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老黄是一个数学迷，也是一个足球迷。最喜欢干的事情，自然是用数学来分析足球的问题了，也就是俗称的“算分”。马上，中国女足和男足都要在东亚杯上开始他们的表演了。那么对铿锵玫瑰和男足在这次赛事上的积分，大家都有什么期望呢？老黄就要用数学期望的知识，给大家精确地算一算。看看数学是不是真的如很多人说的那样，是没有用的。 为此，老黄统计了中国女足和男足各自与三个对手的历史交手战绩，以计算三场比赛的胜率。 在女足方面，铿锵玫瑰对日本女足的战绩全面落后，13战只有3胜1平9负；对韩国则拥很巨大的优势，40战29胜7平4负；对中国台北9战8胜1平保持不败的绝对碾压优势。 在男足方面，只计算东亚杯历史战绩，对日本是10战2胜3平5负；对韩国是11战1胜4平6负，对中国香港6战4胜2平。 折算为胜率为：女足对日本23.1%胜，7.7%平，69.2%负；对韩国72.5%胜，17.5%平，10%负；对中国台北88.9%胜，11.1%平. 男足对日本20%胜，30%平，50%负；对韩国9.1%胜，36.4%平，54.5%负；对中国香港66.7%胜，33.3平。 胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。 铿锵玫瑰3场全胜积9分的概率是23.1%×72.5%×88.9%=14.9%； 2胜1平积7分的概率为：23.1%×72.5%×11.1%+23.1%×17.5%×88.9%+7.7%×72.5%×88.9%=1.9%+3.6%+5.0%=10.5%； 2胜1负积6分的概率为：23.1%×10%×88.9%+69.2%×72.5%×88.9%=2.1%+44.6%=46.7%； 1胜2平积5分的概率为：23.1%×17.5%×11.1%+7.7%×72.5%×11.1%+7.7%×17.5%×88.9%=0.4%+0.6%+1.2%=2.2%； 1胜1平1负积4分的概率为：23.1%×10%×11.1%+69.2%×72.5%×11.1%+7.7%×10%×88.9%+69.2%×17.5%×88.9%=0.3%+5.6%+1.2%+10.8%=17.9%； 1胜2负或3平积3分的概率为：69.2%×10%×88.9%+7.7%×17.5%×11.1%=6.2%+0.1%=6.3%； 2平1负积2分的概率为：69.2%×17.5%×11.1%+7.7%×10%×11.1%=1.3%+0.1%=1.4%； 1平2负积1分的概率为：69.2%×10%×11.1%=0.8%；3场全负积0分的概率为0. 这样已经可以看出，中国女足积6分的概率是最大的了。不过还是算一算数学期望值是多少：E=9×14.9%+7×10.5%+6×46.7%+5×2.2%+4×17.9%+3×6.3%+2×1.4%+1×0.8%=5.9(分)。看来得6分的结果是板上钉钉的了。 再看看男足得分的数学期望。3场全胜积9分的概率是20%×9.1%×66.7%=1.2%； 2胜1平积7分的概率为：30%×9.1%×66.7%+20%×36.4%×66.7%+20%×9.1%×33.3%=1.8%+4.9%+0.9%=7.6%； 2胜1负积6分的概率为：50%×9.1%×66.7%+20%×54.5%×66.7%=3.0%+7.3%=10.3%； 1胜2平积5分的概率为：20%×36.4%×33.3%+30%×9.1%×33.3%+30%×36.4%×66.7%=2.4%+0.9%+7.3%=10.6%； 1胜1平1负积4分的概率为：50%×9.1%×33.3%+50%×36.4%×66.7%+20%×54.5%×33.3%+30%×54.5%×66.7%=1.5%+12.1%+3.6%+11.0%=28.2%； 1胜2负或3平积3分的概率为：50%×54.5%×66.7%+30%×36.4%×33.3%=18.2%+3.6%=19.8%； 2平1负积2分的概率为：50%×36.4%×33.3%+30%×54.5%×33.3%=6.1%+5.4%=11.5%； 1平2负积1分的概率为：50%×54.5%×33.3%=9.1%；3场全负积0分的概率为0. 显然，男足最有可能拿到的分数是4分，次之是3分。其数学期望值为：E=9×1.2%+7×7.6%+6×10.3%+5×10.6%+4×28.2%+3×19.8%+2×11.5%+1×9.1%=3.7(分)。 期望其实并不是对积分的预测，而是球迷对球队实力合理的积分 期望。也就是说，我们对中国女足有5.9分的期望，对男足有3.7分的期望都是合理的。但是积分没有小数。所以，以男足为例，只要男足拿到4分，但是场面很糟糕，那就是低于期望。如果得5分，就算场面很糟糕，也算超常发挥。如果仅得3分，但场面上打出了流畅的配合，那么就还可以接受。但如果只拿2分，那就是发挥失常了。 |
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