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本题选自2022年广州中考数学压轴题，以菱形为背景，考查面积的最值与线段和的最值。题目较为综合，但难度不大。 【题目】 （2022·广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD． （1）求BD的长； （2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=√3DF． ①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积； ②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的值是否也最小？如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【分析】 （1）菱形ABCD的一个内角为120°，那么就可以得到它的两个邻角都是60°，连接短的对角线，可以把菱形分割成两个等边三角形。 如下图所示，所有的线段都相等，所有的锐角都相等，所以比较特殊。
已知菱形的边长求对角线，比较简单。
根据勾股定理和三角函数等，可以得到BD=6√3。 本题中还有一个特殊的三角形，也就是顶角为120°的等腰三角形。
可以得到BD=√3AB=√AD，底边是腰的√3倍。常常构造这样的图形，得到√3倍。 （2）题目已知条件BE=√3DF，比较特殊。
先画出BE，如果过点E作AD的平行线，就可以得到一个含120°的等腰三角形，那么腰就和DF相等了。
那么只需要使得DF=BG即可。
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积，只需画出图形，在求出线段长即可。
发现四边形ABEF并不规则，不好直接求，可以考虑割补法。 通过观察发现，连接AE，可以得到EA⊥AF，那么就比较好求了。
那么可以得到四边形ABEF的面积为 S=S△AEF+S△ABE =4√3+3√3 =7√3。 ②题目问当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的值是否也最小。 那么就需要确定四边形ABEF面积的最小值与，CE+√3CF的最小值。 因为四边形的形状不规则，因此需要进行适当的割补。
如图，设DF=x，过点E分别作AB、AD的垂线，垂足分别为M、N。 那么就可以把四边形ABEF分为两个三角形。 易得BE=√3x，DE=√3（6-x）。 则EM=√3x/2，EN=√3（6-x）/2。 且AF=（6-x），AB=6，那么四边形的面积就表示出来了。 四边形ABEF的面积 S=S△ABE+S△AFE =3√3x/2+√3（6-x）²/4 =√3/4(x-3)²+27√3/4 则x=3，即F为AD的中点时，四边形ABEF的面积最小。 当F为AD的中点时，CF⊥AD，此时CF最小， 同时，可以得到点BE=3√3， 此时E为BD的中点，那么也可以得到CE⊥BD， 所以可以得到CE此时最小。 那么可以得到当四边形ABEF的面积最小时，CE+√3CF的值也最小， 最小值为3+√3×3√3=12。
如上面的动图演示，绿色的图象表示四边形的面积，红色的表示CE+√3CF的值。 当然，也可以直接通过作图构造CE+√3CF。如下图，连接CA并延长至点P，使得AP=AB，连接PE。 那么可以得到△CDF∽△PBE，此时相似比为1：√3， 那么就可以得到PE=√3CF。
当点C、E、P三点共线时，CE+√3CF最小，最小值为CP的长，也就是2AB的长，为12。 还可以适当变形下，CE+√3CF=√3(√3/CE/3+CF)， 所以也可以在CF的旁边构造√3/CE/3， 当√3/CE/3+CF最小时，CE+√3CF最小。
如图，过点D作DQ⊥CD，使得DQ=√3BC/3。 那么就可以得到△DFQ∽△BEC，相似比为1：√3。 那么就可以得到QF=√3BE/3。 也就是当QF+CF最小时，√3/CE/3+CF最小。 此时Q、F、C三点共线，也就是CQ的长，为4√3。 那么本题和之前出现的甘肃的题目有点类似。 【总结】 求面积最值，一般考虑把面积表示出来，用二次函数或者配方法求最值。 而求线段和的最值问题，一般考虑用几何方法，利用“垂线段最短”或者“两点之间，线段最短”进行判断。 |
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