第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形
2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称
为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两
相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平
分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被
围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴等边三角形的
判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所
有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线
段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：
1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角
平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股
定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是
直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角
三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：新课标xkb1.
com除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角
是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个
角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角
形【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角
形性质的运用对应训练1.（广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（）A．45
°B．75°C．45°或75°D．60°2.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）考点二：线段垂直平分线例
2如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交
BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）对应训练2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交A
B于D，交BC于E，若CE=3，则BE的长是（）考点三：等腰三角形的判定与性质例3.如图，△ABC中，AB=BC，AC=
8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关
系；（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．考点四：等边三角形的性
质与判定例4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=______
______例5、正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A
1B1C1的面积是____________对应训练1、如图，在△OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4，0），点B坐标为（2，）
，AB⊥y轴，点A为垂足，OH⊥BC，点H为垂足．动点P、Q分别从点O、A同时出发，点P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点O
运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P的运动时间为t秒．（1）求证：OB=CB；（2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系
式及定义域；（3）当PQ⊥OB（垂足为点M）时，求五边形ABHPQ的面积的值考点五：角的平分线例6湘西州）如图，Rt△ABC
中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积对应训
练5、（朝阳）如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①
∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③；④EF一定平行BC．其中正确的有____________【聚焦山东中考】1、（烟台）
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）
折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为——度．2、（枣庄）如图，中，AB=AC=10，BC=8，AD平分交于点，点为的中点，连接，
则的周长为A.20B.18C.14D.134．（泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB
=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．5．（济南）
如图，D、E分别是边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设的面积为，的面积为，若，则的值为______6.（济南）如图，点
A的坐标是（，0），点B的坐标是（6，0），点C在第一象限内且为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线，垂足为E，交OC于
点F.（1）求直线BD的函数表达式；（2）求线段OF的长；（3）连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由.7、（
济南）如图1，在中，AB=AC=4，，和关于AB所在的直线对称，点M为边AC上的一个动点（重合），点M关于AB所在直线的对称点为N
，的面积为S.（1）求的度数；（2）设CM=x，求S与x的函数表达式，并求x为何值时S的值最大？（3）S的值最大时，过点C作交AB
的延长线于点E，连接EN（如图2）.P为线段EN上一点，Q为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的NP的长.8、（聊城）如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为_________． |
|
