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01 NS方程的建立 基于牛顿内摩擦定律(1686年），建立了黏性应力与流体微团变形速率之间的本构关系，并在1755年欧拉理想流体运动方程的基础上，经过1822年法国工程师纳维(Claude-Louis Navier, 1785-1836年，如图1所示）、1829年法国科学家泊松(SimeonDenis Poisson 1781-1840年，如图2所示）、1843年法国力学家圣维南(Adhemar Jean Claude Barre de Saint-Venant, 1797-1886年，如图3所示），最后由1845年英国科学家斯托克斯(George Gabriel Stokes, 1819-1903年，如图4所示）在剑桥大学三一学院提出应力变形率的三大关系，建立了牛顿流体黏性运动微分方程，即著名的纳维－斯托克斯(Navier-Stokes)方程组，简称N-S方程组。对于不可压缩黏性流体，N-S方程组为
其中，u, v, w分别为质点的速度分量；fx，fy，fz分别为作用于质点上的单位质量力； p为作用于质点上的压强； ν为流体运动黏性系数；写成矢量形式为
这个方程组说明，导致流体微团速度变化的是作用于流体微团上的质量力、压强差力（表面法向力）和黏性力（表面切向力），反映在运动方程中表现为动量的黏性扩散行为。玻尔兹曼方程与N-S方程比较发现，它们之间存在一定的关系，实际上N-S方程组是玻尔兹曼方程的流体力学极限。至此，从1755年导出理想流体运动的欧拉方程组到1845年导出黏性流体运动的N-S方程组，历时90年，数学家们为流体力学主要方程的建立与推导做出了卓越贡献。此后，流体力学开始进入到大量流动问题的求解过程和应用的阶段。 对于质量力只有重力、不可压缩黏性流体的定常流动，沿着流线积分N-S方程组，可得到类似于理想流体的伯努利方程，但在能量方程多了一项因克服黏性摩擦力做功而损失的机械能项。即
与理想流体伯努利方程相比，上式右边多出的项表示单位重量流体质点克服黏性应力做功所消耗的机械能， 这一项不可能再被流体质点机械运动所利用，故称其为单位重量流体质点的机械能损失， 这个损失与积分路径（流线的形状）有关。这表明：在黏性流体中， 沿同一条流线上单位时间单位重量流体质点所具有的机械能沿着流动方向总是减小的。如图5所示，不可能保持守恒（理想流体时，总机械能是保持守恒的，无机械能损失流体），总是从机械能大的地方流向机械能小的地方。
图5 黏性流体运动方程 02 涡量输运方程 对不可压缩黏性流体运动的N-S方程取旋度，在质量力有势的条件下，可得到大家熟悉的涡量输运微分方程（类似于理想不可压缩流体的亥姆霍兹涡量方程），即
式中，
图6 旋涡
现来进一步讨论上述方程中各项的物理意义。例如，方程中包含的项
表示涡管的轴向拉伸变形（涡管轴线拉伸，使涡量增大，截面减小），引起涡量的变化率。方程中包含的项
表示涡管的剪切作用，引起涡量的变化率。方程中包含的项
表示涡量的黏性扩散项。 |
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为涡线的涡量，如图6所示中的涡核区。这个方程左边表示涡量的随体导数（或者涡量输运率），右边第一项表示流场的不均性引起涡管的拉伸和弯曲变形，右边第二项表示涡管的黏性扩散。如果设流体黏性系数为零，则可得到理想不可压缩流体在有势质量力作用下的亥姆霍兹涡最方程。
