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| 《九章算术》〈商功〉之羡除与刍甍体积题 |
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《九章算术》〈商功〉之羡除与刍甍体积题上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提
要：《九章算术?卷五》之题为〈商功〉，主要为计算物体之体积。本文所涉及之体积为羡除、刍甍。关键词：羡除刍甍阳马鳖臑壍堵第
1节《九章》之羡除体积题《九章算术?卷五》之题为〈商功〉﹝《九章算术》简称为《九章》﹞，指工程涉及物体之体积。本文主要谈及羡
除与刍甍之形成及其体积之算法。笔者有文名为〈《九章算术》〈商功〉之土壤转换及城沟体积题〉、〈《九章算术》〈商功〉之阳马与截头方锥体
积题〉及〈《九章算术》之〈商功〉分立方体为3：2：1〉，本文乃以上三文之延续。第一至第十七题见笔者另文。【第十八题】今有羡除，下广
六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问：积?何？答曰：八十四尺。术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。刘徽注曰：
按：此术羡除寔隧道也，其所穿地，上半下斜，似两鳖臑夹一壍堵，即羡除之形。解：“寔”通“实”。北宋?李籍《音义》曰：羡，延也；除，道
也；羡除，乃隧道也。其所穿地，上半下邪，似两鳖臑夹一壍堵，即羡除之形。求其积，并三广，以深乘之，又以长乘之，六而一。显然李籍释羡除
之义乃取自刘徽。羡除乃隧道之说亦合理，亦以此说最令人容易明白，盖现代之隧道亦相若。“穿地”，挖地也。“邪”同“斜”。以下为羡除图。
JNMLA是为地面，渐渐向下倾斜，最深之处为DC为h，上广JL为c，下广DA为a，末广KH为b，并假设c
>b>a，袤MA为l，羡除左右对称。今将下图依虚线分割成一壍堵及四鳖臑﹝壍堵及鳖臑之定义可参阅笔者另文﹞。从图可知左
右有两鳖臑夹一壍堵。从图可知壍堵ABCDNM之体积=ahl。鳖臑ABHL=鳖臑DCKJ，其中BH=CK=，
两鳖臑之体积和为：×h××l××2=。鳖臑ABLM=鳖臑DCJN，其中JN=ML=，两鳖臑之体
积和为：×h××l××2=。羡除体积=壍堵ABCDNM+鳖臑ABHL+鳖臑DCKJ+鳖臑A
BLM+鳖臑DCJN=ahl++=(3a+b–a+c–a)=(a+b+c)。上
式即所谓“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。”“并”，相加也。“六而一”指除以6。若a=6，b=8，c=1
0，l=7，h=3，单位为尺。羡除体积=(a+b+c)=(6+8+10)=×24=
84﹝立方尺﹞。又注曰：假令用此棊上广三尺，深一尺，下广一尺，末广一尺，无深，袤一尺，下广即壍堵。上广者，两鳖臑与一壍堵相连之广
也。以深袤乘，得积五尺，鳖臑居二，壍堵居三，其于本棊，皆以为六，故六而一。“棊”指羡除或一立体。注意上文之下广等于末广，是为退化之
羡除称为“鱼尾”。若a=1，b=1，c=3，l=1，h=1，单位为尺。羡除体积=(a+b
+c)=(1+1+3)=﹝立方尺﹞。注意下广一尺=末广一尺，则羡除退化成以下之“鱼尾”图：羡除体积=壍
堵ABCDNM+鳖臑ABLM+鳖臑DCJN=ahl+=(3a+c–a)=(2a+c)。若
a=1，c=3，l=1，h=1，单位为尺。退化羡除体积=(2a+c)=(2+3)=﹝
立方尺﹞。若c=a，则退化羡除体积进一步退化成壍堵。即(2a+c)=×3a=。以下为羡除退化成壍堵图
：若c化为0，则立体化为阳马。以下为特殊羡除图。JNMLA是为地面，最深之处为DC为h，上广JL为c=3a
，下广DA为a，末广KH为b=2a，袤MA为l，则特殊羡除体积=(a+2a+3a)=hla，
即壍堵ABCDNM之双倍体积，亦即以h、l、a为高、长、阔之长方体体积。第2节《九章》之刍甍体积题【第十九题】今有
刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问：积?何？答曰：五千尺。术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。解
：以下为刍甍之正视及平面图：刍甍，李籍《音义》曰：刍甍之形，似屋葢上苫也。苫，覆屋之茅也。本题刍甍之底是一长方形，左右是两个等腰倾
斜之三角形，前后是两个等腰梯形，其形状如屋顶，如下图所示。刍甍上袤=a，下袤=b，广=c，高=h，求刍甍体积。今
将刍甍分割成三部份，两相等之长方锥体，AKHDEJ与BGKFC，中央之等腰三角形柱体ABGHJK。AKHDEJ+BGKF
C=2××c×h×，等腰三角形柱体ABGHJK=c×h××a。所以刍甍体积=2××
c×h×+c×h××a=+=(2b–2a+3a)=(2b+a)。以上之式即术曰之
“倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。”“从之”指加上。若上袤=a=20，广=c=30，下袤=b
=40，高=h=10，单位为尺。刍甍体积=(2b+a)=(2×40+20)=50×100=
5000﹝立方尺﹞。注曰：假令下广二尺，袤三尺，上袤一尺，无广，髙一尺。其用棊也，中央壍堵二，两端阳马各二，倍下袤，上袤从之，为
七尺以髙广乘之，得幂十四尺。阳马之幂各居一，壍堵之幂各居三，以髙乘之，得积十四尺。其于本棊也，皆一而为六，故六而一。注意上图之“中
央壍堵二，两端阳马各二”之情况，或如下之平面图：《九章》之算法如下：先将刍甍分割成六份﹝六棊﹞，中央南北壍堵二，四角阳马四，求其体
积之和即得。中央壍堵二体积=2×?×?ch×a=?cha，四阳马体积=4×?ch×?(b–a
)×=ch(b–a)，所以刍甍体积=?cha+ch(b–a)=(3a+2b–2a)=(2
b+a)。答案与上相同。若上袤=a=1，广=c=2，下袤=b=3，高=h=1，单位为尺。刍甍体
积=(2b+a)=(2×3+1)==2﹝立方尺﹞。《九章》曰：刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。术曰：倍上
袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之；各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。以上指求刍童、曲池、盘池、冥谷等立体之体积可用相同或相
类之公式。刘徽注曰：〔按：此术假令刍童上广一尺，袤二尺；下广三尺，袤四尺；高一尺。其用棋也，中央立方二，四面堑堵六，四角阳马四。倍
下袤为八，上袤从之，为十，以高、广乘之，得积三十尺。是为得中央立方各三，两端堑堵各四，两旁堑堵各六，四角阳马亦各六。复倍上袤，下
袤从之，为八，以高、广乘之，得积八尺。是为得中央立方亦各三，两端堑堵各二。并两旁，三品棋皆一而为六。故六而一，即得。〕解：“堑”
同“壍”。注意刍童与方亭不同，所以方亭之体积公式不适用。以下为刍童之立体图：若求刍童ABCDEFGH之体积，为减少运算步骤，先分
割成三部份，梯形柱体ABCDJKLM，左之ADJEHK及右之BCKFGL，此两多面体可视作刍甍而用其体积公式，刍甍体积公式见上
题。若b为上袤，d为下袤，a为上广，c为下广，h为高，则刍童体积(b+d)h×a+(c–a)(2d+
b)×h××2=(3ab+3ad+2cd+cb–2ad–ab)=(2ab+ad+2cd
+cb)=[a(2b+d)+c(2d+b)]。以上即引文所谓“倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之；各以其广乘之
，并，以高若深乘之，皆六而一。”《九章》之算法如下：先将刍童分割成九份﹝九棊﹞，中央一长立方体，中央南北壍堵二，中央左右壍堵二，四
角阳马四，求其体积之和即得。中央立方体体积=abh，南北壍堵体积=2×?(d–b)h×a×?=?ah
(d–b)，左右壍堵体积=2×?(c–a)h×b×?=?bh(c–a)，四角四阳马=4×
?(c–a)×?(d–b)h×=(c–a)(d–b)h。于是刍童体积=[6ab+3a(d–
b)+3b(c–a)+2(c–a)(d–b)]=(6ab+3ad–3ab+3bc–3ba
+2cd–2ad–2cb+2ab)=(2ab+ad+bc+2cd)=[a(2b+d)+c(
2d+b)]。答案与前相同。按文有以下之刍童尺数：若b为上袤=2，d为下袤=4，a为上广=1，c为下广=
3，h为高=1，单位为尺，则刍童体积：[a(2b+d)+c(2d+b)]=[1(4+4)+3(8
+2)]=(8+30)==6﹝立方尺﹞。【第二十题】今有刍童，下广二丈，袤三丈；上广三丈，袤四丈；高三丈。问：积
几何？答曰：二万六千五百尺。解：此刍童与上题之刍童不同，其特色为上寛下窄，但仍可用上题之体积计算公式，公式之证明与上题相同。以下为其平面图及立体图：已知a=30，b=20，c=40，d=30，h=30﹝单位为尺﹞。刍童体积=[a(2b+d)+c(2d+b)]=[30(40+30)+40(60+20)]=5(2100+3200)=5×5300=26500﹝立方尺﹞。答：刍童体积26500﹝立方尺﹞。答案合所问。(1) |
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