历年江苏省连云港市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正
确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）的绝对值是A．B．C．2D．2．（3分）要使有意义，则实数的取值范围是A
．B．C．D．3．（3分）计算下列代数式，结果为的是A．B．C．D．4．（3分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面
是A．B．C．D．5．（3分）一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是A．3，2B．3，3C．4，2D．4，36．（3分
）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所
在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A．①处B．②处C．③处D．④处7．（3分）如图，
利用一个直角墙角修建一个梯形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该梯形储料场的最大面积是A．B．C．D．8．（3分）如图，在矩形中
，．将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为．下列结论：①是直角
三角形；②点、、不在同一条直线上；③；④；⑤点是外接圆的圆心，其中正确的个数为A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题
共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）64的立方根为．10．（
3分）计算．11．（3分）连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元，数据“46400000000”用科学记数法可表
示为．12．（3分）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则该圆锥的侧面积为．13．（3分）如图，点、、在上，，，则的半径为．
14．（3分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于．15．（3分）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针
方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“
三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水
平方向开始，按顺时针方向），如点的坐标可表示为，2，，点的坐标可表示为，1，，按此方法，则点的坐标可表示为．16．（3分）如图，
在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答
题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算．18．（6分）解不等式组19．（6分）化简
．20．（8分）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内
，小时（含2小时），小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．（1）本次调查共随机抽取了名中学生，其中课
外阅读时长“小时”的有人；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“小时”对应的圆心角度数为；（3）若该地区共有20000名中学生，估
计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．21．（10分）现有、、三个不透明的盒子，盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，盒中装
有红球、黄球各1个，盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从、、三个盒子中任意摸出一个球．（1）从盒中摸出红球的概
率为；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．22．（10分）如图，在中，．将沿着方向平移得到，其中
点在边上，与相交于点．（1）求证：为等腰三角形；（2）连接、、，当点在什么位置时，四边形为矩形，并说明理由．23．（10分）某工厂
计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产
品（吨，生产甲、乙两种产品获得的总利润为（万元）．（1）求与之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要原料0.25吨，每生产1
吨乙产品需要原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能
获得最大利润．24．（10分）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置
位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．（1）求观察哨所与走私船所在的位置的距离；（2）若观察哨所发现走私船从处以16海里
小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数
据：，，，25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点．点是线段上一点，与的面积比为．（
1），；（2）求点的坐标；（3）若将绕点逆时针旋转，得到△，其中点落在轴负半轴上，判断点是否落在函数的图象上，并说明理由．26
．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为，且点的横坐标为2，点、分别是抛物线、上的动点．（1）求抛物
线对应的函数表达式；（2）若以点、、、为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点的坐标；（3）设点为抛物线上另一个动点，且平分．若，求出
点的坐标．27．（14分）问题情境：如图1，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．判断线段、
、之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于
点．求的度数；（2）如图3，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处，若正方形的边长为4，的中点为，求的最小值．问
题拓展：如图4，在边长为4的正方形中，点、分别为边、上的点，将正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点，交于点．分别过点、作，，垂足
分别为、．若，请直接写出的长．2019年江苏省连云港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共2
4分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）的绝对值是
A．B．C．2D．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解．【解答】解：因为，故选：．【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是
它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）要使有意义，则实数的取值范围是A．B．C．D．【分析】根据二次
根式的性质可以得到是非负数，由此即可求解．【解答】解：依题意得，．故选：．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数
是非负数即可解决问题．3．（3分）计算下列代数式，结果为的是A．B．C．D．【分析】根据合并同类项的法则以及同底数幂的乘法法则解
答即可．【解答】解：、与不是同类项，故不能合并同类项，故选项不合题意；、，故选项不合题意；、与不是同类项，故不能合并同类项，故选项
不合题意；、，故选项符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了合并同类项的法则：系数下降减，字母以及其指数不变．4．（3分）一个几何
体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是A．B．C．D．【分析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边
形．【解答】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．故选：．【点评】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握棱锥的展
开图是解答本题的关键．5．（3分）一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是A．3，2B．3，3C．4，2D．4，3【分析】
根据众数和中位数的概念求解即可．【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，中位数为：3，众数为：2．故选：
．【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果
数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6
．（3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、
“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A．①处B．②处C．③处D．④处【分析】确
定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．【解答】
解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、、；“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车
”②之间的距离为，，马应该落在②的位置，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，
难度不大．7．（3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该梯形储料场的最大面积是A．B．C．D
．【分析】过点作于，则四边形为矩形，，，则，，由直角三角形的，性质得出，得出，，由梯形面积公式得出梯形的面积与之间的函数关系式，根
据二次函数的性质直接求解．【解答】解：如图，过点作于，则四边形为矩形，，，则，，在中，，，，，梯形面积，当时，．即长为时，使梯形储
料场的面积最大为；故选：．【点评】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面
积建立二次函数是解题的关键．8．（3分）如图，在矩形中，．将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使
得与重合，折痕为，此时点的对应点为．下列结论：①是直角三角形；②点、、不在同一条直线上；③；④；⑤点是外接圆的圆心，其中正确的个数
为A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据折叠的性质得到，，于是得到，求得是直角三角形；故①正确；根据平角的定义得到点、、在
同一条直线上，故②错误；设，则，得到，根据勾股定理得到，根据射影定理得到，得到，故③错误；求得，故④，根据平行线等分线段定理得到，
求得点是外接圆的圆心，故⑤正确．【解答】解：沿着折叠，点的对应点为，，再沿着折叠，使得与重合，折痕为，，，，是直角三角形；故①正确
；沿着折叠，点的对应点为，，再沿着折叠，使得与重合，折痕为，，，点、、在同一条直线上，故②错误；，设，则，将矩形对折，得到折痕；，
，，，，，，，，，故③错误；，，，，故④，，，，，，，，，，点是外接圆的圆心，故⑤正确；故选：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与
外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需
要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）64的立方根为4．【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．【解
答】解：64的立方根是4．故答案为：4．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．10．（3分）计算．【分
析】根据完全平方公式展开3项即可．【解答】解：．故答案为：【点评】本题主要考查了完全平方公式，需要注意完全平方公式与平方差公式的区
别．11．（3分）连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元，数据“46400000000”用科学记数法可表示为．
【分析】利用科学记数法的表示即可．【解答】解：科学记数法表示：故答案为：【点评】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成与10
的次幂相乘的形式，为整数），这种记数法叫做科学记数法．12．（3分）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则该圆锥的侧面积为．【分析
】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：该圆
锥的侧面积．故答案为．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥
的母线长．13．（3分）如图，点、、在上，，，则的半径为6．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是的
等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：，又，是等边三角形，故答案为6．【点评】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
14．（3分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于2．【分析】根据“关于的一元二次方程有两个相等的实数根”，结
合根的判别式公式，得到关于和的等式，整理后即可得到的答案．【解答】解：根据题意得：△，整理得：，，方程是一元二次方程，，等式两边同
时除以得：，则，故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．15．（3分）如图，将一等边三角形
的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依
次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线
与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点的坐标可表示为，2，，点的坐标可表示为，1，，按此方法，则点的坐标可表示
为，4，．【分析】根据点的坐标可表示为，2，，点的坐标可表示为，1，得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为
左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．【解答】解：根据题意得，点的坐标可表示为，4，，故答案为：，4，．【点评】本题考查了规律
型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．16．（3分）如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动
点，连接交于点，则的最大值是3．【分析】先判断出最大时，最大，再用相似三角形的性质求出，，，进而判断出最大时，最大，而点在上时
，最大，即可，即可得出结论．【解答】解：如图，过点作交的延长线于，，，，，，，最大时，最大，四边形是矩形，，，过点作于，交于，并延
长交于，是的切线，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，而，最大时，最大，最大时，最大，，即：最大时，最大，延长交于，此时
，最大，，过点作交的延长线于，最大时，点落在点处，即：最大，在△中，，，最大值为，故答案为：3．【点评】此题主要考查了矩形的性质，
圆的切线的性质，相似三角形的性质，构造出相似三角形是解本题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作
答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算．【分析】分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数
指数幂化简即可求解．【解答】解：原式．【点评】本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及负整
数指数幂．18．（6分）解不等式组【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，，由②得，，所以，不等式组的
解集是．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小
小大中间找，大大小小找不到（无解）．19．（6分）化简．【分析】先做括号里面，再把除法转化成乘法，计算得结果．【解答】解：原式．【
点评】本题考查了分式的混合运算．解决本题的关键是掌握分式的运算顺序和分式加减乘除的运算法则．20．（8分）为了解某地区中学生一周课
外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，小时（含2小时），小时（含4小时），6
小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．（1）本次调查共随机抽取了200名中学生，其中课外阅读时长“小时”的有人；（2
）扇形统计图中，课外阅读时长“小时”对应的圆心角度数为；（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不
少于4小时的人数．【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数和课外阅读时长“小时”的人数；（2）根据统计图中的数据可
以求得扇形统计图中，课外阅读时长“小时”对应的圆心角度数；（3）根据统计图的数据可以计算出该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时
的人数．【解答】解：（1）本次调查共随机抽取了：（名中学生，其中课外阅读时长“小时”的有：（人，故答案为：200，40；（2）扇形
统计图中，课外阅读时长“小时”对应的圆心角度数为：，故答案为：144；（3）（人，答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有
13000人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（1
0分）现有、、三个不透明的盒子，盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，盒中装有红球、黄球各1个，盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外
都相同．现分别从、、三个盒子中任意摸出一个球．（1）从盒中摸出红球的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少
有一个红球的概率．【分析】（1）从盒中摸出红球的结果有一个，由概率公式即可得出结果；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，摸
出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，由概率公式即可得出结果．【解答】解：（1）从盒中摸出红球的概率为；故答案为：；（2）画树
状图如图所示：共有12种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，摸出的三个球中至少有一个红球的概率为．【点评】本
题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件
的概率．22．（10分）如图，在中，．将沿着方向平移得到，其中点在边上，与相交于点．（1）求证：为等腰三角形；（2）连接、、，当点
在什么位置时，四边形为矩形，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据平移得出，求出，再求出即可；（2）求出四边形是
平行四边形，再求出四边形是矩形即可．【解答】（1）证明：，，平移得到，，，，，即为等腰三角形；（2）解：当为的中点时，四边形是矩形
，理由是：，为的中点，，，平移得到，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平
移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．23．（10分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2
500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品（吨，生产甲、乙两种产品
获得的总利润为（万元）．（1）求与之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要原料0.5吨．
受市场影响，该厂能获得的原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．【分析】（1
）利润（元生产甲产品的利润生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润生产1吨甲产品的利润0.3万元甲产品的吨数，即万元，生产乙产品的利润
生产1吨乙产品的利润0.4万元乙产品的吨数，即万元．（2）由（1）得是的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量的取值范围再确定当取
何值时，利润最大．【解答】解：（1）因此与之间的函数表达式为：．（2）由题意得：又随的增大而减少当时，最大，此时，因此，生
产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大．【点评】这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求
利润与甲产品生产的吨数的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一．24．（1
0分）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，
位于哨所南偏东的方向上．（1）求观察哨所与走私船所在的位置的距离；（2）若观察哨所发现走私船从处以16海里小时的速度向正东方向逃窜
，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，【分析】（1）
先根据三角形内角和定理求出，再解，利用正弦函数定义得出即可；（2）过点作于点，易知，、、在一条直线上．解，求出、．解中，求出、，得
出．设缉私艇的速度为海里小时，根据走私船行驶所用的时间等于缉私艇行驶所用的时间列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）在中，．在中
，，（海里）．答：观察哨所与走私船所在的位置的距离为15海里；（2）过点作于点，由题意易知，、、在一条直线上．在中，，．在中，，，
，．设缉私艇的速度为海里小时，则有，解得．经检验，是原方程的解．答：当缉私艇的速度为海里小时时，恰好在处成功拦截．【点评】此题考查
了解直角三角形的应用方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．25．（1
0分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点．点是线段上一点，与的面积比为．（1），；（2）
求点的坐标；（3）若将绕点逆时针旋转，得到△，其中点落在轴负半轴上，判断点是否落在函数的图象上，并说明理由．【分析】（1）将代入可
求出的值；将代入可求出的值；（2）过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，由与的面积比为，可推出，由点的坐标可知，进一步求出，即为点的
纵坐标，把代入中，可求出点坐标；（3）过点作轴，垂足为，由题意可知，，由旋转可知，可求出，在△中，通过勾股定理求出的长度，即可写出
点的坐标，将其坐标代入可知没有落在函数的图象上．【解答】解：（1）将代入，得，，，将代入，得，，，故答案为：，5；（2）如图1，过
点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，，又点的坐标为，，，即点的纵坐标为4，把代入中，得，，；（3）由题意可知，，如图2，过点作轴，
垂足为，，，即，，在△中，，的坐标为，，，点不在函数的图象上．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质
，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为，
且点的横坐标为2，点、分别是抛物线、上的动点．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）若以点、、、为顶点的四边形恰为平行四边形，求出
点的坐标；（3）设点为抛物线上另一个动点，且平分．若，求出点的坐标．【分析】（1）先求出点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可
；（2）设点的坐标为，分两种情况讨论：为平行四边形的一条边，为平行四边形的一条对角线，用表示出点坐标，再把点坐标代入抛物线中，列出
方程求得解便可；（3）当点在轴左侧时，抛物线不存在点使得平分，当点在轴右侧时，不妨设点在的上方，点在的下方，过点、分别作轴的垂线，
垂足分别为、，过点作于点，设点坐标为，，点坐标为，，证明，由相似比得到，进而得的值，过点作轴于点，设点坐标为，由，移出的方程，求得
便可．【解答】解：（1）将代入，得，故点的坐标为，将，代入，得，解得，抛物线；（2）设点的坐标为，第一种情况：为平行四边形的一条边
，①当点在点右侧时，则点的坐标为，将代入，得，解得，或，因为时，点与重合，不符合题意，所以舍去，此时点的坐标为；②当点在点左侧时，
则点的坐标为，将代入，得，得，解得，，或，此时点的坐标为或，；第二种情况：当为平行四边形的一条对角线时，由的中点坐标为，得的中点坐
标为，故点的坐标为，将代入，得，解得，或，因为时，点与点重合，不符合题意，所以舍去，此时点的坐标为，综上所述，点的坐标为或或，或；
（3）当点在轴左侧时，抛物线不存在点使得平分，当点在轴右侧时，不妨设点在的上方，点在的下方，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，过
点作于点，则有，由平分，得，则，，，设点坐标为，，点坐标为，，所以有，整理得，，在中，过点作轴于点，设点坐标为，若，则需，所以，所
以，解得，，所以点坐标为，或，．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，解直角三角形
的应用，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，动点问题探究，突破第（2）题的方法是分情况讨论；突破第（3）的方法是作直角三角形，
构造相似三角形，用相似三角形的相似比列方程．27．（14分）问题情境：如图1，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条
直线分别交、、于点、、．判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足恰好为的中点
，连接，交于点，连接，并延长交边于点．求的度数；（2）如图3，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处，若正方形的
边长为4，的中点为，求的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形中，点、分别为边、上的点，将正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经
过点，交于点．分别过点、作，，垂足分别为、．若，请直接写出的长．【分析】问题情境：过点作分别交、于点、，证出四边形为平行四边形，得
出，证明得出，即可得出结论；问题探究：（1）连接，过点作，分别交、于点、，证出是等腰直角三角形，，，证明得出，得出是等腰直角三角形
，得出，即可得出结论；（2）连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，由等腰直
角三角形的性质得出，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证明得出，证明得出，，由正方形的性质得出，易得出，得
出，，得出，故，点在线段上运动；过点作，垂足为，即可得出结果；问题拓展：延长交于，交的延长线于，延长交于，则，，得出，由勾股定理得出，得出，证明，得出，，证明，得出，由折叠的性质得：，，，求出，，证明，得出，，证明，得出，得出．【解答】问题情境：解：线段、、之间的数量关系为：；理由如下：四边形是正方形，，，，过点作分别交、于点、，如图1所示：四边形为平行四边形，，，，，，，在和中，，，，，；问题探究：解：（1）连接，过点作，分别交、于点、，如图2所示：四边形是正方形，四边形为矩形，，，，是正方形的对角线，，是等腰直角三角形，，，是的垂直平分线，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形，，即；（2）连接交于点，如图3所示：则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，，，，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，点在上，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，，由翻折性质得：，在和中，，，，，是正方形的对角线，，易得，，，，故，点在线段上运动；过点作，垂足为，点为的中点，，则的最小值为；问题拓展：解：延长交于，交的延长线于，延长交于，如图则，，，在中，，，，，，，，，，，，，，即，解得：，由折叠的性质得：，，，，，，，，，解得：，，，，，，，，即，解得：，．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/9/2013:01:19；用户：中考数学李老师；邮箱：orFmNt2hkpsWCg0q-Np7SU1xo-nI@weixin.jyeoo.com；学号：30027651第1页（共44页） |
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