真与可证是不同的，哥德尔不完备性定理打破了希尔伯特公理体系？

1931年，数理逻辑学家哥德尔（1906——1978，奥地利裔美国著名数学家）发表了题为《论<数学原理> 及有关系统的 形式不可判定命题》的著名论文，其中包含一个对数学界具有“ 毁灭性”的断言:任一包含算术的形式系统的一致性和完全性是不可 兼得的。或者说如果一个包含算术的形式系统是一致的，那么这个系统必然是不完全的。

所谓不完全，就是指存在一个公式A，使得A和非A在这个系统内都不可证。这就是大名鼎鼎的所谓“哥德尔第一不完备性定理”。哥德尔的工作使希尔伯特的幻想破灭了，因为这与希尔伯特的猜想和人们的希望完全相反!

其实，如果有兴趣和耐心，抛开抽象的形式逻辑后，不需要多少高等数学，用中学数学知识就能大致弄懂哥德尔定理。大家都知道，算术是数学中最基本的体系。这里，以“算术公理体系(皮亚诺公理体系)是不完备的”为例了解一下证明的思想。

第一步，哥德尔把所用到的算术元件:逻辑操作符号(非、蕴含、对任何，..、运算符号(加，乘，左右括号，...)、等号“=”、常量(0，1，2,..)、变量(x(1),x(2),...)等，都一一对应于一个正整数，称为哥德尔数。

第二步，建立一个通过以上元件写出算术陈述语句和证明语句的规则。在元件编号的基础上再定义与这些语句一一对应的哥德尔数。通过哥德尔数的性质又可提供一个规则，判断一个哥德尔数所对应的语句是或者不是另一个语句的证明。

第三步，根据以上结果构造一个哥德尔数为m的语句:“具有哥德尔数m的语句没有合适的证明语句”。因为此语句的哥德尔数恰为m，这相当于说“本语句不能被证明”。

现在我们看到这个语句就不能根据公理体系加以形式上的证明.原因是，如果不可证明，那么它已是一句不可证明的语句;如果可证，那么又说明了“本语句不能被证明”，也就是说，我们要承认体系有不可以证明的语句!

从以上的简单介绍中，我们看到哥德尔定理是从算术公理出发进行推理的，利用哥德尔数讨论问题是一个关键。“哥德尔定理”既为“定理”，也有“证明”、它的每一步推理都有根据，这些“根据”归根到底也是来自公理体系。也正因为它在算术公理体系内进行推理，

发现了体系内的问题，它的结论才对算术体系有意义。如果站在算术体系之外，你按你的规则，我按我的根据，那就没有什么意义了。

上述哥德尔定理指出，在任何数学公理体系下，总存在它不能做出判断的数学命题，即逻辑演绎也存在失效的地方。无论证明怎么严密，一旦纳入整体来考虑，问题肯定就会暴露出来，这说明公理体系不具有普适性，只在规定的前提范围内才是有效的。所谓的数学证明也还是在公理化基础之上的演绎证明，不具有完全严格的确定性，具有一定的不完备性，只具有相对的真理性。

哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可以证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。其意义之一在于，那种把数学公理体系搞成一个形式化系统、希望所有猜想都能从公理出发加以判定、希望不发生“出乎始料”的事的愿望是不可能实现的，这也是我们使用数学公理体系时需要注意的。哥德尔不完全性定理的影响远远超出了数学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化，引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语言学和计算机科学，甚至宇宙学。