席南华院士：数学的意义(1)

数学的意义

“此讲座试图从一些角度，包括数学是怎样发展起来的，数学的一些特性，一些伟人的观点，数学美的一些含义等，阐述数学的意义”——席南华（中国科学院院士、中国科学院数学与系统科学研究院研究员）

内容来源：中国数学会

      谢谢主持人的介绍，我今天要说的是“数学的意义”。

      数学，要说爱你不容易，不管你是天才还是庸人，都是它虐待的对象，差别在于有人在这虐待的过程中得到快乐，但大部分人得到的是痛苦。痛苦的一个根源是其实我们并不认识它，撇开我们在与数学打交道的过程中的不愉快或愉快，今天让我们从另一个角度、一个轻松的带着喝下午茶的心情，带着一个旁观者的心态，来看一看数学的意义。

     提起数学，我们会想到什么？从小学到大学都有数学课，它在最重要的课程行列。我们也知道，在日常生活和科学技术中，它很有用。除此之外可能就想的不多了。换句话说，对数学的本质，它为什么有用？甚至更进一步为什么有数学？数学除了实用以外还有什么别的含义？就不大想了，这似乎是和我国文化的实用主义是有关系的。在这样的背景下，可以说我们对数学的认识是很不足的，我们看见的实用只是数学的一个面，是冰山一角。

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数学是现实的核心

      数学理论的源头在古希腊，我们有谁不知道欧几里得几何原本呢？它的数学发展的水平之高，即便在今天看来，都是让人感到非常吃惊的。它为什么会是这个样子，它的产生当然与希腊当时的文化和哲学是分不开的。跨越时空，让我们来到2000多年前的希腊，看他们是怎样认识数学的。他们说，“数学是现实的核心，万物皆数，数统治着宇宙”等观点，都是出自毕达哥拉斯学派，柏拉图学派是深受毕达哥拉斯学派的影响。

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为什么？

      我们都知道数学研究量与形，但这么说还难以感受数学的重要性，也很难联想到数学是现实的核心。大家想一下，有什么东西没有量与形的属性呢？换句话说，量与形是物质与事物的基本属性，不管是什么东西，它的这两个属性是摆脱不掉的。数学研究就是这些基本的属性，这决定了数学的价值，也使我们明白，数学它是基础而重要的。说它是现实的核心也就不奇怪了。

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历史

      如果我们想要对数学有很好的认识的话，就有必要回顾一下，历史上它是怎么产生的。为什么能够产生数学、人们是怎样一步步建立数学体系的？就是说，在遥远的过去数学是什么样子？

     其实整个历史过程是非常的漫长，数学有很长的历史，不像有些学科非常的短，可能就是20世纪开始的，但数学不一样，它作为一个独立的、有理论的学科出现，还是2000多年前。应该说公元前600年到公元前300年期间，欧几里得《几何原本》它就是一个光辉的典范，它把古代时候的数学都系统的整理出来，用公理化的方法处理，整个思维体系影响了后面两千多年。他的几何《原本》也在2000多年间是标准的教科书。几乎同时，亚里士多德的学生欧德摩斯就写有数学史的著作，所以数学史人们很早就关注它了。

    不过，比起人类和人类文明的历史，数学的历史要短暂得多。在一万多年前人类就开始定居于一处，靠农牧业生活，在中国的考古中，包括周口店的头骨，我们都能看出来。不过文字的出现却要晚的多，大约在公元前3200年的时候。文字的出现对整个文明来讲是极其重大的事情，在我国古代认为这一是件泣鬼神的事情，在没有文字的时候，你想要在数学上有重要的发展，那是不可想象的，所以文字出现以前，数学的发展其实是非常缓慢的。

     我们都有一个深刻的印象，就是数学的抽象特点。即便是一个非常简单的概念——数，就是一个抽象的概念，你在大自然中间看不到一个抽象的数，比如1。抽象的数的发展其实也是非常缓慢的，类似的概念包括线段、直线、三角形、圆等等也是一样。数的概念据人们研究也并不是仅仅只有人独有，据说有些动物也有数的概念。人们提炼数的概念其实经过了一个很漫长的时间，开始的时候人们对数的观念是与具体的物品联系在一起的，比方说一棵树、一块石头、两个人、两条鱼等等，对形也是一样的。

     逐渐地，人们发现了一棵树、一块石头等具体物体的共同的数字属性，数的抽象概念就这样形成了。数，是自然界若干物体的共同数字属性，这是一个抽象的概念，你在自然界当中不能直接找到。我们今天可能没有意识到，其实这在人类认识自然的过程中间是一个巨大的飞跃。实际生活的需要产生了数字间的计算，比如说你要分配食物、交换物品、到指定日期前的天数等等，这都需要对数进行一个计算。我们日常生活中间对数学的认识，说数学有用，很多时候都停留在这个阶段，比如说会算帐、会分配什么东西等等，它其实是对数学的一个误解。

     还有一件很重要的事情，就是要给数一个名称，并且能够记下来告诉别人，这件事情也并不是一件很简单的事情，所以在文字刚产生之初就引进了数学符号，这在算术的发展上是非常重要的。一般的算术符号和公式、未知数的符号等是很晚才完成的，包括我们现在熟悉的常用的加减乘除的符号、代数符号都是很晚很晚。像现在的代数符号是到了16、17世纪意大利数学家韦达引进的，他对代数学的发展起了一个巨大的作用。

     算术最早是在巴比伦和埃及那里发展起来的，它由于实际生活的需要，包括税收、丈量土地、贸易、建筑和天文等等。虽然数学发展到今天已经非常抽象，但它的来源还是实际的生活与生产。不过需要说清楚的是，这里所产生的只是一些计算的规则和问题的解答，算术的这种形式并不是数学理论，原因在于它没有关于数的普遍的定义。前些年，也许现在还有，有一个电视台，在《最强大脑》里面可以看到有些人算得很快。一个运算能力非常强的人，大家会有一些误解，以为这些人都有很强的数学能力，其实这是一个误会，他有数字的运算能力，他不一定有数学的能力。从实际后来发展的情况来看，他们其实并没有数学的能力，原因在于他们对于数的普遍规律没有什么深刻的认识，所以不具备数学的天赋。

     向理论算术的过渡是逐渐进行的。在古代像中国、巴比伦、埃及就已经知道百万以上的数了。我们看《史记》上的记载，在战国时代，它的战争规模就已经非常庞大了，打起仗来动用士兵经常几十万、上百万等等，虽然我们今天都习以为常。我们现在的孩子数数1、2、3……都会数下去，但是在他的意识里边，是不是会想着这个数能够一直数下去？可能知道，也可能不知道。数是不是会到某个地方截止了？这个也是不清楚的。在古代最伟大的科学家阿基米德专门有一本书叫《数砂法》，里面明确指出了命名大量砂粒的数目的方法，这在当时是一件需要详细解释的事情。其实今天遇到天文数字，我们也很难具体的说一说，我们可能到百万、到亿、到万亿等等，再往大了，一般人也用不到那些数字，也不知道怎么称呼，最后笼统的就会用一个数字——天文数字来表述它。对于很大的数字要给它命名，在古代不容易，在今天其实也没那么容易。

     在公元前三世纪的时候，希腊人明确意识到两个重要的思想：数列可以无限地延续下去；不但可以运用具体的数，还可以讨论一般的数，从而证明关于数的普遍定理。比方说《几何原本》里面就证明了素数有无穷多个，这是关于数的普遍的定理。这个时候，数学理论就产生了。

     算术概念其实反映了物体集合量的关系，这些概念是在分析和概括大量实际经验的基础上加以抽象化而产生的，并且是逐渐产生的。刚开始是与具体对象相连的数，然后是抽象的数，再就是一般的数。但有意思的一件事情是，每一个阶段都依赖先前的概念和积累的经验，这是数学概念形成的基本规律之一，其实其他的科学也是一样的，要形成一个概念，都要依赖于前面的积累。

     算术让人信服的一个根源，在于它的结论和概念是运用逻辑方法得到的，逻辑方法和概念都是以数千年的实践为基础，以世界的客观规律为基础。我们对数学的逻辑都是非常信服的，逻辑也不是凭空产生的，它也经过了一个漫长的过程，以数千年的实践为基础，以世界的客观规律为基础。这种想法以为我们的逻辑能够独立于这个世界客观，但它是不合适的，这当然也就意味着逻辑也有它的局限，逻辑是非常诡异的，它的诡异性远远超出我们的想象。

     尽管算术的概念是抽象的，但有广泛的应用，原因在于它的概念和结论概括了大量实践经验，在抽象的形式里面表现出现实世界那些经常和到处碰到的关系。计算的对象可以是不同的，是动物、农产品、星球等等，它舍弃了所有局部和具体的东西，抽取了某些普遍的性质，就是数字的共同属性。性质的普遍性其实决定了应用的广泛性，抽象的价值就在这个地方。

     算术的抽象性保证了广泛应用的可能性，这种抽象并不是空洞的，而是来源于长期实践的经验。对于全部的数学，对于任何抽象概念和理论，它其实都是一样的。理论应用广泛的可能性取决于其中所概括的原始材料的广泛性。要说清楚一点，抽象与空洞它不是一回事。我们经常会看到，某个人说的话真空洞，他说的话好像没什么内容等等，不管报纸上还是很多领导的讲话也好，都有这个印象，原因在于它里面并不概括什么实际的内容，而仅仅是形式上给你一些正确的东西，这种形式上正确的东西其实并没有什么价值。而数学上的抽象并不是一个形式的东西，它来源于长期的实践经验。对于任何数学，对于任何其他的科学包括哲学等等都是一样的，需要概括一些非常广泛的东西，并且有实际的丰富的内容。还是这么说，理论应用广泛的可能性取决于概括的原始材料的广泛性，如果这个概念本身概括的东西很少的话，希望它能够有广泛的应用，那是不现实的。

     毫无疑问，抽象也会有它的局限性，因为在抽象的过程中间会丢弃掉很多东西，只反映对象部分的属性。常常也是这样，仅有数据是不够的，我们现在生活在一个信息时代，大数据的时代，大家对数据的强调到了非同寻常的地步，认为数据要主宰这个世界的一切一样。但是从过去的经验来看，它可能还做不到这一点。数据只是事物的一部分属性而已，换句话说你不能无限制的运用抽象的概念，就像把一只羊和一头狼加在一起，一升水和一升酒混在一起，它都不是算术一加一的地方，虽然可能有些商人会在酒里兑水，我们也有个非常有名的动画片《喜洋洋与灰太郎》等等。真理是具体的，虽然数学是抽象的。把抽象应用到具体是一种艺术和一种技术。

      有意思的一件事情就是我们的思维常常是会超出实践提出的任务这些要求以外很远，这点非常有意思，比如十亿或者百亿这样的大数字概念，它当然是在计算中间产生的，很早很早就有了。但这些概念出现的时候其实没什么用处，直到后来才有用。科学里有很多这样的东西，刚开始出现的时候没有什么用处，我们后面还会举一些例子，这就是说我们实用的一些哲学观点，可能要避免。这种例子在科学上很多，举个简单的例子，大家在高中的数学里面有复数，我们知道求方程的时候都要求根是一个实根等等，但是对于X²+1=0这样一个方程，我们就没有根了，没有根怎么办？那就不存在了。你得出这个结论，但是我们又不满足，最后又引进了一个根，虚数。从这个概念本身就知道，它是一个虚构的，它是想象出来的，不存在。但是到了后来，这个数非常的重要，由于虚数的引进之后我们就有了复数的概念，复数意义上的数学是非常庞大和深刻的。陈省身先生对复数就非常着迷，他说复数太迷人，你怎么都参不透它，里面有很多的东西就是那么神秘，那么深刻。他晚年致力于的一项工作就是证明一个六维的球面上有复结构，但一直都没有做下来。当然这个问题到现在谁也没有做下来，所以他没有做出来也一点不奇怪。

      类似地，线段、直线、圆和三角形等等抽象概念，也是逐步发展起来的，它是一些物体的共同的空间属性，是形方面的属性。和算术一样，它产生于实践，然后逐步形成数学的理论，现在已经是及其庞大的理论了。形的概念，也从我们熟悉的点、线、面等等变得非常陌生，你比方说在三维空间里面，把所有过圆点的实线拉出来，它也是一个非常好的结构，是一个射影空间。

     几何的抽象当然也是很明显的，因为这里头点没有大小、线没有宽度厚度，面也没有厚度，它只是现实世界物体的一个空间属性的抽象，在现实中间你看不到这样的点、线和面。对这些抽象的空间形式是没有办法做实验的，所以只能用逻辑推理的方法从一些结论导出另一些结论，重要的是我们需要认识到这些结论其实是现实世界的抽象的一个反映。

     几何和算术一样，它原始概念的明显性、推理的方法、结论的令人信服都如同算术那样，以实践和世界客观规律为基础。既然以实践为基础，也就意味着它会有局限，就会有人想，我们直观提炼出这些概念，是不是很好的反映了现实？很久很久以前人们是很有信心的，但随着科学的发展，或者说随着人们对几何公理深入分析的时候，这个信念就动摇了。大家知道对欧几里得几何第五公式的讨论和思考，最后导致了非欧几何，而非欧几何中的黎曼几何对相对论是非常重要的，更好的描述了我们的宇宙。所以我们来源于实践中的很多东西，到后来又经过不断的修正，通过实践和理性的思考。

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算术与几何：联系与相互作用

      在数学里面，量与形是事物的基本属性。毫无疑问，分开讨论量的属性和形的属性都是不够的，他们两者必然会有联系、互相有制约。数学分支之间的联系互相渗透，是有特别重大的意义的，它有力的推动了数学的前进，并揭示了这些分支所反映的现实世界关系的丰富多彩。我们现在非常强调交叉，原因就在于不同的学科其实都是现实中间不同角度的反映而已，只有把它结合起来，才能对这个现实有更全面的认知。这有点类似于盲人摸象，每个学科可能只摸到一个局部、一个侧面而已，把所有的合起来，我们就会对这个“象”有个更完整的认识了。

      回到算术与几何，它同样有密切的联系，不仅互相作用，而且是产生进一步的一般概念、方法和理论的来源。这一点非常的重要，就像我们现在的交叉，它不断产生新的概念、方法、理论等等。数学和化学结合到一起就会有计算化学；数学和物理的结合有数学物理；还有计算生物学等，像现在很多数学家转去做生物，我知道有些美国的数学家转去做生物之后，结果成为美国科学生物方向的院士，这样的例子还有很多。

     算术和几何是数学成长的两个根源，其密切的联系在刚开始就有了。比方说简单的一个长度测量就已经是算术和几何的结合了。当你测量物体的时候，你会把单位长度的东西放在物体上面，然后数一数共放了多少次，其中第一步“放”的时候就是一个几何的性质——全等，第二步“数”当然是算术的做法。

      在测量时候常常会发现，你选用的单位不能在被测的物体上放置整数次，这时候就必须把单位加以分割，以便利用单位的一部分来更准确的表示量，这就已经超出整数的范围了，你要用分数来表示这个量，分数就这样产生了。这是几何与算术相互作用的结果，它引起了数的概念从整数到分数的推广，这也是数的概念非常重要的一步，分数就这样产生了。直接在自然界中间还形成不了分数的概念，但是通过几何与算术的联系，它就产生了。

      不过无理数的发现，还不能通过测量实现，因为在实际测量中间，如果分割和度量达到过于细小的程度时候，这些细小的量就会被直接忽略掉，也做不到无限精确的测量，而且无限精确也没有意义。

      勾股定理告诉我们，单位边长的正方形对角线的长度就是2的平方根，这样数的概念就进一步发展了。而且逐渐的人们把数理解为某个量与被取做单位量的比值，可以不再把数与具体物体量的属性联系起来，这意味着对数的认识又比前面进了一大步，它是两个量的比，比如3/5，就是3和5的比值，和测量、和数数都没有任何的关系。

      这里要特别强调一下无理数的发现。我们可能都知道，在古希腊的时候，人们利用勾股定理，他们叫做毕达哥拉斯定理，发现了单位边长的正方形不能够被有理数度量的时候，希腊人是感到震惊的。他们认为这些事情好像破坏了世界的美一样，不能理解这件事情。但它既然这样自然的产生，当然在数学里面有重大的意义。从哲学上来讲，它的发现也是数学理论在揭示自然规律和现象的威力深刻性上一个典型的例子。可能我们平常没有意识到这一点，就是无理数没有数学理论你是发现不了的，其他的手段包括测量、抽象、实验等等，你都发现不了，只有数学理论能够告诉你世界存在无理数，而且会有很多很多。后面我们还会谈到一些其他东西，比如说无穷也同样只有数学能做到，别的科学做不到。

     数的概念进一步的发展就是实数，然后就是复数，到了后来就是代数结构，这个地步已经到了比较高深的数学了。换句话在我们日常生活中间不一定能够直接感受到，可能也不需要感受到，专家会给我们忙这些事情，运用到物理、通信、航天等地方。

     关于数与形的联系，华罗庚先生有一个非常深刻的见解，他说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”确实是这样，你把这两个统一起来考虑的时候，对这两者的认识都会变得更深刻。如果你孤立的来考虑，不会走的那么远。

 

 

图  文：小  修