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谈志国——中考数学:深度解析史上考频最高的压轴题模型

 一个大风子 2022-08-16 发表于黑龙江

纵观各地历年中考试题,哪个模型考频最高?

“手拉手”若排第二,第一就只能空位了。

“手拉手”这个名称很形象,但其着眼点是局部的静止的。

从整体的运动的观点来看,我称之为“一转成双”。

如图,ΔADE∽ΔABC,若把ΔADE绕点A旋转,出现新的ΔABD和ΔACE有什么关系?

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由ΔADE∽ΔABC得AD:AE=AB:AC,∠BAD=∠CAE,易证ΔABD∽ΔACE。

可以发现:新得到的ΔABD与ΔACE是由原来的一对相似形ΔADE与ΔABC中对应边AB与AD、AC与AE重新组合而得,在复杂的图形中可以由这一线索寻找新的相似形,即一转成双,由一得二(由一对相似三角形得第二对相似三角形)。

我们用动态视角从“旋转缩放”的角度来看图形的构造过程。

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图形可以看成ΔABD旋转并缩放得ΔACE,旋转角为∠BAC,缩放比为AC:AB。

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图形还可以看成ΔADE旋转并缩放得ΔABC,旋转角为∠BAD,缩放比为AB:AD。

一对共顶点的相似三角形绕共用顶点旋转可得另一对相似三角形,从而产生丰富的边角关系,故称:“一转成双”。特别地,其中若有一对相似三角形是等腰三角形,则另一对相似三角形全等。

我们以一道2021年中考题为例,用一种思维派生十二种构造方法解决一道题。

【江西省2021年中考卷压轴题第23题】

课本再现

(1)在证明“三角形内角和定理”时,小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明,其中与∠A相等的角是      

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类比迁移

(2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC与∠ADC互余,小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合:先作∠CDF=∠ABC,再过点C作CE⊥DF于点E,连接AE,发现AD,DE,AE之间的数量关系是      

方法运用

(3)如图3,在四边形ABCD中,连接AC,∠BAC=90°,点O是△ACD两边垂直平分线的交点,连接OA,∠OAC=∠ABC.

①求证:∠ABC+∠ADC=90°;

②连接BD,如图4,已知AD=m,DC=n,AB:AC=2,求BD的长(用含m,n的式子表示).

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【试题评点】

试题从“课本再现”到“类比迁移”到“方法运用”,由易到难,由简到繁,循序渐进,为考生提供了思考台阶和思维路径。

但是,题目中所提供的方法暗示性太强,且思路狭窄所见甚小。

图2,图3,图4几乎一模一样,学生无须深思简单模仿就能解决。

最后一小题,绝大多数学生应该能想到,也是唯一能想到或优先能想到的是下面的构造方法:作∠CDE=∠ABC,CE⊥DE于E.

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题目中给出的方法是“角的拼合”,但是,为什么可以拼合?以怎样的方式拼合?拼合以后如何处理?这些问题学生并不能明白,即使他们照猫画虎解出了题目。因为“角的拼合”着眼点仅在两个角,没有从整个图形的大局思考。

从整体上看,题目已知的是ΔABC的形状(即AB、AC、BC的关系已定),要求的是点D到ΔABC的三个顶点距离的关系(即BD与AD、CD的关系)。

以大局观之,即要处理如何把分散的无关联的线段BD、AD、CD和∠ABC、∠ADC进行联系,而“旋转缩放”就是一种把分散边角集中的常用方式。

从哲学思维看,可谓之“孤阳不生,独阴不长”。虽然ΔABC的形状确定已知,但缺少与之相关的三角形之间的联系,故须以AD、BD、CD其中一条线段为边构造与ΔABC形状相同的三角形,形成“一转成双”便可生成新的边角关系。

这种思维就如“见牛郎,思织女”那样自然合理。

另一角度是“穷则思变”“静极生动”或“事物在运动变化中产生联系和相互作用”。既然没有所求线段与已知边角的关系,我们就要发挥主观能动性,把其中的关键图形进行运动变换,使之产生联系。

如下图,以CD为边构造ΔEDC∽ΔABC,从运动变换的角度看即把ΔABC旋转缩放至ΔEDC。

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也可看成以AC为边构造ΔACE∽ΔBCD,从运动变换的角度看即把ΔBCD旋转缩放至ΔACE。

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重点来了,实际上,解题的具体方法并不是关键,思维方式和思考策略最重要,掌握解题的底层逻辑和根本规律就能发现更多更好的方法。

以上述方式思考,一生二,二生三,生生不息,层出不穷,可得到同类构造方法还有十一种。

方法二:如下图,把ΔABC旋转缩放至ΔDEC。

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方法三:如下图,把ΔABC旋转缩放至ΔAED。

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方法四:如下图,把ΔABC旋转缩放至ΔAED。

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方法五:如下图,把ΔABC旋转缩放至ΔDBE。

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方法六:如下图,把ΔABC旋转缩放至ΔEBD。

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方法七:如下图,把ΔADC旋转缩放至ΔBDE。

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方法八:如下图,把ΔADC旋转缩放至ΔEDB。

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方法九:如下图,把ΔADC旋转缩放至ΔABE。

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方法十:如下图,把ΔADC旋转缩放至ΔBCE。

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方法十一:如下图,把ΔBDC旋转缩放至ΔBAE。

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方法十二:如下图,把ΔBDC旋转缩放至ΔADE。

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上述十二种构造方法可以用一句话概括:把图中任一个三角形绕任一个顶点旋转并缩放构造“一转成双”,利用角度关系即可得到一个新的直角三角形,再由相似关系和勾股定理求得结果。

学生若能把本题十二种构造方法熟练掌握,即可透彻“一转成双”的构造策略及“手拉手”模型的应用原理。

【注】转自《数学大思维》公众号。

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