从状态观测器角度理解卡尔曼滤波

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作者丨PMr Qin

来源丨古月居

本文假定读者已学习过现代控制原理与概率论的相关知识，约定如内容涉及该学科则自动跳过解释，文章基于作者对卡尔曼滤波器的认识，融入了一些个人想法，并不完全按照卡尔曼滤波的原文进行公式推理，如有错误，欢迎指出。

卡尔曼滤波解决了什么问题？

卡尔曼滤波是经典的预测算法，它能在存在噪声和干扰的情况下对系统的状态进行最优估计。通信与控制中一类重要的理论和实践问题是统计性质的。

这些问题包括：

(1)随机信号的预测；

(2)将随机信号与随机噪声分离；

(3)在存在随机噪声的情况下检测已知形式的信号(脉冲、正弦)。如果根据原理用通俗的话来讲，就是利用t=k时刻系统的输出值和观测器的输出值，预测系统在 t=k+1时刻的输出值。一个常见的应用是利用卡尔曼滤波进行多目标跟踪。

图 1 多目标跟踪

理论公式推导

我们将主要讨论离散（或采样）动态系统；换句话说，信号将在等间隔的时间点（采样瞬间）观察到。

通过适当选择时间尺度，可以选择连续采样瞬间（采样周期）之间的恒定间隔作为单位。因此，与时间有关的变量将始终是整数。

对离散动态系统的限制根本不是必要的（至少从工程角度来看）；然而，通过使用离散性，我们可以保持数学的严谨性和基础性。下面给出该离散动态系统的运动方程与观测方程：

图 2 系统框图

我们假设了马尔可夫性，即当前时刻的状态只和上一个时刻有关，并假设过程噪声ωk和观测噪声vk服从均值为00的高斯分布：

R和Q为两个噪声的协方差矩阵，输入、输出和噪声之间两两独立。然后我们构造该系统的观测器

图 3 开环观测器系统框图

可以看到笔者构造的观测器对过程噪声和观测噪声是未知的。按照控制理论的观点，开环观测器随着时间的推移它的输出值将会越来越不准确，一个经典的解决办法则是给观测器添加一个输出反馈通道，使得观测器能够逼近系统的真实状态，设附加的反馈矩阵为K。

从闭环观测器系统框图可以看到，笔者将系统输出和开环观测器输出之间的误差作为反馈信号传回给观测器的反馈通道，这里稍微与我们认识的观测器有些许不同。我们将加入反馈后的状态值称为状态的反馈估计：

图 4 闭环观测器系统框图

在某些博文或者论文中会叫这个反馈估计为最优估计，但是为了保证整篇文章在状态观测器的解释方法不受其他解释的束缚，这里是笔者自行定义的名称。

两个误差项之间是有关联的，怎么知道他们之间的关系？将公式(3)的等号两边取负号再加上xk，则可得：

由于误差项已经带有噪声，从概率的角度考虑，我们应该保证反馈估计误差的方差尽可能地小，这样就能使我们对观测器的预测准确度更大：

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