黑柏论3-数学

taotao_2016 2022-08-15 发布于北京

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（万物皆数）

要理解“生命”和“世界”，需要略了解一点数学。

当然，从未存在一个统一的数学的理解，它总是处于冲突中，呈现二分叉或更多，来回摇摆却始终伴随着我们。在正文开始之前，我们先简单列举一些关键字，并解释其哲学倾向。

几何和代数。前者无疑诞生于对空间的直觉，后者是时间。从欧几里得开始，直到笛卡尔，才在平面坐标上引入数字。

（1637年笛卡尔，来源 bbc 数学的故事）

比较牛顿和莱布尼兹，会发现他们分属不同的传统，牛顿属于几何，而莱布尼兹属代数，分别独立发明或发现了微积分。牛顿发展出一种盒子式的空间认知，而莱布尼兹则开始了一个雄心勃勃的计划，它属于形式化的初步。Atiyah简单的指出了两边的代表人物，几何精神的是牛顿-庞加莱-阿诺德，倾向于抽象代数的是莱布尼兹-希尔伯特-布尔巴基。

连续与离散。代数一开始是一门离散数量的知识，而几何总是连续的。这造成了从无理数的发现以来两种对立的派系，纠缠至今。欧式几何重新定义了数学，离散的整数不再是数学的起点、原始对象，而是线的测度。而变量被引入代数、实数轴被重新吸收，线就成了多项式，几何就被纳入分析，比如勒贝格。牛顿和莱布尼兹的微积分，经由较为中立的伯努利兄弟

的传播，虽然当时是牛顿取得了胜利，而流行至今的，却是莱布尼兹。这边刚将无穷引入数学，那边又来了个分球悖论。为了排除分球悖论，这边做出了测度论，却与选择公理相悖，正好那边排斥可以从选择函数推出的排中律。连离之间，反而不如连离各自内部更加视彼此如寇仇。

虽然阿诺德跟Louis Pasteur一样强调数学只是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分，然而，连离之争却只能算是哲学，不能靠实验分输赢。所以，直到混战之后，出现了一系列连离的翻译，比如哥德尔-根岑翻译。才发现，原来连离之争，是看待数学的不同角度，不同思维方式。某种程度上，它们只是数学中的“对偶”。根本分歧在于认知基础不同带来的公理接受程度的差异，进而导致研究方法的不同。

有趣的是，计算机科学算是离派（形式主义）奠基，然而发展后的两大支柱，却是连派的直觉主义和类型论，他们大部分崇拜的其实是庞加莱。受离派思想启发发现力迫法的科恩，后半生却都致力于发明黎曼猜想的解法。

直觉和逻辑。20世纪的连离之争。数学的直觉跟物理的直觉略有不同，物理学家的直觉是被数学家诟病的“并未给出严格的数学证明”，比如发展为T对偶的镜像对称。而数学中直觉主义相当于概念论，形式主义相当于唯名论，逻辑主义相当于实在论。

发明和发现。数学是一种发明还是发现？发明意味着数学是人造的，亚里士多德在解决芝诺悖论的时候，明确了数学只是抽象而并非事物的形式（本质）；而发现意味着原本就有某种东西在那里等待着数学家去发现，这基本上等同于柏拉图主义。

倾向于发明的“构造”数学，其实可以追溯到康德。而维特根斯坦反对康德时空是先在形式，支持时空作为关系本身就倾向于黑格尔。布劳威尔的直觉主义直接来自柏格森和康德的内时间理论，柏格森的内时间理论应该最终还是来自康德，以及亚里士多德的时间理论。因此数学是自由建构的活动，不存在先天正确的数学定律。因此布劳威尔想通过取消不矛盾律（实际上是排中律，因为不可能真正严格意义上的形式化表达矛盾）的先验性从而解决无穷和矛盾的问题。维特根斯坦后来接受了这一立场，不过这次接纳矛盾仅仅是因为矛盾还是不矛盾都是同实在无关，乃是人为的建构。类似于维特根斯坦，布劳威尔认为无限不是数学对象而是数学的根据，是作为直观的时间流，因此无限虽然有真实的效果。不能像罗素那样直接消灭，但仍然不是数学对象。这些都很对维特根斯坦的胃口，而数学的自由建构性可能启发了维特根斯坦的语用学理论（语言学上的实用主义）。

而罗素哲学的起点就是用莱布尼兹的外在关系论来对抗当时流行的柏格森主义的运动和新黑格尔主义的辩证法，想让一切都确定无疑的变成外在关系，他觉得运动的过程性（相应的也就包括了直线的连续性）是模糊，矛盾是错误（连续性相对于离散也是矛盾），一切都应该多元、离散、静止（然而静止的多元论根本上还是一元论）。罗素当然敏锐的在弗雷格那发现了矛盾，他之所以敏锐不过是他一开始就知道自己的敌人在哪，甚至在他做他的数学工作之前就知道了——那是他形而上学上的抱负。

有意思的是，晚期柏拉图已经和亚里士多德一样不把数学看作本质性的理念了，而是将数学贬低为理念世界和感性物质世界的一个中间体。可划归性的方案让罗素完成了数学原理，但可划归性本身就很难说是一条自然的“逻辑”规律，而好像是人造的。

整体和部分、无穷和有限。亚里士多德在他的形而上学中提出，量无法还原成数的，或者说，线不是由点构成的。如果在一个点旁边再放一个点，因为点是没有长度的，那么长度还是零。如此积累下去，也不过将这个点越描越黑，却无法形成一条线。那么，线是怎么来的？很明显，线里面全是点，但线不是由点构成的。所以，一个基本的直觉是，整体大于部分。但同时又有一个反直觉的：有限的线，却又大于无穷的点。

实无穷来自于莱布尼兹，在康托集合论其实被排除了，不过在1960年左右又被引入非标准分析。包含着部分大于整体的批判。哥德尔有点倾向更接近早期的柏拉图式的静止的理智直观，缺乏的布劳威尔和维特根斯坦的实践的活动性，之后，皮尔士保留了布劳威尔和维特根斯坦的活动，以及布劳威尔的过程性直觉，哥德尔的概念直观，发展出了一套自己的似然现象学，并将逻辑学奠基在实践活动即伦理学上（最终奠基在现象学上），即实用主义。皮尔士指出，康托尔的连续统实际上是填不满直线的（完美的解释了为什么全体无理数是处处离散的悖论）。更加宽容的皮尔士系统显然更亲和现代的非标准分析理论容纳实无穷。另外，他的无穷理论很接近黑格尔。

1，统一的野望

过去的数学的发展之中，从不缺乏统一的野望。

首先是算术。传说，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了无理数，使得毕派算术统一失败，即“万物皆数”，被投入水中杀害。这是最早的统一数学的计划，它动摇了毕氏学派的根基。

（经常与希帕索斯混淆的希帕提娅）

然后是几何和代数。欧几里得吸取毕氏学派失败的经验，通过公理化方法整理既有数学知识。直到笛卡尔在我们现在称为笛卡尔平面引入数字坐标，它一直都是纯几何的。笛卡尔的做法是将几何为基础的数学体系化约为更为可靠的代数运算。

Adrien Douady，在数学方面的成就，集中在复数。他推动了代数几何和动力系统理论。下图左边的两位是塔尔塔利亚、卡尔达诺，文艺复兴时期复数的创始者，右边两位是柯西和高斯，在19世纪巩固了这个理论。这将代数和几何联系起来。

（参考数学维度漫步5）

然后是逻辑。随着数学的发展，包含康托尔的集合论，以及魏尔斯特拉斯等解决分析领域（主要是微积分）在形式上的数学基础等等，算术作为最可靠的数学基础被牵扯进争议。于是开始了把算术化约为逻辑的尝试。弗雷格发明了（冯诺伊曼那里也有类似方法）自己数自己的集合的方法构造全体序数，一种类似毕达哥拉斯式的道生一的方法从空集凭空建构一切，其实已经暗含了自己包自己的矛盾，一切都是空集凭空自己数自己，已经是自指否定的结构了，自指矛盾不可避免。而这一矛盾很快被罗素指出，即罗素悖论的雏形，无限是停不下来的自相矛盾的活动。

（理发师悖论：我给且仅给城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子）

为了阻止悖论，简单的将无穷归于非良序肯定是不行的，因为那等于承认了有自身超越自身的矛盾的东西，即黑格尔式的对立统一，因此将无穷良序化是个很好的思路，罗素接受了康托的集合论和无穷概念，以为终于可以将运动和矛盾（其实就是芝诺悖论）用现代方法剔除了。

罗素拉着他的老师怀特海着手修订《数学原理》（早期版本无法克服悖论），前三卷基本上主要是靠罗素完成的，关于基础代数。大概在《数学原理》第三版发行后一年左右，怀特海应该是彻底明白了罗素计划的无意义性，彻底放弃了未完成的第四卷，几何学部分。怀特海由此转入了罗素反对的柏格森阵营。

哥德尔补了绝望的最后一刀，在《论数学原理和有关系统中的形式不可判定命题》中（这名字等于说直接打了罗素的脸，十年心血还差点精神崩溃不过是为了写三大本史上最枯燥的笑话集，难怪罗素在日记里记恨哥德尔），证明了只要数学原理没有逻辑错误，就一定有什么东西漏掉了，而如果罗素的数学原理是无所不包的，那么一定是里面出现了逻辑错误。换句话说，矛盾是真实的，矛盾无法排除。讽刺的是当年罗素发现罗素悖论让弗雷格的《数学基础》功亏一篑，还是在出版前感受到了绝望。而风水轮流转，罗素也没能幸免于难，消灭矛盾，这回轮到哥德尔清算罗素了。

形式逻辑统一数学的思想，其实可以追溯到莱布尼兹。它与欧式几何的思想算是一脉相承：概念由简单观念复合而成；复杂观念组成，是由算术运算的统一和对称的组合。只是基础换成了逻辑。

（按照莱布尼兹预期实现的二进制算器）

为了给数学提供一个坚实的理论基础，希尔伯特发起一个计划，将所有数学形式化，使之完备、相容。哥德尔不仅使得罗素的形而上学抱负成为不可能，同样也打破了希尔伯特的计划。

（爱因斯坦与哥德尔）

哥德尔定理实际上在本质上，无非是说元语言无法在自身中处理自身和高于自身层级的元语言，即不存在能够完全自我证明的理性系统（元语言自指问题），一套元语言体系只能处理比自己层级低的语言（不包括系统本身的系统内的语言，这等于说一切语言都只是自己内部的循环论证而证明不了自身的合法性，都是建构性的）。

不过分析哲学往后，从卡尔纳普开始实际上一头撞上的都是这个元语言自指悖论的问题，卡尔纳普自以为用罗素一样的唯名论消解了问题（源于维特根斯坦），然而和罗素一样根本无法真正规避问题。而这一切的源头又都可以追溯到希腊哲学，最根本的问题并不因为分析哲学自立门户就能被回避。然而，早于哥德尔十年前，天才的维特根斯坦就已经发现了元语言无法处理自身的问题（眼睛看不见自己），早期的逻辑哲学论就是在处理数理逻辑的这一悖论的问题。他主张取消矛盾和数学意义上的无限（可能影响了罗素，和罗素的差别是维特根斯坦实际上把理论世界归结为外在关系而不是罗素的莱布尼兹式的内在关系），把无限看作无法被认识的形而上学彼岸（一种被简化到庸俗的亚里士多德的潜无穷理论）。这一彼岸并不意味着另一个世界，而恰恰就是作为整体的世界本身，作为逻辑认识的条件无法被逻辑本身认识，即世界（上帝）在人这里看不到他自己。而这一图景，只要是世界的一部分，无论人变得多么强大，都是无法被整全的把握的，因为只要是整体的部分不是整体本身（上帝）就认识不了整全。所以维特根斯坦甚至断言人即使死后有灵魂，那超验的灵魂也不会强大到能认识整个世界，形而上学问题不会在死后脱离尘世就能解决。说到底，逻辑无法认识自己（元语言无法认识自身），世界无法（在有限人类中）认识自己，整个世界不是认识的对象而是认识的条件，这些都让人想到康德的判断理论（如果用元语言问题重构康德，康德哲学的基本结构和大量内容将变得更加易懂）。显然罗素最痛恨的德国古典哲学面对的是最本原的问题，一切问题早在康德黑格尔那里早就被预先用另一种形式讨论过了，而更早的甚至可以追溯至柏拉图和亚里士多德这两座源泉。

然后是结构。形式逻辑统一整个数学的梦碎之后，仍有短暂的复兴。就是内模型，新形式主义的大旗，昙花般一现。连离之间的翻译，比如组合拓扑和代数拓扑（上同调、纽结）等，使得不完备的大刀不仅仅砍向离派，同时也砍向连派，可惜天才庞加莱当时已经不在。

不过，一群年轻的法国数学家，又开始了新的统一，他们以布尔巴基为公共的笔名，使用一种结构化的方法，梳理数学的已知部分。布尔巴基的核心是三大结构，以群、环、域为核心的代数结构，以偏序、全序为核心的序结构，以邻域、连续、极限、连通、维数为核心的拓扑结构。罗素的那本《数学原理》，很老实的取名为Principia Mathematica，而布尔巴基的《数学原理》，直译应该是“数学的基本要素”（《几何原本》直译就是“几何的基本要素”），其雄心昭然若揭。Atiyah也把布尔巴基称为希尔伯特最著名的弟子。

经过两代布尔巴基成员的努力，终于把代数拓扑学、同调代数、微分拓扑学、微分几何学、多复变量函数论、代数几何学、代数数论、李群和代数群理论、泛函分析等数学领域汇合在一起，形成现代数学的主流。布尔巴基的宣言是，结构是数学家使用的数学基础，而不是逻辑。

大概到了1970年以后，布尔巴基的后继者已经雄心不在。三大母结构之上，本预期有更为根本的统一结构，不过并未完成。还有一些比如数论、递归论，并未纳入布尔巴基体系。而且，“结构”这个概念的进一步升华，就是“范畴”。某一类型的结构的所有有可能的例子的类，再加上保持这种结构的所有函数，就是“范畴”。范畴是一个比结构更加灵活的概念（不属于布尔巴基），也并未得到充分的发展。可惜，抽象的路只是一条不归路。仿佛来自虚空的格罗滕迪克，坚持“普遍性”的数学教皇，却也远离了数学，成为一位激进的政治家。

然后是对偶Duality。对偶，不是一种理论，是一种原理。对偶指对同一对象的两种不同的描述。在物理学中，特指两种不同的数学描述，却有着相同的物理结果。在希尔伯特、布尔巴基，集合论和形式逻辑是对偶的。上同调推动了群论的进一步发展之后，就可以将Weyl从规范群推广到非规范群，引出强弱电统一的标准模型。大概在2000年之后，威滕和一些年轻人发展了非阿贝尔代数几何（格罗滕迪克的部分成果），表明，黎曼曲面的几何朗兰兹纲领可以从非阿贝尔对偶中重建，每一种4维对偶都有电和磁两种形式（S对偶），特定代数簇镜面对称（T对偶）在其中发挥了重要的作用。

对偶一定程度上也可以说是翻译，比如哥德尔-根岑翻译。不同的数学是由不同的语言写就，而将不同的语言，翻译成同一种语言，就是对偶。相比使用逻辑、结构重构数学大厦，翻译是更高层次的统一。

总的来看，某种程度上，统一之路，翻译的思路都可以算是巩固了进展，而重构的思路，几乎都走入了死角。一个时代的力量总归是有限的啊。

1940年，法国数学家韦伊（布尔巴基的早期成员之一）给妹妹写信，简单解释了他对于数学未来趋势的理解，大概这么说：“我的研究目的是破译用三种语言写就的文本。在这三个领域中，我只有一些支离破碎的知识。我对这三种语言分别有一些理解，但是我也清楚这三个轨道彼此之间在内涵上存在巨大的分歧，我到目前为止还没有充分掌握这些分歧。经过几年的研究，我只积累了一些知识的碎片，这还不足以编纂出一本完整的翻译字典。”

1967年朗兰兹给韦伊的一封信中提出，对互反律进行更一般情形的猜想。之后才发现可以做的更多，形成了联系多个领域包含数论、几何、群论的大纲领。这就是朗兰兹纲领。力迫法之后，集合论为基础形式化方法走向末路。布尔巴基原始的形式主义数学，一直未纳入数论。而朗兰兹就是从数论入手的。受朗兰兹启发，Wiles在90年代证明了费马大定理。Atiyah将引入量子场论。20年后，朗兰兹的思想启发了统一弦论中的M理论。

（朗兰兹纲领被誉为数学的罗塞塔石碑）

不过，朗兰兹纲领仍然是一个猜想，2008年，越南裔数学家吴宝珠在法国完成了对基本引理的证明。它给出了一个公式，关于局部域上的约化群上的轨道积分和另一个群上的稳定轨道积分的之间的联系。

Atiyah说，还有什么会发生在二十一世纪？比如Connes的非交换数学，相当宏伟的统一理论仍然会出现。

而未来的数学发展，同样也不会缺乏统一的野望。

2，不完备性

哥德尔，及之后的科恩，在后续的统一中仍然岿然不动。构造数学，只是梳理数学中的“已知部分”。对偶是翻译。

哥德尔本人也仍然坚守柏拉图的原始立场，而且理念来自柏拉图意义上的理智直观。因此，哥德尔很看好胡塞尔的现象学，希望现象学方法能为人类提供更多的非数学的公理命题。因为理智直观无可计算，哥德尔也反对机械算法可以模拟人脑。（参考哥德尔信念）。图灵反而不一样。

哥德尔定理的数学不完备性理论，被维特根斯坦更为简洁的表达为守规则悖论，即数学本身是没有任何根据的自由建构活动（数学本身无法做到自我证明，等于说数学是无根据的，这就导致了多种数学体系并存），因此数学不过是五颜六色工具的集合，并没有什么本质，也不是世界的本质。然而维特根斯坦毕竟不懂数学，不是数学领域的行家导致维特根斯坦仍然没能真正处理数学问题，他只是一个旁观者，如果他处理数学问题，可以将他划分到连派阵营。维特根斯坦的主要敌人与其说是形而上学不如说恰恰是数学和数理逻辑。维特根斯坦认为数学是语言空转的理论，在数学上无法抵御哥德尔对唯名论的三大质疑，在物理上无法解释像解析开拓这种物理意义上荒唐的纯数学理论居然有物理学上的应用（虽然那时候物理学还没有发达到能给出这样的例子，不过这已经证明了数学而不是常识才更接近物理学的思辨基础，这样维特根斯坦的唯名论的常识主义就变成了想当然），这完全不是维特根斯坦早期理论的解决方案能搪塞的。最致命的是维特根斯坦对数学本身的理解，不完备定理说的恰恰是数学不可能完备的给出逻辑一致的数学系统，即数学系统无法一次性无矛盾的给出，这和维特根斯坦想当然的唯名论直觉完全相悖（数学作为人造的纯逻辑建构当然是完备的且一致的，这是人自己如此构造的结果，也是罗素的逻辑主义的核心，当然这些都是想当然的错误）。维特根斯坦太青睐于自己的常识，而很多事就是同常识相悖的（不过常识来看，显然数学不是人造的）。数学不可能是逻辑连贯而又完备的，这说明数学不是人为的一瞬间构造的结果，无法一次性给出全体，而只能有限性的在时间中渐次的给出。维特根斯坦预料到了不完备定理意味着数学的非统一性，却没有意识到非统一性意味着数学系统本身无法一次性完成，以及有限数学中存在着无法判定的命题，换句话说不可判定性即罗素悖论并不是可以单纯用禁令消极的单纯的文字游戏而是有实质的数学效果（这意味着整个晚期维特的以消极问题而不是解决问题为导向的哲学可能走入了极端）。

纯从哲学角度看，逻辑空间悖论的存在，自然是由于形式逻辑系统本身不是最终的根据，也就意味着宇宙中存在着更高的辩证关系。这里的实质核心是，由于世界本身可理解的多样性导致的（相对性）。当整个逻辑空间断言一切（可能的）皆真的时候，实际上等于说连那些假的（真命题p的对立面非p皆可在逻辑空间内成立并引起逻辑爆炸，即二律背反）甚至自相矛的东西（p和非p同时成立）也为真了，甚至可以断言一切皆假也为真（黑格尔：仅仅可能的就是仅仅不可能的）。这就引起了逻辑空间的自相矛盾，这也是二律背反的根源之一（全能悖论的更简单版本，上帝如果能创造一切，能不能创造出它不能创造出的东西）。因此逻辑空间整体作为一切可能的现实性，就必须同样是不可能本身的现实性，即不可能性或者非现实性，因此逻辑空间总体是存在且非存在的（二律背反，也是最基本的，世界总体并非一个实体的存在者，因此存在又不存在，海德格尔的存在论差异，即存在不是一个存在者）。

逻辑空间的不完备性，逻辑空间（它作为总体规范着独立于它的个体）和个体本身的相对独立性（有限个体不能先验的从逻辑空间中导出，因此是经验性的，同时它独立于它的规范性，不是必然的而是相对于应然来说是偶然的），多种先验的理解世界的模型存在（它们的有效性可以是不同的），证明了模态在本体论上是一个先天事实。

因为模态性是先天事实，所以时间和偶然性是必然存在的，将一切内容都纳入知识是会造成矛盾的，而渐次的扩展知识并不停的在知性内设定规则区分不同的层面来解决矛盾或者归类不同的系统可以暂时扩展知识和取消矛盾，但这也仅仅是推迟矛盾罢了（像类型论那样）。当我们在知识系统内区别了一个概念的两个不同层面时就忽略了其可被把握到的同一性，而当我们把握其同一性时就忽略了其在不同意义层面上的个别性。以此类推在更高阶内试图解决矛盾，同一和区别的同一性以及同一和区别的区别性依然构成二律背反，而不可能在同一个形式系统内同时无限的断言同一和区别而又保证一阶逻辑（乃至所有形式逻辑系统）所要求的那种离散性（除非我们超出形式逻辑而进入允许容纳二律背反即矛盾的辩证逻辑）。因为真正的世界总体本身的矛盾是无法消除的，而且是逻辑不完备的，换句话说不是因为我们的无知导致了一个逻辑自洽的宇宙无法被认识，而是一个完成了的逻辑自洽的宇宙压根不实存。世界无法在认识中消解自身的矛盾，知识的无限扩充也从不意味着我们在向真理无穷接近而其实仅仅只是在无意义的在进步的幻觉中原地踏步（黑格尔的恶无限）。

整个问题的实质核心：区分逻辑空间内外后，不可证命题的自我取消将被限制在有限空间内部（逻辑空间内部不允许二律背反），而其存在被排斥在空间外部（逻辑空间内部对逻辑空间外部无能允许二律背反），因此就将其存在和不存在的二律背反分隔开来成为不同层面了，这样就能使得二律背反以合理即合乎逻辑方式存在。而对于尚未区分内外的逻辑空间总体，它是潜在未分化为有特定真值的混沌总体，没有良好的真值（进行规定者本身是无规定的，而是规定本身的条件或者说进行认识者不可认识因为是认识的条件，前者是黑格尔所强调的后者则是康德所强调的）。任何逻辑系统都需要对逻辑总空间进行分割或者分有，通过这种分割就可以分化出一片相对稳定的领域（但内部仍然可以有不可判定命题如果系统足够强的话），但未分割和分化的逻辑空间，不能在分有它自身（柏拉图和亚里士多德的第三者悖论），整个逻辑空间是二律背反的（柏拉图巴门尼德篇太一的辩证法，在那一章里处理的实际上就是类型论悖论）。这实际上就是谢林批判否定哲学的思路，整个逻辑空间的存在模态本身，并不能通过逻辑空间本身提供的规定了的否定性（斯宾诺莎意义和黑格尔意义上的）而得到规定，因为规定了的否定乃是规定逻辑空间内的要素的。因此任何系统内都存在着不可判定的命题p，它只能作为独立的公理事后加入系统，而该公理不一定要被预设为真。由于存在着各种不同的预设或者说公理，因此就存在着不同的命题系统，即用谢林的话说，有限逻辑空间（存在者意义上的有限本体论）总是可以别样存在（逻辑系统的可变性，以及世界的时间性）。

所以亚里士多德认为现在是不可分的，但又潜在可分（分为诸多量化的现在计数时刻），实无穷不是一个量，而是没有量性的质（不可分的现在，连续的运动过程），而可量化的无穷是未完成的潜无穷，不可能真正获得这样的无穷，所以无穷是不存在的（不可达）但其效果又总是有。

除了实质蕴含怪论，在模态上严格蕴含怪论也得到了很好的理解。任何经验的规律都不是绝对必然的，都是偶然的必然性（黑格尔意义上外在的必然性），所以怪论只出现在先验规定的数学或者逻辑领域，而逻辑领域的总体本身就是二律背反的（1+1等于2本身不是必然的，因为可以设想别样可能），因为逻辑空间本身是无根的（谢林）。一旦承认矛盾，上帝的全能性就不再是悖论了，因为允许容纳矛盾，上帝举不起的石头和创造不出来的东西，即无能本身也是全能可以实现的一种功能，即全能的一个部分，并且上帝的绝对全能甚至可以让无能和全能同时成立，这就超越了单纯的全能。

如果全能就是实现或者创造，那么全能就是能实现一切的能力，即绝对的现实性，但绝对的现实性不是别的，就是纯然未分化的纯粹潜能。这就是爱留根那所说的，在无限中一切对立面都是相互同一的，这对于数学的绝对无限还是逻辑上的绝对大全都是如此（赫拉克里特认为在绝对无限的视角看来，一切对和错的东西都是对的，即p和非p同时成立）。纯粹的现实就是纯粹的潜能，这一伟大的奥秘是解决谢林不可先思之在的钥匙，是亚里士多德现实和潜能关系的奥秘，更是形而上学第十二卷中绝对现实性不作为一个一般的动力因而是作为非现实的目的因的玄奥的道理，而理解这个奥秘的就只能是辩证逻辑。

最后，如果要问是否真的存在什么不可证明的东西，答案就是由于时间的存在，证明过程是永远也穷不尽的，所以不可证的东西任何时候总是相对存在着的，这就是思维和存在总有着最小的差距，即不可完全穿透的质料及其引起的非永恒（非概念）的流变。但绝对的不可证明的东西是不存在的，因为那最高的不可证明乃是逻辑空间自身的不可证明性，是逻辑空间自身的二律背反和非理性，这就是黑格尔所说的内在的不可知性（内在的偶然性），即偶然性就是这个可以被认识到的无原因的简单规定（背后不再有实体作为原因支撑，即不是因为无知而是简单的可以被认识到的因果链的偶然断裂），以及最高的可以把握一切的非知之知（逻辑空间自身的不可知性，但总以是进行规定和理解的逻辑空间本身）。这就是一切东方哲学和德国古典哲学乃至柏拉图和亚里士多德的的哲学，特别是黑格尔哲学的奥秘。

无穷，不可判定性及随机间的关系：直觉上，通过不完备定理，只要系统容纳能无穷，就会导致不可判定命题的存在，而真实的不可判定导致世界本身在逻辑层面上的不完备性会导致绝对必然性失效，也就会产生真正的偶然性即随机（本体论上缺乏可判定的理由，因果链是不完备的，而这一不完备是实存层面的而不是因为我们无知）。这是因为一旦允许存在无穷，那么无穷远处是一个存在且不存在的点（无穷总是未完成的，因此无穷远处是不可判定的），而这样的点所具有的性质就是不可判定的（无穷远处具有p，那么p由于存在且不存在就既真又假），比如黑白相间的格子里，黑白色块无穷小的交界处就无法判定其黑白。因此容纳无穷的系统，即绝对的大全本身包含不可判定的命题，将会导致整个世界本身是不完备的，从而产生本体论层面上的模糊性和不完备性（随机性）。

3，物理

量子力学中，无穷小（奇点）处物理定律失效（丧失定义，或产生毁灭性的质量和能量的无穷大爆炸会使得整个物理模型失效，非常类似于逻辑矛盾引起的逻辑空间的爆炸使得整个逻辑空间爆炸，逻辑矛盾就是逻辑空间中的奇点，因为矛盾就是无内容的空集是无体积的奇点），且会宇宙产生黑洞覆盖住过小的区域，使得这一部分信息相对于宇宙内来讲彻底不存在（宇宙内的信息不完备）。逻辑间之所以是不完备的，恰恰因为宇宙本身传递和承载信息的能力是不完备的，宇宙无法像理想的逻辑空间那样瞬间的传递和保存信息。因为理想的逻辑空间内所有的东西都是融贯平滑（透明的），所以才会产生全知悖论问题。但这样的逻辑空间已经被证明是假的，实际上任何理想的逻辑系统也是在时间里被证明的，所以那些逻辑上等价的命题仍然需要时间才能被证明是等价的，数学仍然需要时间被计算。因为宇宙作为物理实体不具备这种无穷的传递和承载信息的能力。量子力学里信息的传递是不完备的（不确定性原理），且其承载也是不完备的（贝肯斯坦极限和兰道尔极限的存在，说明一定量的物质在一定时间内承载的信息是有限的，换句话说宇宙无法无穷精确的计算它自己，世界在因果上是不完备的），量子力学中普朗克常量以及宇宙中黑洞的存在以及目前重整化理论遇到的无穷小问题的困惑，说明宇宙图景自身是不完备的（普朗克尺度下信息缺席而不完备），不能容纳无穷小（在无穷小处是不可判定的）。

时间问题：相对论里信息的传递是耗时的，但这样的时间仍然可以被空间化即去时间化。但如果考虑信息的不完备性，宇宙总是不能完备的记录和传递其信息，因此信息总是不断的被丢失和改写，而不能精确记录，这样未来就是不可测的（未来具有更大的熵即不确定性），因此时间总是真实存在的。

4，根据

从认识的角度来看，寻求根据还是一个基本需求。比如，世界根据，它本身也是一种存在方式。无论这个根据与世界之间的关系是如何被思考的。

即，问：它如何是可能的？

形式系统本身不是最终的根据，也就意味着宇宙中存在着更高的辩证关系。虽然这一点也仍然值得怀疑。

黑格尔实质上，仍然是将世界接受下来，不追问它如何是可能的。这并不能让人满意就是。

无论是图灵，还是Boris Belousov，还是Mandelbrot，还是Hinton，他们都将信念建立在一个直觉上，即它来自简单的规则。虽然短时间内这并不一定能得到证明。

所以，如果一定要找一个根据，我宁愿在无法一次性完成的数学系统本身之外，引入一种元语言（非数学），即理念世界，理念世界如何是可能的，它来自于自指的神。

自指就是那个根据。

5，凝聚态

开尔文曾说过，十九世纪末，物理学的大厦已经建立，晴朗天空中远处飘浮着两朵令人不安的乌云。后来这两朵乌云，催生了现代理论物理的两大支柱，相对论和量子力学。