基础自主导学规律方法探究第12课时二次函数考点梳理自主测试考点一二次函数的概念一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是
常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.任意一个二次函数都可化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,因此y=a
x2+bx+c(a≠0)叫做二次函数的一般形式.注意:1.二次项系数a≠0;2.ax2+bx+c必须是整式;3.一次项系数可以为
零,常数项也可以为零,一次项系数和常数项可以同时为零;4.自变量x的取值范围是全体实数.考点二二次函数的图象及性质考点梳理
自主测试考点梳理自主测试考点三二次函数图象的特征与a,b,c及b2-4ac的符号之间的关系考点梳理自主测试考点四
二次函数图象的平移抛物线y=ax2与y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k中a相同,则图象的形状和大小都相同
,只是位置的不同.它们之间的平移关系如下:考点梳理自主测试考点五二次函数关系式的确定1.设一般式:y=ax2+bx+c(
a≠0)若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式y=ax2+bx+c(a≠0),将已知条件代入,求出a,b,c的值.2.设交
点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x-x1)(x-x2
)(a≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将关系式化为一般式.3.设顶点式:y=a(x-h)2+k(a
≠0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待
定系数化为一般式.考点梳理自主测试考点梳理自主测试考点七二次函数的应用1.二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模
型,这就需要认真审题、理解题意,利用二次函数解决实际问题,应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题.2.建立
平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题,求二次函数的解析式
是解题关键.考点梳理自主测试1.抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是()A.(2,3) B.(-2,3)C.(2,
-3) D.(-2,-3)答案:A2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()
A.x<1 B.x>1C.x<-1 D.x>-1答案:A3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列结论正确的是(
)A.a>0 B.c<0C.b2-4ac<0 D.a+b+c>0答案:D考点梳理自主测试4.把抛物线y=-x2向
左平移1个单位长度,然后向上平移3个单位长度,则平移后抛物线的解析式为()A.y=-(x-1)2-3 B.y=-(x+1)2
-3C.y=-(x-1)2+3 D.y=-(x+1)2+3答案:D5.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图,则关于x
的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,另一个解x2=.?答案:-1考点梳理自主测试6.函
数y=x2+2x+1,当y=0时,x=;当10时,x2+2x+1=0,解得:x=-1,∵函数y=x2+2x+1的图象开口向上,对称轴是x=-1,∴当x>-1时,y随x的增
大而增大.当1-1,∴y随x的增大而增大.答案:-1增大命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5
命题点6命题点7命题点1二次函数的图象及性质【例1】(1)二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是()A.
(-1,8) B.(1,8)C.(-1,2) D.(1,-4)(2)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=
1,且经过点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1_______y2.(填“>”“<”或“=”)解析:(1)
抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求.所以二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(-1,8).故选A.命
题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7(2)点(-1,y1),(2,y2)不在对称轴的同一侧,不能直
接利用二次函数的增减性来判断y1,y2的大小,可先根据抛物线关于对称轴的对称性,再用二次函数的增减性即可.设抛物线经过点(0,y
3),因为抛物线对称轴为直线x=1,所以点(0,y3)与点(2,y2)关于直线x=1对称.则y3=y2.又a>0,所以当x<
1时,y随x的增大而减小.则y1>y3.故y1>y2.答案:(1)A(2)>命题点1命题点2命题点3命题点4命题点
5命题点6命题点7命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点2利用二次函数图象判断a,b
,c的符号【例2】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2.下列结论
:①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有(
)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:因为对称轴为直线x=2,所以-=2,所以4a+b=0,所以①正确;因为
当x=-3时,9a-3b+c<0,所以9a+c<3b,所以②错误;易知a<0,b>0,c>0,又因为4a+b=0,所以8a+7
b+2c=-2b+7b+2c=5b+2c>0,所以③正确;因为当x>2时,y的值随x值的增大而减小,所以④错误.所以正确的有2
个.故选B.答案:B命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点1命题点2命题点3命题点
4命题点5命题点6命题点7变式训练已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,有下列结论:①b2-4ac>0;
②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0.其中,正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析:由图
象知,抛物线与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,故①正确;与y轴交于负半轴,则c<0,开口向上,则a>0,对称轴x=-
=1,b=-2a<0,则abc>0,故②正确;当x=-2时,y>0,此时y=4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0
,故③正确;x=1是抛物线的对称轴,由图象知抛物线与x轴的正半轴的交点在3与4之间,则当x=3时,y<0,即y=9a+3b+c<0
,④正确,即正确结论有4个.答案:D命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点3二次函数图
象的平移【例3】将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为()A.
y=(x-1)2+4 B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6 D.y=(x-4)2+6解析:∵y=x2-2x+3=
(x-1)2+2,∴向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的解析式为y=(x-1-3)2+2+2,即y=(x-4)2
+4.故选B.答案:B命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点1命题点2命题点3命题
点4命题点5命题点6命题点7命题点4确定二次函数的解析式【例4】已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的表达式;(2)求该抛物线的顶点坐标.命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7基础自主导学规律方法探究 |
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