【原】一道西部数学邀请赛几何题的向量证法

在锐角ΔABC中，点D、E分别在边AB、AC上，线段BE、DC交于点H，点M、N分别为线段BD、CE的中点，求证：点H为ΔAMN的垂心的充要条件是B、C、E、D四点共圆且BE⊥CD。（2017年西部数学竞邀请赛）

证明：充分性。若B、C、E、D四点共圆且BE⊥CD，连接MH、NH，则∠BDH+∠ABE=∠A+∠ACD+∠ABE=∠A+2∠ABE=∠A+∠DMH=90⁰，MH⊥AN，同理∠A+∠ENH=90⁰，NH⊥AM，所以点H为ΔAMN的垂心。