历年高考数学真题(全国卷)
2009年普通高等招生全国统一考试
数学（理工农医类）
第I卷
选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，中有一项是符合题目要求的。
已知集合,则
(A)(B)
(C)(D)
解析：易有，选A
(2)复数
（A）0（B）2（C）-2i(D)2
解析：,选D
（3）对变量x,y有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2.由这两个散点图可以判断。
（A）变量x与y正相关，u与v正相关（B）变量x与y正相关，u与v负相关
（C）变量x与y负相关，u与v正相关（D）变量x与y负相关，u与v负相关
解析：由这两个散点图可以判断,变量x与y负相关，u与v正相关,选C
（4）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为
（A）（B）2（C）（D）1
解析：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A
（5）有四个关于三角函数的命题：
：xR,+=:x、yR,sin(x-y)=sinx-siny
:x,=sinx:sinx=cosyx+y=
其中假命题的是
（A），（B），（3），（4），
解析：：xR,+=是假命题；是真命题，如x=y=0时成立；是真命题，x,=sinx；是假命题，。选A.
（6）设x,y满足
（A）有最小值2，最大值3（B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值（D）既无最小值，也无最大值
解析：画出可行域可知，当过点（2，0）时，，但无最大值。选B.
（7）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=
（A）7（B）8（3）15（4）16
解析：4，2，成等差数列，,选C.
（8）如图，正体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是
（A）
（B）
（C）三棱锥的体积为定值
（D）异面直线所成的角为定值
解析：A正确，易证B显然正确，；C正确，可用等积法求得；D错误。选D.
（9）已知O，N，P在所在平面，且，且，则点O，N，P依次是的
（A）重心外心垂心（B）重心外心心
（C）外心重心垂心（D）外心重心心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
解析：;
（10）如果执行右边的程序框图，输入，那么输出的各个数的合等于
（A）3（B）3.5（C）4（D）4.5
解析：选B.
（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为
（A）48+12（B）48+24（C）36+12（D）36+24
解析：选A.
（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值
设f（x）=min{,x+2,10-x}(x0),则f（x）的最大值为
（A）4（B）5（C）6（D）7
解析：选C
第II卷
二、填空题；本大题共4小题，每小题5分。
（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的程为_____________.
解析：抛物线的程为，
答案：y=x
（14）已知函数y=sin（x+）（>0,-<）的图像如图所示，则=________________
解析：由图可知，
答案：
（15）7名志愿者中安排6人在六、日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排案共有________________种（用数字作答）。
解析：，答案：140
（16）等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______
解析：由+-=0得到。
答案10
三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。
(17)解：
案一：①需要测量的数据有：A
点到M，N点的俯角；B点到M，
N的俯角；A，B的距离d（如图）
所示）.……….3分
②第一步：计算AM.由正弦定理；
第二步：计算AN.由正弦定理；
第三步：计算MN.由余弦定理.
案二：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离d（如图所示）.
②第一步：计算BM.由正弦定理；
第二步：计算BN.由正弦定理；
第三步：计算MN.由余弦定理
（18）（本小题满分12分）
某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.
表1：
生产能力分组 人数 4 8 5 3 表2：
生产能力分组 人数 6 y 36 18
（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直图直接回答结论）
（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
解：
（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
.
（Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.
故，得，
，得.
频率分布直图如下
从直图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小.
（ii），
，
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，.8和131.1.
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD的底面是正形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，
使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；
若不存在，试说明理由。
（19）解法一：
（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正形ABCD中，，所以,得.
(Ⅱ)设正形边长，则。
又，所以,
连，由（Ⅰ）知,所以,
且,所以是二面角的平面角。
由,知,所以,
即二面角的大小为。
（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使
由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.
解法二：
（Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正向，建立坐标系如图。
设底面边长为，则高。
于是,,故
从而
(Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为
（Ⅲ）在棱上存在一点使.由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，且设
则
而
即当时，
而不在平面，故
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的程；
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹程，并说明轨迹是什么曲线。
（20）解:
(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以椭圆的标准程为
（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得
。
整理得，其中。
（i）时。化简得
所以点的轨迹程为，轨迹是两条平行于轴的线段。
（ii）时，程变形为，其中
当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；
（21）（本小题满分12分）
已知函数
如，求的单调区间；
若在单调增加，在单调减少，证明
＜6.
（21）解：
（Ⅰ）当时，，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当
当
从而单调减少.
(Ⅱ)
由条件得：从而
因为所以
将右边展开，与左边比较系数得，故
又由此可得
于是
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（22）本小题满分10分）选修4-1：几证明选讲
如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，
且。
证明：B,D,H,E四点共圆：
证明：平分。
（22）解：
（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD，CE是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=°，
所以B,D,H,E四点共圆.
（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°
由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，
所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF=30°.
所以CE平分∠DEF.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数程。
已知曲线C：（t为参数），C：（为参数）。
（1）化C，C的程为普通程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线
（t为参数）距离的最小值。
（23）解：
（Ⅰ）
为圆心是（，半径是1的圆.
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当时，
为直线
从而当时，
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.
（1）将y表示成x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x应该在什么围取值？
（24）解：
（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意，x满足
{
解不等式组，其解集为【9，23】
所以
2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：
样本数据的标准差锥体体积公式
其中为样本平均数其中为底面面积，为高
柱体体积公式球的表面积，体积公式[来源:Z。xx。k.Com]
其中为底面面积，为高其中R为球的半径
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合},,则
(A)(0,2)(B)[0,2](C){0,2](D){0,1,2}
(2)已知复数，是z的共轭复数，则=
A.B.C.1D.2
(3)曲线在点（-1，-1）处的切线程为
（A）y=2x+1(B)y=2x-1Cy=-2x-3D.y=-2x-2
(4)如图，质点P在半径为2的圆上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为
（5）已知命题
：函数在R为增函数，
：函数在R为减函数，
则在命题：，：，：和：中，真命题是
（A），（B），（C），（D），
（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
（A）100（B）200（C）300（D）400
（7）如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设偶函数满足，则
(A) (B)
(C) (D)
（9）若，是第三象限的角，则
(A) (B) (C)2 (D)-2
（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
(A) (B) (C) (D)
（11）已知函数若互不相等，且则的取值围是
(A) (B) (C) (D)
（12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的程式为
(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间上的均匀随机数和，由此得到N个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟案可得积分的近似值为。
（14）正视图为一个三角形的几体可以是______（写出三种）
（15）过点A(4,1)的圆C与直线x-y=0相切于点B（2,1），则圆C的程为____
(16)在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=_______
三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤
（17）（本小题满分12分）
设数列满足
求数列的通项公式；
令，求数列的前n项和
(18)（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
证明：PEBC
若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值
(19)(本小题12分)
为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
是否需要志愿性别 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
根据（2）的结论，能否提供更好的调查法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由
附：
（20）（本小题满分12分）
设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。
（1）求的离心率；
（2）设点满足，求的程
（21）（本小题满分12分）
设函数。
若，求的单调区间；
若当时，求的取值围
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几证明选讲
如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）BC2=BF×CD。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数程
已知直线C1（t为参数），C2（为参数），
（Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数程，并指出它是什么
（24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选项
设函数
（Ⅰ）画出函数的图像
（Ⅱ）若不等式≤的解集非空，求a的取值围。
2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
选择题
（1）D（2）A（3）A（4）C（5）C（6）B
（7）D（8）B（9）A（10）B（11）C（12）B
二、填空题
（13）（14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）
（15）（16）60°
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）由已知，当n≥1时，
。
而
所以数列{}的通项公式为。
（Ⅱ）由知
①
从而
②
①-②得
。
即
（18）解：
以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则
（Ⅰ）设
则
可得
因为
所以
（Ⅱ）由已知条件可得
设为平面的法向量
则即
因此可以取，
由，
可得
所以直线与平面所成角的正弦值为
（19）解：
（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为
（2）。
由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样法比采用简单随机抽样法更好．
（20.）解：
（I）由椭圆定义知，又，
得
的程为，其中。
设，，则A、B两点坐标满足程组
化简的
则
因为直线AB斜率为1，所以
得故
所以E的离心率
（II）设AB的中点为，由（I）知
，。
由，得，
即
得，从而
故椭圆E的程为。
（21）解：
（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（II）
由（I）知，当且仅当时等号成立.故
，
从而当，即时，，而，
于是当时，.
由可得.从而当时，
，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值围为.
（22）解：
（I）因为,
所以.
又因为与圆相切于点，故，
所以.
（II）因为,
所以∽，故，
即.
(23)解：
（Ⅰ）当时，的普通程为，的普通程为。联立程组，解得与的交点为（1,0）。
（Ⅱ）的普通程为。
A点坐标为，
故当变化时，P点轨迹的参数程为：
P点轨迹的普通程为。
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆。
（24）解：
（Ⅰ）由于则函数的图像如图所示。
（Ⅱ）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点。故不等式的解集非空时，的取值围为
。
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数的共轭复数是
（A）（B）（C）（D）
（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是
（A）(B)（C）(D)
（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是
（A）120
（B）720
（C）1440
（D）5040
（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（A）（B）（C）（D）
（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=
（A）（B）（C）（D）
（6）在一个几体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的侧视图可以为
（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
（A）（B）（C）2（D）3
（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
（A）-40（B）-20（C）20（D）40
（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为
（A）（B）4（C）（D）6
（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
其中的真命题是
（A）（B）（C）（D）
（11）设函数的最小正期为，且，则（A）在单调递减（B）在单调递减（C）在单调递增 （D）在单调递增
(12)函数的图像与函数的图像所有焦点的横坐标之和等于（A）2(B)4(C)6(D)8
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）若变量满足约束条件则的最小值为。
（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线交于两点，且的长为16，那么的程为。
（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为。
（16）在中，，则的最大值为。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
等比数列的各项均为正数，且
求数列的通项公式.
设求数列的前项和.
(18)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
（19）（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配（分别称为A配和B配）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 频数 8 20 42 22 8 B配的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 频数 4 12 42 32 10 （Ⅰ）分别估计用A配，B配生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式
从用B配生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MA?AB=MB?BA，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
（21）（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线程为。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值围。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几证明选讲
如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，，的长是关于的程的两个根。
（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；
（Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。
(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数程
在直角坐标系xOy?中，曲线C1的参数程为
（为参数）
M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的程
(Ⅱ)在以O为极点，x?轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.
(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数,其中。
（Ⅰ）当时，求不等式的解集
（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值。
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试卷参考答案
一、选择题
（1）C（2）B（3）B（4）A（5）B（6）D
（7）B（8）D（9）C（10）A（11）A（12）D
二、填空题
（13）-6（14）（15）（16）
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。有条件可知a>0,故。
由得，所以。故数列{an}的通项式为an=。
（Ⅱ?）
故
所以数列的前n项和为
(18)解：
（Ⅰ?）因为,由余弦定理得
从而BD2+AD2=AB2，故BDAD
又PD底面ABCD，可得BDPD
所以BD平面PAD.故PABD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则
,,,。
设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则
即
因此可取n=
设平面PBC的法向量为m，则
可取m=（0，-1，）
故二面角A-PB-C的余弦值为
（19）解
（Ⅰ）由实验结果知，用A配生产的产品中优质的平率为，所以用A配生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由实验结果知，用B配生产的产品中优质品的频率为，所以用B配生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B配生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
的频率分别为0.04，,054,0.42，因此
P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,
即X的分布列为
X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
(20）解：
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）,=(0,-3-y),=(x,-2).再由愿意得知（+）??=0,即（-x,-4-2y）??(x,-2)=0.
所以曲线C的程式为y=x-2.更多免费试卷下载w绿w色w.lsp圃jy.c中om小学教育网分站www.fydaxue.
(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x
因此直线的程为，即。
则O点到的距离.又，所以
当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.
（21）解：
（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
。
考虑函数，则。
(i)设，由知，当时，。而，故
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设00,故h’（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k1.此时h’（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值围为（-，0]
（22）解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC,
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m=4,n=6时，程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.
故AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB,HF∥AC.HF=AG=5，DF=(12-2)=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
（23）解：
（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即
从而的参数程为（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标程为，曲线的极坐标程为。
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为。
所以.
（24）解：
（Ⅰ）当时，可化为。
由此可得或。
故不等式的解集为或。
(?Ⅱ)由的
此不等式化为不等式组
或
即或
因为，所以不等式组的解集为
由题设可得=，故
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