第三十讲概率【基础知识回顾】事件的分类：1、确定事件：在一定条件下，有些事件发生与否是可以事先这样的事件叫做确定事件，其中发生
的事件叫做必发事件发生的时间叫做事件2、随机事件：在一定条件下，可能也可能的事件，称为随机事件二、概率的概念：一
般地，对于一个随机事件A我们把刻画其发生可能性大小的称为随机事件概发生的记作【名师提醒：1、概率从数上刻画了一个随机事
件发生的可能性的大小2、若A为必然事件，则P1A1=若A为不可能事件，则P1A1=若A为随机事件，则A1<】三、概率的计算：1、较简单问题情景下的概率：在一次试验中，有几种等可能的结果，事件A包含其中的几种结果，则事件A发
生的概率P1A1=两步或两步以上的实验事件的概率计算方法：常用的方法有列举：例画等【名师提醒：当实验包含两步时，可
采用列举或列表，当然也可以画树形图，当实验包含三步或三步以上时，一般用】法】用频率估计概率一般地，在大量重复实验中，如果事件A发
生的频率会逐渐稳定在某个常数P附近，那么事件A发生的概率P1A1=【名师提醒：1、频率就等于概率，频率是通过多次得到的数
据，而概率是在理论上出来的，只有当重复实验次数足够多时，可以用实验频率估计2、要估计池塘中鱼的数目，可以先从中拿出m条做标
记而后放回，待重分混合后，再从中取出几条，若其中有标记的有a条，则可估计池塘中鱼的数目为】【典型例题解析】考点一：生活中的确
定事件和随机事件例1（2012?资阳）下列事件为必然事件的是（）A．小王参加本次数学考试，成绩是150分B．某射击运动员
射靶一次，正中靶心C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球考点
：随机事件．专题：计算题．分析：根据事件的分类的定义及分类对四个选项进行逐一分析即可．解答：解：A、小王参加本次数学考试，成绩是1
50分是随机事件，故本选项错误；B、某射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，故本选项错误；C、打开电视机，CCTV第一套节目正在
播放新闻是随机事件，故本选项错误．D、口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球是必然事件，故本选项正确；故选D．
点评：本题考查的是随机事件，即在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．对应训练1．（2012?孝感）下列事件中，属
于随机事件的是（）A．通常水加热到100℃时沸腾B．测量孝感某天的最低气温，结果为-150℃C．一个袋中装有5个黑球，从中摸出
一个是黑球D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中考点：随机事件．分析：随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可求解．解
答：解：A、C一定正确，是必然事件；B是不可能事件，D、篮球队员在罚球线上投篮未中属于随机事件．故选D．点评：本题考查了随机事件，
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．关键是理解随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．考点二
：概率的计算（）例2（永州）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有正三角形、圆、平行四边形和正五边形．小明将
这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，则摸出的图形是中心对称图形的概率是．考点：概率公式；中心对称图形．分析：根据概率的求法，
找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有2种
，即B、C，所以摸出的图形是中心对称图形的纸牌的概率是：．故答案：．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件
的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．例4（2012?遵义）如图，4张背面完全相同的纸牌（用①、
②、③、④表示），在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张．（
1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌出现的所有可能结果；（2）以两次摸出牌上的结果为条件，求能判断四边形ABCD是平行四边形的概率
．考点：列表法与树状图法；平行四边形的判定．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）
求得能判断四边形ABCD是平行四边形的情况，利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（
2）∵能判断四边形ABCD是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③共8种情况，∴能判断四边形ABCD是平行
四边形的概率为：．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表
法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．对应训练2．（新疆）在边长为1
的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（）A．B．C．
D．考点：概率公式；三角形的面积．分析：按照题意分别找出点C所在的位置：当点C与点A在同一条直线上时，AC边上的高为1，
AC=2，符合条件的点C有2个；当点C与点B在同一条直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有2个，再根据概率公式求出
概率即可．解答：解：可以找到4个恰好能使△ABC的面积为1的点，则概率为：4÷16=．故选：C．点评：此题主要考查了概率公式，解
决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC的面积为1的点．3．（山西）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E、F分别是
矩形ABCD的两边AD、BC上的点，EF∥AB，点M、N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（）A．B．
C．D．考点：几何概率．分析：将图形分为四边形ABFE和四边形DCFE两部分，可得四边形ABFE内阴影部分是四边形ABF
E面积的一半，四边形DCFE内阴影部分是四边形DCFE面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率．解答：解：∵四边形ABFE内阴影
部分面积=×四边形ABFE面积，四边形DCFE内阴影部分面积=×四边形DCFE面积，∴阴影部分的面积=×矩形ABCD的面积，∴飞镖
落在阴影部分的概率是．故选C．点评：此题考查同学的看图能力以及概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率=相
应的面积与总面积之比．4．（镇江）学校举办“大爱镇江”征文活动，小明为此次活动设计了一个以三座山为背景的图标（如图），现用红、黄两
种颜色对图标中的A、B、C三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色．（1）请用树状图列出所有涂色的可能结果；（2）求这三块三角
形区域中所涂颜色是“两块黄色、一块红色”的概率．考点：列表法与树状图法．专题：图表型．分析：（1）根据树状图的画法画出即可；（2
）根据树状图求出所有可能的情况数，以及恰好是“两块黄色、一块红色”的情况数，然后根据概率公式列式计算即可得解．解答：解：（1）画树
状图法如下：所有可能为：（黄，黄，黄），（黄，黄，红），（黄，红，黄），（黄，红，红），（红，黄，黄），（红，黄，红），（红，红
，黄），（红，红，红）；（2）从树状图看出，所有可能出现的结果共有8种，恰好“两块黄色、一块红色”的结果有3种，所以这个事件的概
率是．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．考点三：用频率估计概率例5（宿迁）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：每批粒数n10
0300400600100020003000发芽的粒数m9628238257094819122850发芽的频数0.9600.94
00.9550.9500.9480.9560.950则绿豆发芽的概率估计值是（）A．0.96B．0.95C．0.94D．0.
90考点：利用频率估计概率．分析：本题考查了绿豆种子发芽的概率的求法．对于不同批次的绿豆种子的发芽率往往误差会比较大，为了减少误差
，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．解答：解：=（0.960+0.940+0.955+0.950+0.948+0.956+0.
950）÷7≈0.95，当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是0.95．故选B．点评
：考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．对应训练5．（大连）如表
记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1）．投篮次数（n）5010015020
0250300500投中次数（m）286078104123152251投中频率（m/n）0.560.600.520.520.490
.510.50考点：利用频率估计概率．专题：图表型．分析：计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，
投中的概率．解答：解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为：0.5．点评：此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
考点四：概率的应用（游戏的）例6（黄冈）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1、2、3、4．小明先随机地摸出
一个小球，小强再随机的摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞
y时小明获胜，否则小强获胜．①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公
平吗？请说明理由．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．分析：（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的
情况，继而利用概率公式即可求得答案，注意此题属于不放回实验；（2）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明、小强
获胜的情况，继而利用概率公式求得其概率，比较概率，则可得到他们制定的游戏规则是否公平，注意此题属于放回实验．解答：解：①画树状图得
：∵共有12种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况，∴小明
获胜的概率为：；（2）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，
2），（4，3）共6种情况，∴P（小明获胜）=，P（小强获胜）=，∵P（小明获胜）≠P（小强获胜），∴他们制定的游戏规则不公平．点
评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．对应训练6．（2012?衡阳
）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．（1）若从中任取
一球，球上的数字为偶数的概率为多少？（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之
和为偶数的概率．（3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲
、乙双方公平吗？说明理由．考点：游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．分析：（1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4
四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案；（2）首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的
数字之和为偶数的情况，利用概率公式即可求得答案；（3）分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论．解答：解：（1）∵不透明的
口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：；（2）画树
状图得：∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2）共4种情况，∴两个球
上的数字之和为偶数的概率为：；（3）∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有（1，2），（2，3），（2，1），（3，2），（3，4
），（4，3）共6种情况，∴P（甲胜）=，P（乙胜）=，∴P（甲胜）=P（乙胜），∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平．点评：本题考
查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．【聚焦山东中考】1．（聊城）
“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A．必然事件B．随机事件C．确定事件D．不可能事件考点：随机事件．分析：根据随
机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．解答：解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故
抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．故选B．点评：本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，
并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．2．（济南）下列事件中必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是偶
数B．正常情况下，将水加热到100℃时水会沸腾C．三角形的内角和是360°D．打开电视机，正在播动画片考点：随机事件．分析：根据必
然事件的定义就是一定发生的事件，即可作出判断．解答：解：A、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误；B、必然事件，故选项正确
；C、是不可能发生的事件，故选项错误；D、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误．故选B．点评：考查了随机事件，解决本题需要
正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（枣庄）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除
颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（）A．16B．12C．8D．4考点：概率公式．分
析：首先设黄球的个数为x个，根据题意，利用概率公式即可得方程：，解此方程即可求得答案．解答：解：设黄球的个数为x个，根据题意得：
，解得：x=4．故选D．点评：此题考查了概率公式的应用．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
4．（泰安）从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）A．0B．C．D．考点：概率公式
；中心对称图形．分析：先判断图中中心对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可．解答：解：∵在这一组图形中，中心对称图形只有最后一
个，∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是．故选D．点评：本题主要考查的是概率公式及中心对称图形，如果一个事件有n种可能，而且这些事
件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．5．（临沂）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三
角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．1考点：概率公式；中心
对称图形．分析：确定既是中心对称的有几个图形，除以4即可求解．解答：解：∵是中心对称图形的有圆、菱形，所以从中随机抽取一张，卡片上
的图形恰好是中心对称图形的概率是；故选B．点评：此题考查了概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，关键是能够找出中心对称图形．
7．（济南）暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实
践活动的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结
果与小明和小亮选到同一社区参加实践活动的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明和小
亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：．故选B．点评：此题考查的是用列表法或树状图
法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事
件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．8．（泰安）一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出
两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意列出
表格，然后由表格求得所有等可能的与这两个乒乓球上的数字之和大于5的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：列表得：123
41-2+1=33+1=44+1=521+2=3-3+2=54+2=631+3=42+3=5-4+3=741+4=52+4=63+
4=7-∵共有12种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于5的有4种情况，∴这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为：．故选B．
点评：此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件
；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．9．（青岛）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏
：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（）A．B．C．D．考点：
列表法与树状图法．分析：由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的
结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，画树状图得：∵共有6种
等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，∴可配成紫色的概率是：．故选D．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意所选每
种情况必须均等，注意概率=所求情况数与总情况数之比．10．（东营）小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有
数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x、乙立方体朝上一面朝上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），
那么点P落在双曲线y=上的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：首先
根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点P落在双曲线y=上的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：列表得：甲乙
1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2
，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）
5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）∵∴一
共有36种结果，每种结果出现的可能性是相同的，点P落在双曲线y=上的有（1，6），（2，3），（3，2），（6，1），∴点P落在双
曲线y=上的概率为：．故选C．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．11．（聊城）我市初中
毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“1000米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项“引体向上”或“推铅球”中选一项测试．
小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：首先分别用A，B代表“引体
向上”与“推铅球”，然后根据题意画树状图，继而求得所有等可能的结果与小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目
的情况，利用概率公式即可求得答案．解答：解：分别用A，B代表“引体向上”与“推铅球”，画树状图得：∵共有8种等可能的结果，小亮、小
明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的有2种情况，∴小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项
目的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以
上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．12．（2012?烟台）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面
投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为．考点：几何概率．分析：计算出黑色区域的面积与整个图形面积的比，利用几何概率的计算方法解
答即可．解答：解：∵黑色区域的面积占了整个图形面积的，所以飞镖落在黑色区域的概率为；故答案为：．点评：此题考查了几何概率，一般地，
对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，
记作P（A），即有P（A）=．13．（菏泽）口袋内装有大小、质量和材质都相同的红色1号、红色2号、黄色1号、黄色2号、黄色3
号的5个小球，从中摸出两球，这两球都是红色的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意列出表格，然后根据表格求得所有等可
能的情况与这两球都是红色的情况，利用概率公式即可求得答案．解答：解：列表得：红1，黄3红2，黄3黄1，黄3黄2，黄3-红1，黄2红
2，黄2黄1，黄2-黄3，黄2红1，黄1红2，黄1-黄2，黄1黄3，黄1红1，红2-黄1，红2黄2，红2黄3，红2-红2，红1黄1
，红1黄2，红1黄3，红1∵共有20种等可能的结果，这两球都是红色的有2种情况，∴从中摸出两球，这两球都是红色的概率是：．故答案为
：．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；
树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．14．（2012?烟台）第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在
某校选拔一名志愿者．经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之
外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是
一红一绿，则小颖胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．考点：列表法与树状图法．分析：根据题意列表，
再根据概率公式分别求出都是红球和一红一绿的概率，即可求出答案．[来源:学|科|网]解答：解：根据题意，用A表示红球，B表示绿球，列
表如下：由此可知，共有9种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有4种结果，P（都是红球）=，P（1红1绿球）=，因此，这个规则
对双方是公平的．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状
图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．15．（2012?潍坊）田忌赛马的故事为我们熟知．小亮
与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取
出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取得牌不能放回．（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；（
2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对
，求小齐本次比赛获胜的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小齐本“
局”获胜的情况，利用概率公式即可求得答案；（2）据题意，小明出牌顺序为6、8、10时，小齐随机出牌的情况有：（9，7，5），（9，
5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），又由小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，利用概率公式即
可求得答案．解答：解：（1）画树状图得：∵每人随机取一张牌共有9种情况，小齐获胜的情况有（8，9），（6，9），（6，7）共3种
，∴小齐获胜的概率为P1=；（2）据题意，小明出牌顺序为6、8、10时，小齐随机出牌的情况有6种情况：（9，7，5），（9，5，
7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），7分∵小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，∴小齐获胜的
概率为P2=．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率与列举法求概率的知识．此题难度适中，注意理解题意是解此题的关键，注意概率=
所求情况数与总情况数之比．16．（青岛）某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券
，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如
果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：奖券种类紫
气东来花开富贵吉星高照谢谢惠顾出现张数（张）500100020006500（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；（2）请你帮助小明判
断，抽奖和直接获得购物卷，哪种方式更合算？并说明理由．考点：利用频率估计概率．分析：（1）根据概率的求法，找准两点：①、符合条件的
情况数目；②、全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率．（2）算出每张奖券获得的购物券金额的平均数，与10比较即可．解答：解：（
1）或5%；（2）平均每张奖券获得的购物券金额为100×+50×+20×+0×=14（元）∵14＞10∴选择抽奖更合算．点评：此
题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，易错点是
获得购物券得到金额的平均数．17．（2012?德州）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，
2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数．（1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数；（2）甲、乙二人玩一个游戏
，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．分
析：（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有可能得到的三位数；（2）由（1），可求得胜与乙胜的概率，比较是否相等即可得到
答案．解答：解：（1）画树状图得：所有得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143，213，21
4，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，，413，421，423，431，43
2．…（5分）（2）这个游戏不公平．∵组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，34
2，共有8个，∴甲胜的概率为，而乙胜的概率为，∴这个游戏不公平．点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件
的概率，概率相等就公平，否则就不公平．18．（日照）周日里，我和爸爸、妈妈在家都想使用电脑上网，可是家里只有一台电脑啊，怎么办？为
了公平起见我设计了下面的两种游戏规则，确定谁使用电脑上网．（1）任意投掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面都朝上，则爸爸使用电脑；若两
枚反面都朝上，妈妈使用电脑；若一枚正面朝上一枚反面朝上，则我使用电脑．（2）任意投掷两枚骰子，若点数之和被3整除，则爸爸使用电脑；
若点数之和被3除余数为1，则妈妈使用电脑；若点数之和被3除余数为2，则我使用电脑．请你来评判，这两种游戏规则哪种公平，并说明理由噢
！考点：游戏公平性；列表法与树状图法．分析：（1）首先根据题意列出表格，然后根据表格求得两枚正面都朝上、两枚反面都朝上、一枚正面朝
上一枚反面朝上的概率，比较大小，即可求得此游戏是否公平；（2）首先根据题意列出表格，然后根据表格求得点数之和被3整除、点数之和被3
除余数为1与点数之和被3除余数为2的概率，比较大小，即可求得此游戏是否公平．解答：解：（1）列表得：正面朝上反面朝上正面朝上正面
朝上?正面朝上反面朝上?正面朝上反面朝上正面朝上?反面朝上反面朝上?反面朝上∵两枚硬币都是正面朝上的概率为：；两枚硬币都是反面朝上
的概率为：；两枚硬币一正面朝上一反面朝上的概率为：；∴“我”使用电脑的概率大；（2）列表得：123456123456723456
783456789456789105678910116789101112∵点数之和被3整除的概率为：；点数之和被3除余数为1的概率
为：；点数之和被3除余数为2的概率为：；∴三种情况的概率相等．∴第一种游戏规则不公平，第二种游戏规则公平．点评：本题考查的是游戏
公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．【备考真题过关】一、选择题1．（张家界）下列不是
必然事件的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．三角形任意两边之和大于第三边C．面积相等的两个三角形全等D．三角形内心
到三边距离相等考点：随机事件．分析：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．据此判断即可解答．解答：解：A、为必然事件
，不符合题意；B、为必然事件，不符合题意；C、为不确定事件，面积相等的三角形不一定全等，符合题意；D、为必然事件，不符合题意．故选
C．点评：本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下
一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（泰州）有两个事件，事件A：367人中至少
有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（）A．事件A、B都是随机事件B．事件A、B都
是必然事件C．事件A是随机事件，事件B是必然事件D．事件A是必然事件，事件B是随机事件考点：随机事件．分析：必然事件就是一定发生的
事件，即发生的概率是1的事件．首先判断两个事件是必然事件、随机事件，然后找到正确的答案．解答：解：事件A、一年最多有366天，所以
367人中必有2人的生日相同，是必然事件；事件B、抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况，点数为偶数是
随机事件．故选D．点评：该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、
解决问题．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件
是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（绵阳）下列事件中，是随机事件的是（）A．度量四边形的内角和为180°B．
通常加热到100℃，水沸腾C．袋中有2个黄球，共五个球，随机摸出一个求是红球D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上考
点：随机事件．分析：随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，利用定义即可判断．解答：解：A、是不可能事件，故选项错误
；B、是必然事件，故选项错误；C、是不可能事件，故选项错误；D、是随机事件，故选项正确．故选D．点评：本题考查了随机事件的定义，解
决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发
生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（岳阳）下列说法正确的是（）A．随机事件发生的
可能性是50%B．一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2C．为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生作为样本
D．若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定考点：可能性的大小；抽样调查的可靠性
；中位数；众数；方差．分析：根据事件发生可能性的大小和概率的值的大小的关系以及中位数、众数、方差的定义分别进行判断即可．解答：解：
A、随机事件发生的可能性是大于0，小于1，故本选项错误；B、一组数据2，2，3，6的众数是2，中位数是2.5，故本选项错误；C、为
了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生的中考数学成绩作为样本，容量太小，故本选项错误；D、若甲组数据的方差S甲2
=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定，故本选项正确；故选D．点评：此题考查了可能性大小，用到的知识
点是可能性的大小、中位数、众数、方差等，解题的关键是根据有关定义判断出每一项的正误．5．（河北）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列
说法正确的是（）A．每2次必有1次正面向上B．可能有5次正面向上C．必有5次正面向上D．不可能有10次正面向上考点：可能性的大
小．分析：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．解答：解：因为一枚质地均匀
的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，所以掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上；故选B．点评：本
题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．（杭州）一个不透明的盒子中
装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（）A．摸到红球是必然事件B．摸到白球是不
可能事件C．摸到红球比摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大考点：可能性的大小；随机事件．分析：利用随机事件的概念，
以及个数最多的就得到可能性最大分别分析即可．解答：解：A．摸到红球是随机事件，故此选项错误；B．摸到白球是随机事件，故此选项错误；
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项错误；D．
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了随机事件以
及可能性大小，利用可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们
的可能性就相等得出是解题关键．7．（厦门）某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是（）A．买一张这种彩票一定不会中奖B．买
1张这种彩票一定会中奖C．买100张这种彩票一定会中奖D．当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%考点：概率的意义．xkb1.
com分析：由某种彩票的中奖机会是1%，即可得中奖的概率是1%，机会较小，但也有可能发生，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应
用．解答：解：A、因为中奖机会是1%，就是说中奖的概率是1%，机会较小，但也有可能发生，故本选项错误；B、买1张这种彩票中奖的概率
是1%，即买1张这种彩票会中奖的机会很小，故本选项错误；C、买100张这种彩票不一定会中奖，故本选项错误；D、当购买彩票的数量很大
时，中奖的频率稳定在1%，故本选项正确．故选D．点评：此题考查了概率的意义．此题难度不大，注意概率是反映事件发生机会的大小的概念，
只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生，注意概率是大量实验出现时，频数的一个稳定的数值.8．（湘潭）“湘
潭是我家，爱护靠大家”．自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十
字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（）A．B
．C．D．考点：概率公式．分析：根据十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在该路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为由概率之
和为1得出他遇到绿灯的概率即可．解答：解：∵他在该路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，∴他遇到绿灯的概率是：1--=．故选D．
点评：此题主要考查了概率公式的应用，根据事件的概率之和为1得出他遇到绿灯的概率是解题关键．9．（深圳）端午节吃粽子是中华民族的传
统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）A．
B．C．D．考点：概率公式．分析：让红豆粽的总个数除以粽子的总个数即为小颖吃到红豆粽的概率．解答：解：P（红豆粽）==．
故选：B．点评：本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．（黔西南州）袋子里有3个红
球和2个蓝球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地取出一个球，取出红球的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式．
分析：先求出总球数，再根据概率公式解答即可．解答：解：因为3个红球，2个蓝球，一共是5个，从袋子中随机取出一个球，取出红球的概率是
，故选B．点评：本题考查了概率的公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．（贵阳）一个不透明的盒子里有n个除颜
色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发
现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（）A．6B．10C．18D．20考点：利用频率估计概率．分析：在同样条
件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解答：解：由题意可得，×100%=3
0%，解得，n=20（个）．故估计n大约有20个．故选：D．点评：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可
以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．12．（2012?宁波）一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2
个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为（）A．B．C．D．0考点：概率公式．分析：根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题球的总数为1+2=3，白球的数目为2．解答：解：根据题意可
得：一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，共3个，任意摸出1个，摸到白球的概率是：2÷3=．故选A．点评：此题考查
概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13．（20
12?凉山州）如图，有四张不透明的卡片除正面的算式不同外，其余完全相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽到得卡片上算式
正确的概率是（）A．B．C．D．1考点：概率公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法
．分析：首先判断运算正确的卡片的数量，然后利用概率的公式求解即可．解答：解：四张卡片中第一张和第三张正确，∵四张卡片中有两张正确，
故随机抽取一张，则抽到得卡片上算式正确的概率是，故选B．点评：本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．15．（兰州）用扇形统计图反应地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，
陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
考点：几何概率；扇形统计图．分析：根据扇形统计图可以得出“陆地”部分占地球总面积的比例，根据这个比例即可求出落在陆地的概率．解答：
解：∵“陆地”部分对应的圆心角是108°，∴“陆地”部分占地球总面积的比例为：108÷360=，∴宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆
地的概率是=0.3，故选B．点评：此题主要考查了几何概率，以及扇形统计图．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．16．（
呼和浩特）如图，在一长方形内有对角线长分别为2和3的菱形，边长为1的正六边形和半径为1的圆，则一点随机落在这三个图形内的概率较大的
是（）A．落在菱形内B．落在圆内C．落在正六边形内D．一样大考点：几何概率．分析：分别求得三个图形的面积，则面积最大的就是
所求的图形．解答：解：菱形的面积是：×2×3=3；正六边形的面积是：6×=；圆的面积是：π．∵π＞＞3，∴圆的面积最大．∴一点随机
落在这三个图形内的概率较大的是：圆．故选B．点评：本题考查了几何概率，正确求得三个图形的面积是关键．17．（大庆）如图所示，将一
个圆盘四等分，并把四个区域分别标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，只有区域I为感应区域，中心角为60°的扇形AOB绕点0转动，在其半径OA上装有带
指示灯的感应装置，当扇形AOB与区域I有重叠（原点除外）的部分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形AOB任意转动时，指示灯发光的概
率为（）A．B．C．D．考点：几何概率．分析：当扇形AOB落在区域I时，指示灯会发光；当扇形AOB落在区域Ⅱ的∠FOC（∠
FOC=60°）内部时，指示灯会发光；当扇形AOB落在区域Ⅳ的∠DOE（∠DOE=60°）内部时，指示灯会发光；这三个部分都是发光
区域，发光区域与圆的面积之比即是指示灯发光的概率．解答：解：如图，∵当扇形AOB落在区域I时，指示灯会发光；当扇形AOB落在区域Ⅱ
的∠FOC（∠FOC=60°）内部时，指示灯会发光；当扇形AOB落在区域Ⅳ的∠DOE（∠DOE=60°）内部时，指示灯会发光．∴指
示灯发光的概率为：．故选D．点评：本题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到指示灯发光的区
域是解题的关键，本题难度中等．18．（玉林）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-1、1、2．随机摸出一个小球（不放回
）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（）A．B．C．
D．考点：列表法与树状图法；根的判别式．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程x2+px
+q=0有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵x2+px+q=0有实数根，∴△=b2-4ac=
p2-4q≥0，∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有（1，-1），（2，-1），（2，1）共3种
情况，∴满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是：．故选A．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率与一元二次方程判别
式的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事
件；注意此题是放回实验还是不放回实验；注意概率=所求情况数与总情况数之比19．（桂林）中考体育男生抽测项目规则是：从立定跳远、实
心球、引体向上中随机抽取一项；从50米、50×2米、100米中随机抽取一项．恰好抽中实心球和50米的概率是（）[来源:学&科&
网Z&X&X&K]A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：首先画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果与恰好
抽中实心球和50米的情况，利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，恰好抽中实心球和50米的有1种
情况，∴恰好抽中实心球和50米的概率是：．故选D．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（义乌市）义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．
若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：首先
将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，即可画树状图，由树状图即可求得所有等可能
的结果与能够翻译上述两种语言的情况，利用概率公式即可求得答案．解答：解：将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示
，一名两种语言都会翻译用C表示，画树状图得：∵共有20种等可能的结果，该组能够翻译上述两种语言的有14种情况，∴该组能够翻译上述两
种语言的概率为：．故选B．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法
适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题21．（长沙）任意抛
掷一枚硬币，则“正面朝上”是事件．考点：随机事件．分析：根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断
．解答：解：抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件．故答案为：随机．点评：本题主要考查
的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．22．（盐城
）小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上，他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是．考点：概率的意义；概率公式．分析：抛一枚质
地均匀的硬币，有两种结果，正面或反面朝上，每种结果等可能出现，利用概率公式即可求得答案．解答：解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种
结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，∴他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是：．故答案为：．点评：本题主要考查了古典概
率中的等可能事件的概率的求解．此题属基础题，注意如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件
A的概率P（A）=．23．（台州）不透明的袋子里装有3个红球5个白球，它们除颜色外其它都相同，从中随机摸出一个球，则摸到红球的
概率是．考点：概率公式．分析：让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．解答：解：袋子里装有3个红球，5个白球共8个球，从中摸
出一个球是红球的概率是；故答案为：．点评：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．24．（西宁）5张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同．把这5张卡片洗匀后，
正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，与卡片上图形相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是．考点：概率公式；平面镶嵌（密铺）．分
析：根据镶嵌的定义可得这5个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，再根据概率的概念即可求出利用一种地板砖能进行平面
镶嵌的概率．解答：解：∵这5个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，∴P（单独一种能镶嵌）=．故答案为：．点评：本
题考查的是平面镶嵌以及概率的定义：P（A）=，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目．m表示事件A包含的试验基本结果数．
25．（2012?绥化）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色不同外都相同．从中任取一个球，取得白球的概率与不
是白球的概率相同，那么m与n的关系是．考点：概率公式．分析：由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与
摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系．解答：解：根据概率公式，摸出白球的概率，摸出不是白球的概率，由于二者相同，故有
=，整理得m+n=8．故答案为：m+n=8．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A
出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．26．（重庆）将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍
长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是．考点：概率公式；三角形三边关系
．分析：先求出将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，共有几种情况，再找出其中能构成三角形的情况，最后根据概率公式计算
即可．解答：解：因为将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，共有5种情况，分别是1，2，5；1，3，4；2，3，3；4
，2，2；1，1，6；因为1，2，5两边之和小于第三边，所以错误；因为1，3，4两边之和等于第三边，所以错误；因为2，3，3两边之
和大于于第三边，所以正确；因为4，2，2两边之和等于第三边，所以错误；因为1，1，6两边之和小于第三边，所以错误；所以其中能构成三
角形的是：2，3，3一种情况，所以截成的三段木棍能构成三角形的概率是；故答案为：．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能
，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．27．（阜新）一个暗箱里放有a个除颜色外完全相
同的球，这a个球中红球只有3个．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定
在20%附近，那么可以推算出a的值大约是．考点：利用频率估计概率．分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳
定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解答：解：由题意可得，×100%=20%，解得，a=15个．故答案为15．点评：本
题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．28．（岳阳）“校园手机”现象受社会普
遍关注，某校针对“学生是否可带手机”的问题进行了问卷调查，并绘制了扇形统计图．从调查的学生中，随机抽取一名恰好是持“无所谓”态度的
学生的概率是．考点：概率公式；扇形统计图．分析：根据扇形统计图求出持“无所谓”态度的学生所占的百分比，即可求出持“无所谓”态
度的学生的概率．解答：解：恰好是持“无所谓”态度的学生的概率是1-35%-56%=9%．故答案为：9%．点评：此题考查了概率的求法
：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．29．（2012?青海）
随意抛一粒豆子，恰好落在如图的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子落在黑色方格中的概率是．考点：几何概率．分析
：根据面积法：求出豆子落在黑色方格的面积与总面积的比即可解答．解答：解：∵共有15个方格，其中黑色方格占4个，∴这粒豆子停在黑色方
格中的概率是，故答案为：．点评：此题考查了几何概率的求法，利用概率=相应的面积与总面积之比求出是解题关键．30．（南充）如图，
把一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为．考点：几何概率
．分析：首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率．解答：解：∵一个圆形转盘按1：2
：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，∴圆被等分成10份，其中B区域占2份，∴落在B区域的概率==．故答案为：．点评：本题
考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比
例，这个比例即事件（A）发生的概率；此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式
机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．31．（龙岩）鸡蛋孵出后，小鸡为雌与雄的概
率相同．如果两个鸡蛋都成功孵化，则孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率为．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：先画树状图展示所
有4种等可能的结果数，再找出两只小鸡中都为雄鸡占1种，然后根据概率公式即可得到孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率．解答：解：画树状图如
下：共有4种等可能的结果数，其中两只小鸡中都为雄鸡占1种，所以孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率=．故答案为：。点评：本题考查了列表
法与树状图法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率公式得到这个事件的概率
=．32．（泸州）有三张正面分别标有数字3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取
一张，记下数字后将卡片背面朝上放回，又洗匀后从中再任取一张，则两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的概率是．考点：列表法与树状图
法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的情况，再利用概率公式求解
即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的有2种情况，∴两次抽得卡片上数
字的差的绝对值大于1的概率是：．故答案为：．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；概率=所求情况数与总情况数之比．33．（201
2?宁德）一只昆虫在如图所示的树枝上爬行，假定昆虫的每个岔路口都会随机地选择一条路径，则停留在A叶面的概率是．考点：列表法与
树状图法．分析：由题意可得：昆虫共有6种等可能的选择结果，而停留在A叶面的只有1种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解答：解
：∵根据题意可得：昆虫共有6种等可能的选择结果，而停留在A叶面的只有1种情况，∴停留在A叶面的概率是：．故答案为：．点评：此题考查
的是用树状图法求概率．注意理解题意，根据题意得到昆虫共有6种等可能的选择结果，而停留在A叶面的只有1种情况是解此题的关键，注意概率
=所求情况数与总情况数之比．34．（衢州）如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”
、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图
求得所有等可能的结果与双方出现相同手势的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，双方出现相
同手势的有3种情况，∴双方出现相同手势的概率P=．故答案为：．点评：此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题比较简单，注意列表
法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，注意概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题35．（怀化）投掷一枚普通的正方
体股子24次．（1）你认为下列四种说法哪种是正确的？①出现1点的概率等于出现3点的概率；②投掷24次，2点一定会出现4次；③投掷前
默念几次“出现4点”，投掷结果出现4点的可能性就会加大；④连续投掷6次，出现的点数之和不可能等于37．（2）求出现5点的概率；（3
）出现6点大约有多少次？考点：概率公式；概率的意义．分析：（1）抛掷正方体骰子出现3和出现1的概率均为；（2）出现5点的概率不受
抛掷次数的影响，始终是；（3）用抛掷次数乘以出现6点的概率即可．解答：解：（1）∵抛掷正方体骰子出现3和出现1的概率均为。故①正
确；∵连续投掷6次，最多为6×6=36，∴出现的点数之和不可能等于37，∴④正确．（2）出现5点的概率不受抛掷次数的影响，始终是；
（3）出现6点大约有24×=4次．点评：本题考查了概率的公式，解题时注意出现1点的概率不受实验次数的影响．36．（2012?内江
）已知ai≠0（i=1，2，…，2012）满足：，使直线y=aix+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限的ai
概率是．36．考点：概率公式；绝对值；一次函数图象与系数的关系．分析：根据ai≠0（i=1，2，…，2012）满足，ai有22个
是负数，1990个是正数，从而得到图象经过一、二、四象限的ai概率解答：解：∵ai≠0（i=1，2，…，2012）满足，∴ai有2
2个是负数，1990个是正数，∵ai＜0时直线y=aix+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限，∴使直线y=ai
x+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限的ai概率是=，故答案为：，点评：本题考查了概率的公式，将所有情况都列举
出来是解决此题的关键．37．（2012?肇庆）从1名男生和2名女生中随机抽取参加“我爱我家乡”演讲赛的学生，求下列事件的概率：（1
）抽取1名，恰好是男生；（2）抽取2名，恰好是1名女生和1名男生．xkb1.com考点：列表法与树状图法；概率公式．
分析：（1）由从1名男生和2名女生中随机抽取参加“我爱我家乡”演讲赛的学生，故利用概率公式即可求得抽取1名，恰好是男生的概率；（2
）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取2名，恰好是1名女生和1名男生的情况，然后利用概率公式求解即可求得
答案．解答：解：（1）∵有1名男生和2名女生，∴抽取1名，恰好是男生的概率为：；（2）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，抽取
2名，恰好是1名女生和1名男生有4种情况，∴抽取2名，恰好是1名女生和1名男生概率为：．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率
．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题
时要注意此题是不放回实验．38．（2012?漳州）有A、B、C1、C2四张同样规格的硬纸片，它们的背面完全一样，正面如图1所示．将
它们背面朝上洗匀后，随机抽出两张（不放回）可拼成如图2的四种图案之一．请你用画树状图或列表的方法，分析拼成哪种图案的概率最大？考
点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图或列出表格，然后根据树状图或表格求得所有等可能的结果与拼成各种图案的情况，再利用
概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图如下：列表如下：第二张结果第一张A?B?C1?C2?A-?（A，B）?（A，C1）?（A
，C2）?B?（B，A）-?（B，C1）?（B，C2）?C1?（C1，A）?（C1，B）-?（C1，C2）?C2?（C2，A）?（
C2，B）?（C2，C1）-∵共有12种等可能的结果，拼成卡通人，电灯、房子、小山的分别有2，4，4，2种情况，∴P（卡通人）=，
P（电灯）=，P（房子）=，P（小山）=．∴拼成电灯或房子的概率最大．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法
与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况
数与总情况数之比．39．（张家界）第七届中博会于2012年5月18日至20日在湖南召开，设立了长沙、株洲、湘潭和张家界4个会展
区，聪聪一家用两天时间参观两个会展区：第一天从4个会展区中随机选择一个，第二天从余下3个会展区中再随机选择一个，如果每个会展区被选
中的机会均等．（1）请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果；（2）求聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区
的概率；（3）求张家界会展区被选中的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）根据题意列表或画树状图，即可求得所有可能出现的结果；
（2）根据（1）可求得聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；（3）根据（1
）可求得张家界会展区被选中的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：（1）列表得：第1天第2天长株潭张长株-长潭-长张-
长株长-株潭-株张-株潭长-潭株-潭[来源:学§科§网]张-潭张长-张株-张潭-张画树状图得：则可得共有12种等可能的结果；
（2）∵聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的就1种情况，∴聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的
概率为：；（3）∵张家界会展区被选中的有6种情况，∴张家界会展区被选中的概率为：=．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知
识．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概
率=所求情况数与总情况数之比．40.（天门）小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随机做出“石头”、“剪刀”、
“布”三种手势的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，相同的手势是和局．（1）用树形图或列表法计算在一
局游戏中两人获胜的概率各是多少？（2）如果两人约定：只要谁率先胜两局，就成了游戏的赢家．用树形图或列表法求只进行两局游戏便能确定赢
家的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与在一局游戏中两人获胜的情况，利
用概率公式即可求得答案；（2）因为由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为．可画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与
进行两局游戏便能确定赢家的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：（1）画树状图得：∵总共有9种情况，每一种出现的机会
均等，每人获胜的情形都是3种，∴两人获胜的概率都是．（2）由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为．任选其中一人的
情形可画树状图得：∵总共有9种情况，每一种出现的机会均等，当出现（胜，胜）或（负，负）这两种情形时，赢家产生，∴两局游戏能确定赢
家的概率为：．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两
步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．41．（珠海）某学校课
程安排中，各班每天下午只安排三节课．（1）初一（1）班星期二下午安排了数学、英语、生物课各一节，通过画树状图求出把数学课安排在最后
一节的概率；（2）星期三下午，初二（1）班安排了数学、物理、政治课各一节，初二（2）班安排了数学、语文、地理课各一节，此时两班这六
节课的每一种课表排法出现的概率是．已知这两个班的数学课都有同一个老师担任，其他课由另外四位老师担任．求这两个班数学课不相冲突的概
率（直接写结果）．考点：列表法与树状图法．专题：图表型．分析：（1）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解；（2）利用树状图
分别画出每一个班级的课程安排情况，再根据（1）班的每一种排列都与（2）班的所有排列可以相组合，求出所有的排列情况，然后找出不冲突的
排列，最后根据概率公式列式计算即可得解．解答：解：（1）如图，共有6种情况，数学科安排在最后一节的概率是；（2）如图，两个班级
的课程安排，（1）班的没有一种安排可以与（2）班的所有安排情况相对应，所有共有6×6=36种情况，每一种组合都有6种情况，其中有2
种情况数学课冲突，其余4种情况不冲突，所有，不冲突的情况有4×6=24，数学课不相冲突的概率为：=．点评：本题考查了列表法或树状
图法，根据题意列出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．42．（黔东南州）在一个不透明的布袋里装
有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取
出一个小球，记下数字为y．（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=-x+5的图象上的概率．（2）小明和小红约定做一个游戏，其
规则为：若x、y满足xy＞6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．考点
：游戏公平性；一次函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与
点（x，y）在函数y=-x+5的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案；（2）根据（1）求得小明胜与小红胜的概率，比较概率大小，即
可确定游戏是否公平，只要概率等则公平，否则不公平．解答：解：（1）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，在函数y=-x+5的图象上的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），∴点（x，y）在函数y=-x+5的图象上的概率为：；（2）∵x、y满足xy＞6有：（2，4），（3，4），（4，2），（4，3）共4种情况，x、y满足xy＜6有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1）共6种情况，∴P（小明胜）=，P（小红胜）==，∴P（小明胜）≠P（小红胜），∴不公平；公平的游戏规则为：若x、y满足xy≥6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜．点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．43．（六盘水）假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是张，补全统计图．（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．考点：游戏公平性；扇形统计图；条形统计图；概率公式；列表法与树状图法．分析：（1）根据去A、B、D的车票总数除以所占的百分比求出总数，再减去去A、B、D的车票总数即可；（2）用去B地的车票数除以总的车票数即可；（3）根据题意用列表法分别求出当指针指向的两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方是否公平．解答：解：（1）根据题意得：总的车票数是：（20+40+10）÷（1-30%）=100，则去C地的车票数量是100-70=30；故答案为：30．（2）余老师抽到去B地的概率是；（3）根据题意列表如下：因为两个数字之和是偶数时的概率是，所以票给李老师的概率是，所以这个规定对双方公平．点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．44．（2012?黄石）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．考点：游戏公平性；根的判别式；列表法与树状图法．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．解答：解：（1）画树状图得：∵（a，b）的可能结果有（，1）、（，3）、（，2）、（，1）、（，3）、（，2）、（1，1）、（1，3）及（1，3），∴（a，b）取值结果共有9种；（2）∵当a=，b=1时，△=b2-4a=-1＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，当a=，b=3时，△=b2-4a=7＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，当a=，b=2时，△=b2-4a=2＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，当a=，b=1时，△=b2-4a=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，当a=，b=3时，△=b2-4a=8＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，当a=，b=2时，△=b2-4a=3＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，当a=1，b=1时，△=b2-4a=-3＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，当a=1，b=3时，△=b2-4a=5＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，当a=1，b=2时，△=b2-4a=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，∴P（甲获胜）=P（△＞0）=＞P（乙获胜）=，∴这样的游戏规则对甲有利，不公平．点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． |
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