2022安顺中考数学压轴题分析2：将军饮马问题

本题内容选自2022年贵州安顺中考数学填空压轴题，以正方形为背景，考查全等、相似与轴对称等知识，本题虽然是将军饮马问题，但求解过程中反而是相似等知识占主要地位。

【题目】

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（2022·安顺）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若，则MC+MN的最小值为　        ．

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【答案】

　　

【分析】

如上图所示，图形看起来比较复杂，但仔细分析，其实还是不难的。

这里DG与AF垂直，得到正方形内的一个十字模型，可以得到△ADE≌△DCG（AAS），而题目给定的两个三角形的面积比为1:9，根据全等即可转化为△ADE与△FCE的面积比，这里面又是一个X字型的相似。

根据面积比为相似比的平方，那么可以得到DE与EC的比为1:3，AE与EF的比也是1:3。

由于点N为EF的中点，所以可以得到AE与EN为2:3的关系。

因为AB=4，那么可以得到BC=4，CF=12，

进而根据勾股定理可以得到AF=4√17。

那么AN=5√17/2。

因为点N与点C均为定点，点M为动点，那么问题就转化为将军饮马的问题了。只需过点C作BD的对称点即可，可以发现点A就是对称点。那么MC+MN=AM+MN，当且仅当A、M、N三点共线时取得最小值。

本质就是求AN的长。

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【拓展】

本题难度不大，不过大家可以探究下AE的中点与EF的中点的轨迹。

当点E运动时，点N′与AD的中点连接，始终平行且等于DE的一半，可以得到点N′的轨迹为线段。

那点N的轨迹呢？就有点小复杂了。

可以发现它既不是圆弧也不是线段。那怎么办呢？

可以适当设未知数表示出其方程，再探究。可以设点N（x，y），那么可以得到x与y之间的关系即可。

根据中点的性质，可以得到CE=2y，CF=2x，

那么就可以得到DE=4-2y，

再根据相似可以得到比例关系：

4/2x=(4-2y)/2y，

化简出y=2-4/(x+2)，图象如下图所示。相当于一个反比例函数的变形。

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【总结】

按图索骥，以不变应万变。根据题目的条件得到相应的结论，根据具体的问题，再探寻所需的条件。