【原】大胆假设小心检验，快速解决2022年高考数学全国卷II多选压轴题

2022年新高考数学全国卷II的多选压轴题，是一道可以快速解决的不等式问题。题目是这样的：

对任意x,y, x^2+y^2-xy=1，则

A. x+y≤1; B. x+y≥-2; C. x^2+y^2≤2; D. x^2+y^2≥1

分析：解决这类问题，一定要大胆假设，小心检验，排除错误的选项。只要能排除掉两个选项，剩下的就是正确的答案了。因为多选题最少有两个正确的选项。

对于二元不等式来说，它的最值最经常出现的位置是在x=y时。因此我们可以从这里寻找突破。当x=y时，代入已知等式，有x^2=1，求得x=y=正负1. 用这个结果去检验各选项。可以发现，当x=y=1时，x+y=2，与A选项矛盾，所以排除A选项。

现在的问题是，x=y=正负1除了排除A选项之外，就排除不了其它选项了。不要着急，我们可以随便用其它一些关于x,y的关系式继续检验。比如，最常见的是x+y=0，即两个变量互为相反时，代入已知等式，得到3x^2=1, 因此x^2=y^2=1/3. 把这个结果代入BCD选项，可以发现，x^2+y^2=2/3<1，与D选项矛盾，所以排除D选项。

现在就只剩下B、C选项了。答案显然就是选BC. 当然，这只是对付选择题的方法，如果是解答题，有严谨合理的解法吗？那当然是有的了。下面就给大家分享一种解答题的解法。

解：由x^2+y^2-xy=1，得(x-y/2)^2+(√3y/2)^2=1,【配方的目的是为了换元，利用(sint)^2+(cost)^2=1】

令x-y/2=cost, √3y/2=sint, 则x=√3sint/3+cost, y=2√3sint/3, 【相当于得到一个参量方程，从而将二元问题转化成一元问题】

∴x+y=√3sint+cost=2sin(t+π/6)∈[-2,2]. 【运用了和的正弦公式的逆。结果检验选项，可以发现A错, B对！注意，这里求的不是解集，只要解集中所有的根都符合不等式，就成立，所以B是对的。做为解集它则是错的】

0≤(x+y)^2≤4, xy=x^2+y^2-1, ∴0≤3(x^2+y^2)-2≤4, 【完全平方公式的灵活运用】

∴2/3≤x^2+y^2≤2. 【结果检验选项，可以发现C对, D错】

后面的解法用来解选择题，显然不太划算，使用的时间相对比较多。但作为平时学习，可不要挑食哦。