第三讲整式
【基础知识回顾】
一、整式的有关概念：
：由数与字母的积组成的代数式
1、整式：
多项式：。
单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项：
①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。
②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。
【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是式。
2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。】
二、整式的运算：
1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+,a-(b+c)=a-.
②添括号法则：a+b+c=a+()，a-b-c=a-()
③整式加减的步骤是先，再。
【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。】
2、整式的乘法：
①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。
②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)=。
③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)=。
④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，
Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2=。
【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。】
3、整式的除法：
①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。即（am+bm）÷m=。
三、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：不变相加，即：aman＝（a＞0，m、n为整数）
2、幂的乘方：不变相乘，即：(am)n＝（a＞0，m、n为整数）
3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂。
即：(ab)n＝（a＞0，b＞0，n为整数）。
4、同底数幂的除法:不变相减，即：am÷an＝（a＞0，m、n为整数）
【名师提醒：运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a)n=（n为奇数），(-a)n=（n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知3m=4,2n=3,则9m8n=。】
【重点考点例析】
考点一：代数式的相关概念。
例1如果单项式-xa+1y3与ybx2是同类项，那么a、b的值分别为（）
A．a=2，b=3 B．a=1，b=2 C．a=1，b=3 D．a=2，b=2
对应训练
1．（2013?苏州）计算-2x2+3x2的结果为（）
A．-5x2 B．5x2 C．-x2 D．x2
考点二：代数式求值
例2已知x-=3，则4-x2+x的值为（）
A．1 B． C． D．
例3下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为3时，则输出的数值为1
．
对应训练
2．若x2-2x=3，则代数式2x2-4x+3的值为9
．
．按如图所示的程序计算．若输入x的值为3，则输出的值为-3
．
考点：单项式与多项式。
例下列运算，结果正确的是（）
A．m6÷m3=m2 B．3mn2?m2n=3m3n3
C．（m+n）2=m2+n2 D．2mn+3mn=5m2n2
对应训练
．下面的计算一定正确的是（）
A．b3+b3=2b6 B．（-3pq）2=-9p2q2
C．5y3?3y5=15y8 D．b9÷b3=b3
考点：幂的运算。
例下列计算正确的是（）
A．x+x=2x2 B．x3?x2=x5 C．（x2）3=x5 D．（2x）2=2x2
对应训练
．下列运算正确的是（）
A．3a-2a=1 B．x8-x4=x2
C．=-2 D．-（2x2y）3=-8x6y3
考点：完全平方公式与平方差公式
例（1）已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2=12
．
（2）已知a、b满足a+b=3，ab=2，则a2+b2=5
．
例如图，从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为acm，则另一边长是（）
A．（2a+3）cm B．（2a+6）cm C．（2a+3）cm D．（a+6）cm
对应训练
．当m+n=3时，式子m2+2mn+n2的值为9
．
．如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2
考点六：整式的运算
例先化简，再求值：（x-1）（x+1）-x（x-3），其中x=3．
例7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）
A．a=b B．a=3b C．a=b D．a=4b
对应训练
．先化简，再求值：（x+1）（2x-1）-（x-3）2，其中x=-2．
．把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．无法确定
考点：规律探索。
例一组按规律排列的式子：，…，则第n个式子是．
例如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是-2
．
-4 a b c 6 b -2 … 例将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）
A．502 B．503 C．504 D．505
对应训练
．观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是4025x2
．
．一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，（n为不小于2的整数），则a100=（）
A． B．2 C．-1 D．-2
．如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图5中三角形的个数是（）
A．8 B．9 C．16 D．17
【聚焦山东中考】
．如果整式xn-2-5x+2是关于x的三次三项式，那么n等于（）
A．3 B．4 C．5 D．6
．下列运算正确的是（）
A．a3-a2=a B．a2?a3=a6 C．（a3）2=a6 D．（3a）3=9a3
．下列各运算中，正确的是（）
A．3a+2a=5a2 B．（-3a3）2=9a6 C．a4÷a2=a3 D．（a+2）2=a2+4
．下列计算正确的是（）
A．（-2a）2=2a2 B．a6÷a3=a2 C．-2（a-1）=2-2a D．a?a2=a2
．若m-n=-1，则（m-n）2-2m+2n的值是（）
A．3 B．2 C．1 D．-1
．下列运算正确的是（）
A．3x2+4x2=7x4 B．2x3?3x3=6x3
C．x6+x3=x2 D．（x2）4=x8
．下列运算正确的是（）
A．3x3-5x3=-2x B．6x3÷2x-2=3x
C．（x3）2=x6 D．-3（2x-4）=-6x-12
．下列运算正确的是（）
A．x2+x3=x5 B．（x-2）2=x2-4 C．2x2?x3=2x5 D．（x3）4=x7
9．把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，那么钢丝大约需要加长（）
A．102cm B．104cm C．106cm D．108cm
1．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（）
A．M=mn B．M=n（m+1） C．M=mn+1 D．M=m（n+1）
．已知m2-m=6，则1-2m2+2m=-11
．
1．观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25，15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为100n（n-1）+25
．
1．当n等于1，2，3…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于n2+4n
．（用n表示，n是正整数）
【备考真题过关】
一、选择题
1．化简-2a+3a的结果是（）
A．-a B．a C．5a D．-5a
2．下列各式的运算结果为x6的是（）
A．x9÷x3 B．（x3）3 C．x2?x3 D．x3+x3
3．计算a2?a4的结果是（）
A．a6 B．a8 C．2a6 D．2a8
4．计算3x3÷x2的结果是（）
A．2x2 B．3x2 C．3x D．3
．计算（-ab2）3的结果是（）
A．-a3b6 B．-a3b5 C．-a3b5 D．-a3b6
．多项式1+2xy-3xy2的次数及最高次项的系数分别是（）
A．3，-3 B．2，-3 C．5，-3 D．2，3
．下列计算错误的是（）
A．-|-2|=-2 B．（a2）3=a5
C．2x2+3x2=5x2 D．=2
．下列计算正确的是（）
A．3mn-3n=m B．（2m）3=6m3 C．m8÷m4=m2 D．3m2?m=3m3
．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%．那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（）
A．甲 B．乙 C．丙 D．一样
．矩形AB=a，AD=b，AE=BF=CG=DH=c，则图中阴影部分面积是（）
A．bc-ab+ac+b2 B．a2+ab+bc-ac
C．ab-bc-ac+c2 D．b2-bc+a2-ab
．如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是（）
A．2 B．a+4 C．2a+2 D．2a+4
1．定义运算a⊕b=a（1-b），下面给出了这种运算的四个结论：①2⊕（-2）=6；②若a+b=0，则（a⊕a）+（b⊕b）=2ab；③a⊕b=b⊕a；④若a⊕b=0，则a=0或b=1．其中结论正确的有（）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④
二、填空题
1．计算：2a2+3a2=5a2
．
．计算a?a6的结果等于a7
．
．计算：6x2y3÷2x3y3=．
．“比a的2倍大的数”用代数式表示是．
．计算：3a?a2+a3=4a3
．
．某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%．经过两次降价后的价格为0.945
元（结果用含m的代数式表示）
．若ab=-1，a+b=2，则式子（a-1）（b-1）=-2
．
．如果x=1时，代数式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax3+3bx+4的值是3
．
．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为20
．
．若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是1
．
．若a+b=5，ab=6，则a-b=±1
．
．定义为二阶行列式．规定它的运算法则为=ad-bc．那么当x=1时，二阶行列式的值为0
．
．已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n个数是2n
．
5．下面是按一定规律排列的一列数：，…那么第n个数是．
6．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是51
．
7．要把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要切3刀，因为这8个小正方体都只有三个面是现成的．其他三个面必须用三刀切3次才能切出来．那么，要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需用刀切6
次；分割成64个小正方体，至少需要用刀切9
次．
三、解答题
8．化简：（a-b）2+a（2b-a）
先化简，再求值：（1+a）（1-a）+（a-2）2，其中a=-3
先化简，再求值：（a+2）（a-2）+4（a+1）-4a，其中a=-1
先化简，再求值：（a-b）2+a（2b-a），其中a=-，b=3
先化简，再求值：（x+y）（x-y）-（4x3y-8xy3）÷2xy，其中x=-1，y=
．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值
|
|
