与三角形有关的线段（提高）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1.理解三角形,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；毛
2.理解三角形三边间的关系2、三角形的分类】
2．三角形的分类
(1)按角分类：
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
(2)按边分类：
要点诠释：
①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
②等边三角形：三边都相等的三角形.
要点二、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边.
推论：三角形任意两边的的差小于第三边.
要点诠释：
（1）三角形的高的数学语言：如图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；三角形的中线的数学语言：如图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.
）叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC).???三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
?（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
??（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
【典型例题】类型一、三角形的定义及表示 1．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）.
A．2对；B．3对；C．4对；D．6对；
【答案】【】以BC为公共边的“共边三角形”有：BDC与BEC、BDC与BAC、BEC与BAC三对．
【】全面准确的识图．n个图中的三角形的个数是().
A．6(n-1)B．6nC．6(n+1)D．12n
【答案】
类型二、三角形的三边关系
（2016春?丹阳市期末）若三角形的三边长分别为a、b、5，其中a、b为正整数，且ab≤5，则所有满足条件的三角形共有个．
【】根据已知条件，得a的可能值是1，2，3，4，5，再结合三角形的三边关系，对应求得b的值即可．
【答案】解：三角形的三边a、b、5的长都是整数，且ab≤5，c最大为5，
a=1，b=5，c=5；
a=2，b=4，或5，c=5；
a=3，b=3，或4，或5，c=5；
a=4，b=4，或5，c=5；
a=5，b=5，c=5
故存在以a、b、5为三边长的三角形的个数为9个．【】考查了三角形三边关系，此题要注意根据“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析计算．
三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成个不同的三角形.当x为时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8(由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2
(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?
(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?
【答案】【】（2015春?邗江区校级月考）已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|=．【答案】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，
=（a+b+c）﹣（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c），
=a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，
=0
类型三、三角形中的重要线段
【】【答案】．
(1)若AB+AD＝12，即，所以x＝8，
即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．
此时AB+AC＞BC所以三边长为8，8，11．
(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即，所以x＝10．
即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．
显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．
综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．
【】5、】
举一反三【变式】.
【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、AF．方案2：如答图2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案：如答图，取B中点D、，连接DE、E、．方案2：如答图，AB取点D，使DC＝2BD，连接E、F，连接E、F．
类型四、三角形的稳定性
5.如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
【答案】【】举一反三【变式】（2014秋?仙桃校级月考）（1）下列图中具有稳定性是（填序号）
（2）对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
【答案】解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个．
（2）如图所示：
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