1.1集合的概念由于空间时间维度的不同，同一个事物会有不同的解释，如：在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到
定点的距离等于定长的点组成一个球面。因此明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础。为了简洁、准确地表达数学对象及研究范围，我
们需要使用集合的语言和工具。作为高中数学的第一节，本节主要通过实例研究研究集合的含义，表示方法及表示方法，比较简单。课程目标1.
了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．2.深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能
够用其解决有关问题．3.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。重点：集合的基本概念，集合中元素的三个
特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合．集合与元素的概念元素：一般地，
把研究对象统称为元素．（<5的自然数：0、1、2、3、4，每一个数称为元素，元素是个体）集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简
称为集)．一般常用大写字母A，B，C，…表示集合。用小写字母a，b，c，…表示元素。注：组成集合的元素可以是人、物、数、点等。
集合中元素特性：任意一组对象是否能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？思考1：某班所有的身高较高的同学能否构成一个集合？提示
：集合中的元素必须是确定的，即确定性。思考2：在一个给定的集合中能不能出现两个相同的元素？提示：集合中的元素是不能重复出现的，即互
异性。思考：某班的全体学生组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？提示：集合中的元素是没有顺序的，即无序性。确定性集合中
的元素必须是确定的互异性集合中的元素必须是互不相同的无序性集合中的元素是无先后顺序的。集合中任何两个元素是可以交换位置
的。例1考查下列每组对象能否构成一个集合，并说明理由。（1）某校高一年级成绩优秀的学生；(X)（2）直角坐标系中横、纵坐标相等的
点。(直线y=x)（3）不小于3的自然数；(3、4、5、...)（4）著名的数学家；(X)（5）高一(1)班较胖的同学；(X)（6
）我国的小河流；(X)解题技巧：（判断一组对象能否组成集合的标准）判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组
对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．注：出现像‘很’、‘比较’、‘非常’
这些不确定的词都不能组成集合。集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．比如集合A为1、2、3；集合B也为1
、2、3；那么A=B。常用数集及其记法（1）N：自然数集（含0），即非负整数集(nature)（2）N+或N：正整数集（不含
0）（3）Z：整数集（一个德国女数学家对环理论的贡献,她叫诺特。她是德国人,德语中的整数叫Zahlen,她将整数环记作z,从那时候
起整数集就用z表示了）（4）Q：有理数集（无限不循环小数除外）（有理数是由一个整数与一个非零整数的比,又称作分数,也就是两个数相除
的商。而商的英文是quotient,所以用Q来代表有理数集）（5）R：实数集（realnumber）元素与集合的关系属于：如果
a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a∈A。不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a?A。例2用符号‘∈’和‘
?’填空∈R；（2）?Q；（3）|－3|∈N；（4）|－|∈Q；（5）0?N例3集合A中的元素x
满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．解析：∵x∈N，∈N∴>=0即x<3当x=0时，=2∈
N；当x=1时，=3∈N；当x=2时，=6∈N；综上所述：A的元素为0、1、2解题技巧：判断元素与集合关系的两种方法（1）
直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元
素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。集合的分类按照集合中元素的数量多少分类：有限集
：含有有限个元素的集合（1作φ，空集也是集合。（方程x2+x+1=0的所有实数根；{0}是空集吗？）集合的表示方法1、列举法把集合的元素一一
列举出来出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．例4用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合
；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．解：（1）不大于10就是小于等于10，
非负偶数即大于0小于等于10的偶数，即2，4，6，8，10；设不大于10的非负偶数组成的集合为A，则A={2，4，6，8，10}；
分解因式x(x+1)(x-1)=0，得到方程的根0，1，-1；设方程x3＝x的所有实数解组成的集合为B，则B={0，-1，1}；元
素是点，集合是点集；当x=0时y=1，即（0,1）就是交点，设直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为C，则C={(0,1)}解
题技巧（用列举法表示集合的三个步骤）1.求出集合的元素；2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3.用花括号括起来。2、描
述法(1)定义：用集合A所含元素的共同特征P(x)表示集合的方法．{x∈A|P(x)}(2)具体方法：在花括号内先写上表示这
个集合元素的一般符号及取值（变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例5用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．解析：(1)根据被除数＝商×除数＋余数
，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y
＞0}．(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．解题技巧
（描述法表示集合的2个步骤）例6(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝
()A．1B．2C．0D．0或1(2)设∈，则集合中所有
元素之积为________．例7用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“
{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元
素是什么？跟踪训练题型一集合与元素的关系1．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a
?B，则a的值为()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】∵a∈
A，a?B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.2．用适当的符号填空：已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1
，m∈Z}，则有：17________A；－5________A.【答案】∈?【解析】令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17
∈A.令3k＋2＝－5得，k＝－?Z.所以－5?A.题型二集合中元素的特性3.已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数
a的值为________．【答案】-1【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元
素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.变式1．[变条件]本例若将条件“1∈
A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．【答案】a＝2，或a＝，或a＝－【解析】若2∈A，则a＝2或a2＝2，即a＝2，
或a＝，或a＝－.变式2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？【答案】a≠0且a≠1【解
析】若A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得a≠0且a≠1.变式3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实
数a的值．【答案】a=0【解析】由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0
或1(舍去)．综上可知，a＝0.解题技巧：（根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤）题型三集合的表示方法4．若集合A
＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是()A．1B．2C．3D．4【
答案】B【解析】集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．5．用列举法表示下列给定的集合：(1)大于
1且小于6的整数组成的集合A.(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B方.(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点
组成的集合D.【答案】见解析【解析】(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．(2)方程x2
－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．(3)由得所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(
1,4)}．6．用符号“∈”或“?”填空：(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；(2)(
1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．【答案】(1)∈?(2)∈【解析】(1)易知A＝{0,1}，故1∈A，－
1?A；(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．7．用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2
且n∈N}；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．【答案】见解析【解析】(1)列
举法：P＝{0,2,4}．(2)描述法：.或列举法：{(0,0)，(2,0)}．(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．8.
(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝
()A．1B．2C．0D．0或1(2)设∈，则集合中所有元素之积为________．【答案
】(1)D(2)【解析】(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1
＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只
有一个元素．(2)因为∈，所以2－a－＝0，解得：a＝－，当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝2－4×＝>0，所以集合的所
有元素的积为方程的两根之积等于.解题技巧：(集合表示法中元素与集合的关系)1.若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合
属性是关键；2.若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键；9．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}
，求a，b的值．【答案】见解析【解析】由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，因此a＝5，
b＝6.10．设集合B＝.试判断元素1,2与集合B的关系；用列举法表示集合B.【答案】见解析【解析】(1)当x＝1时，＝2∈N
.当x＝2时，＝?N.所以1∈B,2?B.(2)∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4
}.题型四集合含义的拓展11.用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．【答案】见解析【解析】抛物线y＝x2＋1上的
点构成的集合可表示为：{(x，y)|y＝x2＋1}．变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？【答案】见解析【解析】集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？【答案】见解析【解析】集合{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．解题技巧（认识集合含义的2个步骤）一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。1 |
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