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18世纪，在机械工业的推动下，经典力学在微积分支撑下进入建立系统理论体系和广泛应用的时代。这期间基于微积分连续可微函数概念和质点系力学理论的结合，构成了经典连续介质力学体系。基于质点系概念的连续介质假设，是力学引进微积分建立理论体系的基础。 01 故事的引子 1738年瑞士科学家伯努利(Daniel Bernoulli, 1700-1782年，如图1所示），如将质点动能定理沿着同微元流管两截面建立，导出一元流机械能守恒方程，即著名的理想流体定常流动能量方程（后称为伯努利方程）。
1757年瑞士数学家欧拉，(Leonhard Euler, 1707-1783年，如图2所示）将这方程推广至可压缩流动。对于理想不可压缩流体的定常流动，在质量力为重力作用下，沿同一条流线上的单位重量流体质点的总机械能守恒（单位重量流体质点的位置势能、压强势能和动能之和不变）。
其中，z为流体质点的位置；p为流体质点的压强；V为流体质点的速度；γ 为流体容重；g为重力加速度；C为常数。在不计质量力的条件下（空气的质量密度小，可以忽略重力的影响），此时沿同一条流线单位质量流体质点的压强势能和动能之和不变。伯努利方程的发现，正确地回答了机翼上翼面吸力对升力的贡献。后来的风洞试验表明：对于翼型而言，上翼面吸力的贡献约占翼型总升力的60%-70%。 1752年法国科学家达朗贝尔，(Jean le Rond d'Alembert, 1717-1783年，如图3所示 在发表的 “流体阻尼的一种新理论” 一文中， 首次用流体力学的微分方程表示场，提出了任意三维物体理想流体定常绕流无阻力的达朗贝尔佯谬。1753年欧拉提出了连续介质假设，1755年提出描述流体运动的空间点法（即欧拉方法），并基于连续介质假设和理想流体模型，利用牛顿第二定理建立了理想流体运动微分方程。即
该微分方程组清楚地表明，改变流体微团运动行为的是作用于微团上的质量力和微团表面上的压强力。也就是说，如果不考虑质量力，沿着某个方向无压力梯度，则沿该方向流体质点的速度保持不变。写成矢量形式为
对于质量力有势、理想不可压缩流体的定常流动，沿着流线积分欧拉方程组，可得到伯努利方程。进一步研究表明，不仅沿着同一条流线满足伯努利方程，沿着同一条涡线、势流流场、螺旋流均满足伯努利方程。 1781年法国科学家拉格朗日，(Joseph-Louis Lagrange, 1736-1783年，如图4所示）提出描述流体运动的质点法，建立了流体质点运动速度与速度势函数和流函数的关系；并在此基础上，建立了理想正压流体在质量有势的条件下无旋流动的守恒性定理。1785年法国科学家拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace, 1749-1827年，如图5所示)，建立了基于力势函数的拉普拉斯方程。至此，理想流体力学和无旋流动经典理论体系基本建立。
图5 法国科学家拉普拉斯 02 著名的文丘里实验 1799年意大利物理学家文丘里(G. B. Venturi, 1746-1822年）通过对变截面管道实验，发明了著名的文丘里流量管（如图6所示）。通过收缩管段将压能转化为动能， 然后经扩散管段将动能转化为压能，文丘里管是利用收缩和扩散管段的组合形式来测定流量的。利用伯努利能量方程， 如图7所示，建立上游断面1-1与喉道断面3-3之间能量方程和连续方程， 得到通过管道的流量计算公式为：
其中，d1 为上游断面管道直径；d3 为喉道断面直径；Q为通过管道流量；h为上游断面与喉道断面之间的测压管水头差（实验测取），µ为文丘里流量系数（一般在0.95-0.99)。
图6 文丘里流量管
图7 文丘里流量计原理 03 进一步的发展 进入19世纪，流体力学重点关注了理想流体无旋运动理论问题及其解，建立了理想流体旋涡运动理论和黏性流体力学方程等。以理想流体力学理论应用为核心，对绕过不同物体的理想不可压缩无旋流动进行了求解，如获得绕圆球、 圆柱和绕角流等的势流解，利用势流叠加原理，提出势流奇点解法。1813年法国数学家柯西(Augustin Louis Cauchy, l 789-1857年，如图8所示）提出复变函数，1850年德国数学家黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866 年，如图9所示）完成复变函数为解析函数的单值条件。
图10 德国流体力学家亥姆霍兹 1868年德国流体力学家亥姆霍兹(Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz, 1821-1894年，如图10所示）基于流函数和势函数建立了复变函数的势流解法。与此同时，1858年亥姆霍兹提出了流体微团的速度分解定理，同时研究了理想不可压缩流体在有势力作用下的有旋运动， 提出亥姆霍兹旋涡运动的三大定律，即沿涡管的涡强不变定律、 涡管保持定律和涡强守恒定律， 建立了理想流体旋涡运动理论。 1882年英国科学家兰金(W. J.M. Rankine 1820-1872年，如图11所示）基于理想流体理论， 完善了奇点叠加原理，建立了自由涡、 强迫涡和组合涡的数学理论， 提出了著名的兰金涡流模型。1869年奥地利物理学家和哲学家玻尔兹曼(Ludwig Edward Boltzmann，1844-1906年，如图12所示）将麦克斯韦速度分布律推广到保守力场作用下的情况，得到了玻尔兹曼分布律。 1872年，玻尔兹曼建立了著名的玻尔兹曼方程（又称输运方程），用来描述气体从非平衡态到平衡态过渡过程的统计力学， 并且从统计意义对热力学第二定律进行了阐释。 玻尔兹曼方程是描述稀薄气体运动的方程。
1882年英国科学家兰金， 针对稳定的集中涡及其诱导流场提出著名的兰金涡流模型（如图13所示），该模型建立了自由涡和强迫涡的组合模型。 据此得到，在涡核内为等涡量圆柱旋转流场，在涡核外部为自由涡诱导流场。由此得到的速度场和压强场为：在涡核内，为等涡量的有涡流场（因变形速率为零，实际上也是无黏流动），其周向速度满足刚体绕轴旋转规律，即
其中，Uθ为在半径r处圆周方向的速度；R为涡核半径；r为涡强（速度环量）。 在任意半径r处相应的静压强为
其中，Pc 为涡核中心处的静压强。
图13 兰金涡模型 在涡核外，为点涡诱导的无涡流场（但因变形速率不为零，实际上属于有黏性的势流)，在半径r处的周向速度为
静压强为
其中，外流压强与涡心处的压强之差为
在涡核外，黏性切应力为
在涡核边界上，扭矩和功率分别为
兰金涡流模型为人们认识空间集中涡（特别是龙卷风）形成机理提供了基础，如图14所示。从流体力学角度看，龙卷风实际上是一个空间集中涡的形成和发展过程。如果是飞机的尾涡就不难理解，因为产生的根源是飞机运动。但是，如果没有飞机呢，在理想流体流动和均匀流场中是生不成的。但是，对于黏性流体发生切变行为和对流作用时，就无法得出此结论。事实上，如果发生风切变，肯定会产生涡量，问题是这些涡能否集中起来，如果集中起来，是否会发展很强。分布的涡量是否可以集中起来，就要看对流速度方向与涡量的夹角， 如果对流速度方向与涡量的矢量方向几乎平行， 有涡量的气流通过卷绕合并起来是可能的；如果轴心区速度很大， 涡量会越来越集中， 最终导致涡管面积变小，涡量增大，旋风也是如此生成的。龙卷风一般都是顶天立地，为什么呢？这是因为水平对流风切变（可以是空中的，也可以是地面的），将产生涡量分布区域大，这时涡量区面积大， 但涡量值小， 按照斯托克斯公式， 涡量的积分值（涡强）是很大的。如果遇到强上升气流（温差产生的），将会快速卷绕起来，面积越来越小， 涡量越来越大， 形成强大的龙风是可能的。由此看来，大范围的水平风切变和垂直方向的强对流耦合作用将会形成强大的龙卷风。
图14 龙卷风
图17 热对流引起的地表大气特征
图18 上升气流引起的龙卷风结构
图19 下沉气流引起的龙卷风结构 |
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