AECF
事实上,如果BC∥EF∥AD,则ABCD为梯形,于是?EF分别为AB
=
EBFD
AIBJ
和CD的中点?I、J分别为AC、BD的中点?=.
ICJD
如果BC与AD不平行,则直线AD与BC中至少有一条与EF相交,不妨设
AD与EF交于K,如图20,考虑△ABD与截线EJK,△ACD与截线FIK,由
Menelaus定理,有
AEBJDKCFDKAI
??=1=??.
EBJDKAFDKAIC
AEBJCFAIAECFAIBJ
所以,?=?.故=?=.
EBJDFDICEBFDICJD
再证本题(推广情形).如图21,设△PAB与△PCD的外接圆交于P、O两点,
易知△OAC∽△OBD,由引理,△OAQ∽△OBR,所以∠AQO=∠BRO,因此,O、R、
P、Q四点共圆,这说明点O在△PQR的外接圆上.但AB与CD不平行,所以
O≠P.即所有△PQR的外接圆周除了点P外还有一个公共点O.
这个证明本质上就是将线段AB与CD看成顺相似图形时,E、F为一对顺相
似对应点,O为它们的顺相似中心.将线段BD与AC也看成顺相似图形时,R、Q
为一对顺相似对应点,其顺相似中心也为点O.
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