真正非凡的想法，即使其中的所有内容对我来说都是陌生的。 核心猜想
图片来源：pixabay.com 有两个猜想是朗兰兹纲领的核心。“朗兰兹纲领中的几乎所有东西都以某种方式来自它们，”亚瑟说。 互反猜想（reciprocity conjecture）与亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）的工作有关，其以代数几何研究而闻名，包括他对“动形”（motive）的预测。“我认为格罗滕迪克之所以选择[动形]这个词，是因为他把它看作是你在艺术、音乐或文学中拥有的主旨（motif，又译为主题、动机，zzllrr小乐译注）的数学类比物：隐藏的想法在艺术中没有明确阐述，但背后的东西以某种方式支配着它们如何组合在一起，”亚瑟说。 亚瑟指出，互反猜想认为这些动形来自朗兰兹发现的一种不同类型的分析数学对象，称为自守表示（automorphic representation）。他补充说：“'自守表示'只是满足薛定谔方程类似物的物体的流行行话。薛定谔方程预测了在某种状态下找到粒子的可能性。 第二个重要的猜想是函子性猜想（functoriality conjecture），也简称为函子性。它涉及对数域进行分类。想象一下，从一个系数为整数的变量的方程开始，例如x² + 2x + 3 = 0，然后寻找该方程的根。这个猜想预测，相应的域将是“通过对这些根的求和、求乘积和有理数倍数，所得到的最小的域，”亚瑟说。 探索不同的数学“世界”
图片来源：pixabay.com 亚瑟说，通过最初的纲领，朗兰兹“发现了一个全新的世界”。 几何朗兰兹的分支扩大了数学所涵盖的领域。Rayan解释了原始纲领和几何纲领提供的不同视角。“普通的朗兰兹是一堆想法，包括对应（correspondences），对偶（dualities）和在一个点上对世界的观察，”他说。“你的世界将由一系列相关数字来描述。你可以测量你所在位置的温度;你可以测量那个点的重力强度，“他补充道。 但是，使用几何纲领，你的环境变得更加复杂，并具有自己的几何图形。你可以自由移动，在你访问的每个点收集数据。“你可能不太关心单个数字，而是更关心它们在你的世界里是如何变化的，”Rayan说。你收集的数据“将受到几何学的影响”。因此，几何纲领“本质上是用函数代替数字”。 数论和表示论通过几何朗兰兹纲领连接。“从广义上讲，表示论是对数学中对称性的研究，”马萨诸塞大学阿默斯特分校的数学家Chris Elliott说。 使用几何工具和思想，几何表示论扩展了数学家对与对称相关的抽象概念的理解，Elliot指出。他说，表示论的这个领域是几何朗兰兹纲领“生活”的地方。 与物理学的交集
图片来源：unsplash.com 几何纲领已经与物理学联系在一起，预示着与其他科学领域的可能联系。 2018年，Rayan小组的博士后研究员Kazuki Ikeda在数学物理杂志发表了一项研究（ https://aip./doi/10.1063/1.4998635 ），他说这项研究与电磁对偶性（electromagnetic duality）有关，电磁对偶是“物理学中一个长期已知的概念”，例如，在量子计算机的纠错代码中可以看到。Ikeda说，他的研究结果“是世界上第一个表明朗兰兹纲领是一个极其重要和强大的概念，不仅可以应用于数学，还可以应用于凝聚态物理学”——对固态物质的研究——和量子计算。 根据Rayan的说法，凝聚态物理学和几何纲领之间的联系最近得到了加强。“在过去的一年里，各种研究已经走上舞台，”他说，包括他自己在量子物质背景下使用代数几何和数论的工作（https://www./doi/10.1126/sciadv.abe9170 ）。 其他工作在几何纲领和高能物理学之间建立了联系。2007年，加州理工学院的理论物理学家安东·卡普斯廷（Anton Kapustin）和高等研究院（Institute for Advanced Study）的数学和理论物理学家爱德华·威滕（Edward Witten）发表了Rayan所说的“一篇美丽的里程碑论文”，“为理论高能物理学中几何朗兰兹的积极生活铺平了道路”。在论文中，Kapustin和Witten写道，他们的目标是“展示如何将这个纲领理解为量子场论的一个篇章”（ https://www./site/pub/files/_fulltext/journals/cntp/2007/0001/0001/CNTP-2007-0001-0001-a001.pdf ）。 Elliott 指出，从数学角度看待量子场论可以帮助收集有关其基础结构的新信息。例如，朗兰兹可以帮助物理学家为与我们自己的世界维数不同的世界设计理论。 除了几何纲领之外，最初的朗兰兹纲领也被认为是物理学的基础，亚瑟说。但探索这种联系“可能需要首先找到一个将原始纲领和几何纲领联系起来的总体理论，”他说。 这些纲领的范围可能不会止步于数学和物理。“我相信，毫无疑问，[它们]对科学有解释，”Rayan说。“故事的凝聚态部分将自然而然地导致对化学的尝试。此外，他补充说，“纯数学总是进入其他科学领域。这只是时间问题。 原文链接： https://www./article/the-evolving-quest-for-a-grand-unified-theory-of-mathematics/ 相关推荐： 小乐数学科普：朗兰兹纲领是什么？——译自量子杂志Quanta Magazine |
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