2021年高联二试几何题解答(A、B卷）——刘小平

如图，在中，是边的中点，，是的外接圆在点处的切线上的两点，满足，且是线段的中点，过，，三点的圆与边相交于另一点，过，，三点的圆与的延长线相交于．证明：．（2021年高联A卷二试第二题）

证明： 由得．

在上取点，使得，在上取点，使得．由得．

由三弦定理得

．

故

，

又

，

故，即，故直线，均经过的中点，故为的中点，故．

本题解答还可见：

2021.09.12 2021全国高中数学联赛A卷P2推广及证明

2021年高中数学联赛几何题解答

如图所示，是的内心，点，分别是在边，上的投影，直线与的外接圆相交于，（在，之间），已知，，，四点共圆．证明：，，，四点共圆．( 2021年高联B卷二试第一题)

证明：

引理： 如图，中，，内心为，延长交外接圆于，于，延长交外接圆于，则．

引理的证明： ，故，故

．

回到原题，由于，，，四点共圆，故，由引理得，，共线，故

，

故，，，四点共圆．

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