高三数学-易错题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合，
，，，则A．B．C．D．【分析】根据指数函数和二次函数的性质求出集合，，进而可以判断集合，的关系．【解答】解：由已知可得当时，，
则，当时，，所以，则，故选：．【点评】本题考查了集合间的包含关系，涉及到指数函数以及二次函数的性质，属于基础题．2．（5分）已知，
则“”是“，”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“，”，或，，解得范围即可判断
出结论．【解答】解：“，”，或，，解得．“”是“，”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解
法、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十四里
关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走254里路，第一天健步行
走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地，请问第四天走了A．64里B．32里C．16里D．8里【分析】
设此人每天走的路程构成数列，数列的前项和为，由题设条件求得首项，即可求得结果．【解答】解：设此人每天走的路程构成数列，数列的前项和
为，由题设知数列是公比的等比数列，，解得：，，故选：．【点评】本题主要考查等比数列在实际问题中的应用，属于基础题．4．（5分）设，
则A．B．C．D．【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：，，，，，，故选：．【点评】本题考查三个数的大小的求法，
是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5．（5分）国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记
者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军
战机在海面上空绕台巡航．已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：和高度（单位：之间的关系为是自然对数的底数，是常数），根据实验知高
空处的大气压强是，则我军战机在高空处的大气压强约是（结果保留整数）A．B．C．D．【分析】由题意知，，求出的值，再代入中，求得的
值，即可．【解答】解：高空处的大气压强是，，即，当时，有．故选：．【点评】本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数的运算法则是解题的关
键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．6．（5分）如图，在平行四边形中，，分别是，的中点，已知，，则A．B．C．D．【分析】可
设，然后可得出，然后即可得出，，从而根据即可求出的值．【解答】解：设，则，两式相加、相减得：，，．故选：．【点评】本题考查了向量加
法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题．7．（5分）朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为
藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家．朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二
等程律”．十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是，如果12音阶中第一个音的频率是，那么第二个音的
频率就是，第三个单的频率就是，第四个音的频率是，，第十二个音的频率是，第十三个音的频率是，就是．在该问题中，从第二个音到第十三个音
，这十二个音的频率之和为A．B．C．D．【分析】分析题意，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【解答】解：由题意知，第二个音到第
十三个音的频率分别为，显然以上12个数构成了以为首项，以为公比的等比数列，故其和为．故选：．【点评】本题考查学生合情推理的能力，考
查了等比数列的求和，属于基础题．8．（5分）如图，在四面体中，，，，的重心为，则A．2B．C．D．3【分析】画出图形，连接交于，
连接，则为边的中线，的重心为靠近的三等分点．把长方体的对角面单独画出，如图，记为和的交点．通过三角形的相似，转化求解即可．【解答】
解：如图，将四面体还原到长方体中，易知四面体的棱是长方体的面对角线，则，连接交于，连接，则为边的中线，的重心为靠近的三等分点．把长
方体的对角面单独画出，如图，记为和的交点．因为，且，所以为靠近的三等分点，即重心与点重合，故．故选：．【点评】本题考查空间几何体的
相关知识的应用，点线面距离的求法，考查转化思想以及计算能力．二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多
选符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）已知为虚数单位，则下列结论正确的是A．复数的虚部
为B．复数的共轭复数C．复数在复平面对应的点位于第二象限D．复数满足，则【分析】．利用复数的运算法则及其虚部的定义即可得出；．利用
复数的运算法则及其共轭复数的定义即可得出；．利用复数的几何意义即可得出；．设，，，不全为，根据满足，化简即可得出结论．【解答】解：
．复数的虚部为，因此正确；．复数的共轭复数，正确；．复数在复平面对应的点，位于第四象限，因此不正确；．设，，，不全为，满足，则，，
即，，因此正确．故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义、共轭复数复数的性质、几何性质，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．10．（5分）已知是等差数列的前项和，且，则下列说法正确的是A．中的最大项为B．数列的公差C．D．当且仅当时，【分析】由
，可得，，，可得，，再利用求和公式及其性质即可判断出结论．【解答】解：，，，，，，，，因此中的最大项为，，，，故选：．【点评】本题
考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相
切，则A．双曲线的实轴长为6B．双曲线的离心率C．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为，，则D．直线与交于，两点
，点为弦的中点，若为坐标原点）的斜率为，则【分析】由题意知的渐近线方程为，由点到直线的距离可得圆心到渐近线的距离为半径，，解得，进
而可得双曲线实轴长为，即可判断是否正确；由，解得，计算离心率，即可判断是否正确；设，，由点到直线的距离可得点到渐近线的距离，，再计
算，即可判断是否正确；设，，，，可得，，两式相减，得，即，进而可判断是否正确．【解答】解：由题意知的渐近线方程为，所以，解得，所以
双曲线实轴长为，故错误，所以半焦距，所以，故正确，设，，所以，，所以，故正确，对于选项：设，，，，所以，，两式相减，得，所以，，所
以，所以，所以，所以，所以．故正确，故选：．【点评】本题考查直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．12．（
5分）已知双曲线满足条件：（1）焦点为，；（2）离心率为，求得双曲线的方程为，若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，
则下列四个条件中，符合添加的条件可以为A．双曲线上的任意点都满足B．双曲线的虚轴长为4C．双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合D．
双曲线的渐近线方程为【分析】分别运用双曲线的定义、虚轴的定义和抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，结合离心率公式，计算可判断符合
题意的条件．【解答】解：对于，因为，所以，又焦点为，，可得，所以离心率，故符合条件；对于，双曲线的虚轴长为4，所以，，则离心率，故
不符合条件；对于，双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，可得，，故不符合条件；对于，因为渐近线的方程为，可得，又，，解得，则离心率，
故符合条件．故选：．【点评】本题考查命题的真假判断，主要是双曲线的方程和性质的合理运用，考查运算能力和推理能力，是中档题．三、填空
题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》《好玩的数学》《故事
中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱．下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章
首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．如用两个埃及分数与的和表示等．从这100个埃及分数中挑出不同的3个，
使得它们的和为1，这三个分数是．（按照从大到小的顺序排列）【分析】由即可求出答案．【解答】解：，这三个分数是：，故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．14．（5分）已知在，上单调递增，．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为
．【分析】由：先求出的导数，由题意可得恒成立，求出的范围，再根据是的充分不必要条件即可求出的取值范围．【解答】解：在，上单调递增，
在，恒成立，即在，恒成立，，，若是的充分不必要条件，，故的取值范围为，故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式
恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查函数的单调性的运用，属于中档题．15．（5分）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系
统，称为地理坐标系统，它是一种利用三度空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一个位置，经度是个二面角，是
两个经线平面（经线与地轴所成的半平面）的夹角，某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角．纬度是个线面角，某一点
的纬度是指该点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角．城市位置东经，北纬，城市位置为东经，北纬，若地球的半径为，则过，两点和地心
的平面截球所得的截面圆的劣弧的长是．【分析】由题意可求劣弧所对的圆心角的值，进而根据弧长公式即可求解．【解答】解：设球心为，
由题意和劣弧所对的圆心角，即，所以过，两点和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧的长．故答案为：．【点评】本题主要考查了弧长公式的应用
，属于基础题．16．（5分）已知直线与椭圆相交于，两点，椭圆的两个焦点分别是，，线段的中点为，则△的面积为．【分析】先设出点
，的坐标，代入椭圆方程，利用点差法和的中点以及直线的斜率即可求出的值，进而可以求出的值，从而可以求解．【解答】解：设，，，，则，两
式相减得：，因为直线的斜率为，线段的中点为，所以，得，因为，所以，故△的面积为，故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的方程以及点差法
的应用，涉及到中点坐标公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演
算步骤.17．（10分）已知数列的前项和为，且满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）设的前项和为，证明：．【分析】（1）先根据已
知条件计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步计算即可得到数列的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果判断出数列是以2为首项，1
为公差的等差数列，即可计算出的表达式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前项和的表达式，再根据不等式的运算即可证
明结论成立．【解答】（1）解：依题意，当时，，当时，由①，可得②，①②，可得，即，当时，也满足上式，，．（2）证明：由（1）知，，
故数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，则，，不等式成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合．考查了
整体思想，转化与化归思想，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18．（12分）如图，在中，内角，，所对的边分别
是，，，在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知，，是边上的一点，，若____，求的面积．【分析】若选择①
，由题意利用三角形内角和定理可得，，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得的值，利用两角差的正弦公式可求，进而根据三角形的面积公式可
求的面积；若选择②，由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可得的值，结合，可求，利用三角形内角和定理可求，由正弦定理可得
，由正弦定理解得，利用两角差的正弦公式可求，进而根据三角形的面积公式可求的面积；若选择③，利用正弦定理，余弦定理化简已知等式，结合
，可得，由正弦定理可得，的值，利用两角差的正弦公式可求，进而根据三角形的面积公式可求的面积．【解答】解：若选择①，由于，则在中，，
，由正弦定理：，得．在中，由正弦定理：，即，解得，可得，所以．若选择②，由于，则，化简得：，因为，所以，故，又，故，所以．由正弦定
理：，得．在中，由正弦定理：，即，解得，可得，所以．若选择③，由于，则有，即，可得，由于，故．由正弦定理：，得．在中，由正弦定理：
，即，解得，可得，所以．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了学生对三角函数基础
知识的综合运用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）“十三五”规划确定了到2020年消除贫困的宏伟目标，打响了精
准扶贫的攻坚战，为完成脱贫任务，某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工．已知该公司每生产某种型号医疗器械千件，需投
入成本万元，且，另外每年需投入固定成本200万元，由市场调研知，每件售价0.5万元，且生产的产品当年能全部销售完．（1）请写出年利
润（万元）关于产量（千件）的函数解析式；（2）产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获年利润最大？并求出最大利润．【
分析】（1）由题意可知：，然后分段求出，再以分段函数的形式写出即可；（2）利用二次函数以及基本不等式分段求出的最大值，比较即可求解
．【解答】解：（1）由题意可知：，所以当时，，当时，，所以；（2）当时，，则当时，万元；当时，，当且仅当，即时取等号，此时，所以产
量为100千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获年利润最大，且最大利润为9000万元．【点评】本题考查了函数的实际应用，涉及
到二次函数以及基本不等式求最值的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．20．（12分）已知向量，，向量，．函数，且函数的周期为．
（1）求函数在上的值域；（2）若，，，求的值．【分析】（1）由题意可得，而，则，由此求得值域；（2）化简可得，结合，，可得，再展开
化简代值运算得出答案．【解答】解：（1），函数的周期为，，，（1），，，函数在上的值域为；（2）由，且，可得，整理得，，，，故，．
【点评】本题考查数量积的坐标运算以及三角函数的图象及性质，考查和差角公式的运用，考查化简变形能力以及运算求解能力，属于中档题．21
．（12分）已知椭圆的左．右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，下顶
点为，过点作一条与轴不重合的直线．该直线交椭圆于，两点．直线，分别交轴于点，．求证：与的面积之积为定值，并求出该定值．【分析】（1
）写出直线方程，取求得值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于，的方程组，求解，的值，则椭圆方程可求；（2）由题意知，直线的斜率存
在，设直线，由椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得，横纵坐标的和与积，分别写出，的方程，求得与的坐标，再写出两三角形面积的乘积，结
合根与系数的关系可得与的面积之积为定值．【解答】解：（1）过且斜率为的直线的方程为，令，得，由题意可得，解得，．求椭圆的方程为；证
明：（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，，，，，联立，得．，，由△，得，，，直线的方程为，令，解得，则，，同理可得，，．【点评
】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．22．（12分）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点
在轴上，焦距为2，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点，分别为椭圆的左顶点、右焦点，过点的直线交
椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，，求证：直线和直线的斜率之积为定值．【分析】（1）设椭圆的方程为，焦距为，由题意可得，的方程组，解得，，由，，的关系可得，进而得到椭圆方程；（2）设直线的方程为，，，，，与椭圆方程联立，运用韦达定理，设，，由三点共线的性质求得，的纵坐标，再由两点的斜率公式，计算可得定值．【解答】解：（1）设椭圆的方程为，焦距为，由题意可得，，解得，，则，所以椭圆的方程为；（2）证明：由（1）可得，，设直线的方程为，，，，，联立，消去，可得，则，，由题意可设，，由，可得，同理可得，所以直线和直线的斜率之积为，所以直线和直线的斜率之积为定值．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/3/214:05:37；用户：高中数学；邮箱：cpzxgs06@xyh.com；学号：4118391718 |
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