第17讲三角形与全等三角形【基础知识回顾】三角形的概念：1、由直线上的三条线段组成的图形叫三角形2、三角形的基本元素：三角形
有条边个顶点个内角二、三角形的分类：按边可分为三角形和三角形，按角可分为三角形三角形三角形【名
师提醒：等边三角形属于特殊的三角形，锐角三角形和钝角三角形有事称为三角形】三、三角形的性质：1、三角形的内角和是三角
形的任意一个外角和它不相得两个内角的和三角形的一个外角任意一个和它不相邻的内角2、三角形任意两边之和第三边，任意两边
之差第三边3、三角形具有性【名师提醒：1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的组成的角，三角形有个外角，三角形的
外角和是，是其中各外角的和2、三角形三边关系定理是确定三条线段否构成三角形和判断限度间不等关系的主要依据】四、三角形中的主
要线段：1、角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形部且交于一点，这些是三角形的心它到得距离相等2、中线：三角
形的三条中线都在三角形部，且交于一点3、高线：不同三角形的三条高线位置不同，锐角三角形三条高都连三角形直角三角形
有一条高线在部，另两条河重合，钝角三角形有一条高线在三角形部，两条在三角形部4、中位线：连接三角形任意两边的线
段叫做三角形的中位线。定理：三角形的中位线第三边且等于第三边的【名师提醒：三角形的平分线、中线、高线、中位线都是且都
有条】五、全等三角形的概念和性质：1、的两个三角形叫做全等三角形2、性质：全等三角形的、分别相等，全等三角形的
对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应【名师提醒：全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】全等三
角形的判定：1、一般三角形的全等判定方法：①边角边，简记为②角边角：简记为③角角边：简记为④边边边：简记为2、直角
三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用来判定【名师提醒：1、判定全等三角形的条件中，必须至少有一组
对应相等，用SAS判定全等，切记角为两边的2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】【重点考点例析】考点一：三角
形内角、外角的应用例11．（泉州）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则∠1=
°．考点二：三角形三边关系例2（泸州）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角
形的周长等于（）A．13B．11C．11或13D．12或15对应训练1．（义乌市）如果三角形的两边长
分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（）A．2B．3C．4D．8考点三：三角形全等的判定例3（乐山）如图，
在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=
CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形
CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个
D．4个例4（珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC
上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：（1）△ADA′≌△CDE；直线CE是线段AA′的垂
直平分线．对应训练（鸡西）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边A
B、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD?EF；
④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．
（肇庆）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．【
聚焦山东中考】1.（烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果
∠ADF=100°，那么∠BMD为度．2．（聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（）A．75°B．90°C
．105°D．120°xkb1.com3．（德州）不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中
线C．三角形的高D．三角形的中位线4．（济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠B
OC的依据是（）A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等6．（临沂）在
Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F
，若EF=5cm，则AE=cm【备考真题过关】一、选择题1．（云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△AB
C的角平分线，则∠CAD的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°2．（梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一
张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A．
150°B．210°C．105°D．75°3．（漳州）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A
．45°B．60°C．75°D．90°4．（广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．
5B．6C．11D．165．（郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cm
B．4cm，6cm，8cmC．5cm，6cm，12cmD．2cm，3cm，5cm6．（玉林）如图，在菱形ABC
D中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有（）A．4对B．6对C．8对D．10对7．（贵阳）如图
，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠
FB．∠B=∠EC．BC∥EFD．∠A=∠EDF三、填空题8．（呼和浩特）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠
DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=．9．（娄底）如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE=
度．三、解答题12．（扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE
=DE．13．（镇江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上
，且∠GDF=∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．4．（滨州）如图1，
l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上
．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）求正方形A
BCD的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形A
BCD的面积S．5．（长春）感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△
BAF．（不要求证明）拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△
ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=
AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△C
DF的面积之和为．6．（阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D
在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°
＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个
条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙
：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．7．（内
江）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系． |
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