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九章算术之后近一千五百多年，才又由欧洲的莱布尼茨，以及日本江户时代一个叫关效和的武士，再次发现了行列式的秘密。也就是我们今天的线性多元一次方程组的系数排列组合。这个叫关效和的武士非常神奇，因为他对幂数列的研究，已经差一点点就要发现微积分了。 上述研究倒了19世纪初，终于被柯西发展为现代矩阵代数。19世纪开始，代数向着更抽象的领域发展——先是布尔发明了布尔代数——以纯粹的代数符号来替代了此前限于文字表达的逻辑学，把逻辑学发展为数学的一个领域；接着就是凯莱就着矩阵代数发明了群论group，伽罗瓦发明了域论fields。 凯莱所谓的群，是指一些对象的集合，这些对象在集合里通过一定的法则发生关系，主要是乘法关系，好比就是一些对象之间的乘法表。群论的作用主要是通过不同群之间的置换，即不断变更代数符号和对应关系，来实现对多项式方程求解。 伽罗瓦的域是指一个数系，在这个数系中，不论对哪个具体数进行四则计算，得到的新数都在这个域以内。比如自然数、整数都不是域，因为两个自然数，两个整数相除得出的结果可能不是整数；而有理数则是一个域，实数也构成一个域，复数也构成一个域。域可以扩张，也可以收缩。 有了域，伽罗瓦就可以把任何一个多项式方程的求解，都变化为方程的系数所在的域，和方程的解所在的域的关系问题。 也就是说，系数可以构成一个域，解也可以构成一个域，很有可能方程的解并不在系数所在的域，意味着光是凭系数无法得出方程的全部解，那么就可以通过扩张系数的域，来解决此问题。而扩张的方式，就利用群论的置换方法，把系数的域置换为解的域，从而求解。 伽罗瓦的伟大洞察力在于，运用域对群进行结构分析，他发现群的结构对于群的置换有着极大的影响力，由此，他发现了群结构的特征——正规子群的存在。 正是正规子群，决定了一个多项式方程的代数解形式，最终他得到了判断一个多项式方程是否有代数解的方式，终结了此前一千余年对于多次方程求代数通解的努力。 伽罗瓦生活在19世纪30年代的法国巴黎，这正是雨果《悲惨世界》那个年代，法国充满了政治动荡，不断爆发保皇党和革命党的冲突。伽罗瓦18岁丧父，孤僻、古怪、聪明，进入巴黎高等师范学院学习。19岁他就已经基本完成了上述关于“域论”的研究，并提交了相关论文。这些论文就连当时的泊松、柯西、傅里叶也看不大懂！ 伽罗瓦热情地参与了当时的革命，两次入狱，在20岁这年，也就是1832年，他莫名其妙地卷入一场冲突，带着失恋的情绪与他人决斗，大约是俄罗斯轮盘赌的方式，死于决斗。他死后十年，他的论文才重新被人发表并发现价值。 最可怕的不是伽罗瓦解决了多项式方程的代数通解问题，而是他解决这个问题发明的工具——群和域。 拉格朗日后来给群下一个规则定义：一个群必须满足四个条件，封闭性（各个对象都可以通过法则与其他所有对象发生联系）、结合律（对象之间满足乘法结合律）、单位元（必须有一个元素，某个对象与之发生关系时，其他对象都不发生变化，这个单位元一般是1）、逆元（每个对象都存在一个逆对象，两者相乘等于1）。 可以看到，抽象掉数字，甚至于抽象掉代数后，群可以拓展为任何一种关系组合。伽罗瓦发明的域就更复杂一些，需要十条公理来定义。
到伽罗瓦去世十年之后，高斯又提出了介于群和域之间的“环”概念。所谓“环”，就是一组对象之间只能进行四则运算中的“加、减、乘”三种运算的集合。 这其实就是高斯在处理多项式之间的四则运算时得出的一个神奇的东西——你可以把任何含有x的方程进行加减乘除，得到一个新的方程，但你无法确保对两个方程使用除法得到新的方程吧。 19世纪中叶，随着拉普拉斯、拉格朗日、柯西等一代去世，法国的数学开始衰落。代之而起的是德国的数学。 德国之所以能在19世纪中叶涌现出一批耀眼明星——高斯、爱森斯坦、黎曼、库默尔，在于拿破仑战争之后，对法国的失败促使普鲁士开展了全面的教育体制改革，从学制到师资体制，仅仅用了不到四十年，德国就成了欧洲的数学中心，并且一下子出来两个中心——柏林和哥廷根。 柏林以纯粹、严谨和致密为风格，是典型的罗马风格；哥廷根则以想象力和几何化为风格，是典型的雅典风格。对于柏林大学的魏尔斯特拉斯，任何一个结论如果没有满8页的证明，他不屑一看；对于哥廷根大学的黎曼而言，他只畅想于弯曲的空间和平面上，只是偶尔停下来匆匆给出一个证明。 19世纪下半叶，德国还出了个神人——埃玛努埃尔·拉斯克，此人在1868年到1927年间连续27年拿了国际象棋世界冠军，连续27年！这纪录当然至今无人能挑战。 他的神奇在于，一边参加各种象棋比赛赚钱，一边读数学博士学位，33岁师从希尔伯特拿到了博士学位。 他对代数的贡献，是继续深化了“环”研究，提出了非常深奥的“准素数理想”概念——我看了半天，琢磨了一天也没弄懂是什么意思，就没法给大家做简单介绍了，建议感兴趣的还是看原文吧。 拉斯克是犹太人，所以在纳粹德国遭受迫害，出逃到了美国，并在那里早逝。 接着他工作的，是来自法国的女数学家埃米·诺特，她的成才经历说明了此前德国教育改革之成功——当时只有德国的大学能够接受女性作为旁听生。 于是诺特到了埃尔朗根大学，并在那里拿到了博士学位，当时也只有德国的大学能够给女博士提供讲师席位。她也致力于对“环”的研究，提出了“诺特环”和“拉斯克-诺特定理”，把代数公理化，从近代推进到了现代。 诺特最著名的成就，是把群-域-环理论，用于解决爱因斯坦搞不定的“洛伦兹变换”——如果还记得的话，大家应该知道，群就是用来置换数系的。诺特处理的，正是爱因斯坦的坐标系——三个空间坐标和一个时间坐标如何转换（参考系变换）的问题。 爱因斯坦确实在纯数学领域较为欠缺，所以当他遇到解决不了的问题时，就找哥廷根的希尔伯特，希尔伯特就把诺特介绍了过去，解决了这个问题，给出了一个广义相对论中极为重要的数学定理——拉斯克·诺特定理。 群的置换、环的映射，与坐标系的转换联系到了一起，坐标系本来就是解析几何的核心，于是，代数又一次与几何联系到了一起。 19世纪初，拿破仑兵败俄国茫茫雪原，庞大军队撤去之后，留下了一群等死的俘虏。其中有一个叫维克托·庞斯列的军官，他被迫整整苦行五个月，穿越雪原到萨拉托夫战俘营服刑。 纯粹出于消遣和打发时间，庞斯列开始回忆他在巴黎理工大学的数学课程，写他的几何学。 1814年他被释放返回法国时，他已经写满了整整七本数学笔记！他整理之后成了现代射影几何学名著《论图形的射影性质》。 庞斯列重新把几何带入了19世纪数学家们的视野，这引发了希尔伯特、黎曼、罗巴切夫斯基们再次用代数解析几何，用几何描绘代数——最经典的象征，就是黎曼使用一个自相交的曲面来描绘函数，这些都隐约地暗示了一个新的领域——拓扑学。
拓扑学是典型的代数几何学，正因为有了群、域、环和簇等代数工具，让人们可以设想原本是坚硬固定的空间，也是可以伸缩变换的。拓扑学的本质就是橡皮几何学，球面可以通过拉伸、收缩、挤压，变换成其他类型的曲面，而这一曲面与球面是“等值”的。 黎曼以及后来的庞加莱就是把群和域的代数概念与曲面联系了起来。这需要想象力——想象一个球面，球面上任意一个点，从这个点，沿任何方向，直线前进，你都可以回到这个点吧。 最为关键的是，你走过的轨迹，不论它沿任何方向收缩，都可以毫无障碍（光滑、连续）地收缩为这个点。每条路径，构成一个多项式，而这所有的多项式，实际上就构成了代数上的一个群。 再想象一下面包圈的样子，从面包圈上任意一个点出发，任何方向前进，也可以回到这个点，但并不是所有的轨迹，都能够光滑无障碍地收缩为这个点——得想象一下。 上述所谓轨迹，在拓扑学上就叫闭路，一条闭路可以光滑地变形为另一条闭路，那么这两条闭路就是拓扑等价的，只不过是被拉扯挤压了一下变了样子而已。 庞加莱借助代数，形成了这样著名的想象——三维空间中的球面，与一个弯曲的三维空间（即四维空间）也可以是拓扑学等价的。 进入二十世纪后，代数既给玄幻的理论物理学源源不断地提供奇特的数学工具，又在逐步把哲学思想公理化、标准化！ 在数学家们看来，世界是可以被构造出来的——那么多完全来源于数学家虚空幻想的方程式、模型，居然就能和宏观宇宙、微观粒子间的运动模式“咔吧”地契合到一起，两者之间并没有谁先谁后，而似乎是完全并行的过程。 如二十世纪中叶出现的范畴论，几乎就把康德哲学中的概念公理化了。当代代数家们认为，诸如群、域、环、向量空间这些代数对象，都是由各种元素以及合成这些元素的方式构成的。 我们的运算过程实际上就通过特定法则，把一种对象转换、置换或者映射为另一种对象。在这个过程中，对象自身的结构和特性会得到充分的展现。 像当代数学家艾伦伯格、麦克莱恩就认为，这种转换过程，在不同的元素和不同的法则中，其实是一样的，可以把这种代数结构一般化。这种提炼出来的最大类似性的映射法则，就是一个范畴。 这完全是高度的抽象空想，然而这些范畴就能用于描绘甚至解释世界某个层面、某个环节的运动变化。 不是理性为自然立法是什么？ 最后，引用当代的一位神奇的数学家格罗腾迪克的描述：每一门科学，当我们不是把它作为能力和统治的工具，而作为人类世代以来孜孜追求的对知识的冒险历程时，就是这样一种和谐，从一个时期到另一个时期，或多或少，巨大而又丰富：在不同的时代和世纪中，对于依次出现的不同的主题，它展现给我们微妙而精细的对应，仿佛来自虚空。 |
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