【原】求三次方程的近似解，牛顿切线法与卡尔丹公式法的对比

本文信息量较大，老黄就不啰嗦直奔主题了。

求x^3/3-x^2+2=0的实根，保留三位有效数字.

解法1：牛顿切线法的应用，这是一种数值求解法，只能得到方程的近似解。关于牛顿切线法的原理，老黄在“老黄学高数”系列视频第211讲中有详细介绍，如果没有基础，可以先搜出来看看。

解1：记f(x)=x^3/3-x^2+2，则f’(x)=x^2-2x, f”(x)=2x-2,

f’(0)=f’(2)=0, 【即函数有两个稳定点】

f”(0)=-2<0, f”(2)=2>0, f有极大值f(0)=2>0, 极小值f(2)=2/3>0, 【说明函数在两个极点之间没有零点】

由三次函数的性态知, f(x)=0只有一个实根ξ.【当三次函数y=ax^3+bx^2+cx+d的系数a>0，且两个极值都大于0时，函数有唯一零点，在两个极值点的左侧。】

又f(-1)=2/3>0, f(-2)=-14/3<0; ∴ξ∈(-2,-1).【有经验的话，检验很快可以完成，没有经验的话，可能需要多检验几次，就是要得到一个单位区间，两个端点的函数值相反。由根的存在性定理，就可以知道函数的零点在这个区间上。而且这个区间上，函数还必须具有单调性和凸性】

当x∈[-2,-1]时，f’(x)>0，f”(x)<0.【牛顿切线法有四种情形，这属于第三种情形，如下图所示，注意，这个图代表牛顿切线法的一种情形，而非三次函数图像的一部分】

从点A(-2,-14/3)作切线与x轴相交于x1=-2- (f(-2))/(f'(-2)) ≈-1.417.【这一步是牛顿切线法的核心步骤，接下来按一般的方法是检验x1与方程实根的误差。但方法并非只有一种，下面采用的是继续求x2的方法，反正x1铁定是不准确的嘛】

x2=-1.417- (f(-1.417))/(f' (-1.417)) ≈-1.219.【你瞧，这个结果和x1相差了差不多有0.2，可见x1有多不准确，那x2怎么样？还是不合适，还得继续“相亲”】

x3=-1.219- (f(-1.219))/(f′ (-1.219)) ≈-1.196. 【感觉还不满意，因为它与x2相差了0.023，误差可能还比较大，再“相”一个】

x4=-1.196- (f(-1.196))/(f′ (-1.196)) ≈-1.195. 【注意到没有，{xn}似乎以-1.20为极限，所以就以-1.20为近似解，正好保留3位有效数字】

……取ξ≈-1.20.

下面看看这个函数在零点和两个极值点附近的图像是怎么样的，当然，画图像并非必要的。

那么这种解法得到的近似解，到底精确度怎么样呢？下面再尝试第二种方法。

解法2：卡尔丹公式法是一种解析法，理论上是可以得到三次函数的准确根的。但它是一个复杂的根式形式，不取近似数，其实意义也不大。这种方法必须先把方程化为x^3+px+q=0的形式。

解：将方程化为：t^3-3t+4=0, t=x-1,【这一步如果你理解不了，那很好办，把t=x-1代回去就可以化为原方程】

p=-3, q=4, △=(q/2)^2+(p/3)^3=3>0, 【卡尔丹公式中，判别式△>0，说明方程有一个实根和两个共轭虚根】

u=三次根号(-q/2+√∆), v=三次根号(-q/2+√∆),

t=u+v=三次根号(-q/2+√∆)+三次根号(-q/2+√∆)≈-0.645-1.551=-2.20, 【直接将计算器用起来，不要忘了x=t+1】

x=t+1=-1.20.

比较一下两种方法，当然是卡尔丹公式法更好了。但卡尔丹公式法只是针对三次方程的，更高次的方程，或者其它不具有求根公式的方程要求近似解，还要运用牛顿切线法，才有普遍性哦。