与三角形有关的线段(提高)巩固练习
责编：杜少波
【巩固练习】3．（2016春?成安县期末）下列说法正确的是（）
三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高都在三角形的内部．
A． B． C． D．
4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是()
A．在△ABC中，AC是BC边上的高
B．在△BCD中，DE是BC边上的高
C．在△ABE中，DE是BE边上的高
D．在△ACD中，AD是CD边上的高
5．（2015春?南长区期中）有4根小木棒，长度分别为3cm、5cm、7cm、9cm任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．给出下列图形：
其中具有稳定性的是()
A．①B．③C．②③D．②③④
7．如图所示为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分?()
A．11B．12C．13D．14
8.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条?()
A．0根B．1根C．2根D．3根
二、填空题
9．（2014春?渝北区期末）对面积为1的△ABC进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1（如图所示），记其面积为S1．现再分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2，则S2=．
（2016春?丹阳市校级期中）如图，ADBC于D，那么图中以AD为高的三角形有个．
…的值(结果用n表示)，设计了如图所示的几何图形．请你利用这个几何图形求…＝________．
13．请你观察下图的变化过程，说明四边形的四条边一定时，其面积________确定．(填“能”或“不能”)
14．如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝_____时，ABCD的面积最大，最大值是________．
三、解答题
15．草原上有4口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，如图所示，如果现在要建一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HA+HB+HC+HD为最小，说明理由．
16．取一张正方形纸片，把它裁成两个等腰直角三角形，取出其中一张如图①，再沿着直角边上的中线AD按图②所示折叠，则AB与DC相交于点G．试问：△AGC和△BGD的面积哪个大?为什么?
17.已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，
（1）求∠BAC的度数．
（2）△ABC是什么三角形．
18.（2014春?西城区期末）阅读下列材料：
某同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的高．P是BC边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N．求证：BD=PM+PN．
他发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP，即AC?BD=AB?PM+AC?PN．由AB=AC，可得BD=PM+PN．
他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：BD=PN﹣PM．
请回答：
（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；
证明：连接AP．
S△ABC=S△APC﹣，
AC?BD=AC?﹣AB?．
AB=AC，
BD=PN﹣PM．
（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：
在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．
①如图3，若点P在△ABC的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；
②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：．
①、②正确；而对于三角形三条高：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上；钝角三角形有两条高在外部，故③错误．
6.【答案】C；
【解析】均是由三角形构成的图形，具有稳定性.
7.【答案】B；
【解析】设每个小正方形的边长为a，则有16a2－4a×2a÷2－3a×2a÷2－4a×a÷2＝，解得a2＝，而整个方格纸的面积为16a2＝12（平方公分）.
8.【答案】B；
二、填空题
9.【答案】361；
【解析】解：连接A1C，根据A1B=2AB，得到：AB：A1A=1：3，
因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3，
因而面积的比是1：3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，
设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a，
同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a，
则△A1B1B的面积是6a，
同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a，
△A1B1C1的面积是19a，
即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍，
同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍，
S2=19×19×1=361．
故答案为：361．
；
【答案】解：如图所示，设大三角形的面积为1，然后不断地按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，…表示组成面积为1的大三角形的n个小三角形的面积之和，因此…＝．
13.【答案】不能；
【解析】因为四边形的高不能确定．
14.【答案】90°，48cm2；
三、解答题
15.【解析】
解：维修站应建在四边形两对角线AC、BD的交点H处，理由如下：取不同于H的F点，根据三角形两边之和大于第三边可得；FD+FB＞HD+HB，FC+FA＞HC+HA．
所以：FD+FB+FC+FA＞HD+HB+HC+HA，
即HD+HB+HC+HA为最小．
16.【解析】
解：∵BD＝CD，∴．
∴．
∴．
17.【解析】
解：（1）当高AD在△ABC的内部时(如图(1))．
因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°．
当高AD在△ABC的外部时(如图(2))．
因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，
所以∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°．
综上可知∠BAC的度数为90°或50°．
（2）如图(1)，当AD在△ABC的内部时，
因为∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
如图(2)，当AD在△ABC的外部时，
因为∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°，
∠ABC＝90°-∠BAD＝90°-70°＝20°，
所以∠ACB＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-50°-20°＝110°．
所以△ABC为钝角三角形．
综上可知，△ABC是直角三角形或钝角三角形．
18.【解析】解：（1）证明：连接AP．
S△ABC=S△APC﹣S△APB，
AC?BD=AC?PN﹣AB?PM．
AB=AC，
BD=PN﹣PM．
（2）①BD=PM+PN+PQ；
如图3，连接AP、BP、CP，
S△ABC=S△APC+S△APB+S△BPC
∴AC?BD=AC?PN+AB?PM+BC?PQ，
AB=AC=BC，
BD=PM+PN+PQ；
②BD=PM+PQ﹣PN；
如图4，连接AP、BP、CP，
S△ABC=S△APB+S△BPC﹣S△APC．
AC?BD=AB?PM+BC?PQ﹣AC?PN，
AB=AC=BC，
BD=PM+PQ﹣PN．
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