2022贵阳中考数学压轴题分析1：等腰直角三角形的角平分线

本题选自2022年贵阳中考数学填空压轴题，以等腰直角三角形为背景，考查几何求值的问题。难度不大，而且题目涉及的模型非常典型，具体请看下文。

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【题目】

（2022·贵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6cm，∠ACB＝∠ADB＝90°．若BE＝2AD，则△ABE的面积是 　　cm²，∠AEB＝　　度．

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【答案】(36-18√2)，112.5。

【分析】

图中关键的一个条件就是BE=2AD，这个比较特殊。

遇到等腰直角三角形，常常考虑用旋转等方式构造辅助线。

如果熟悉本题模型的同学，可以发现其实BD会平分∠ABC，以往的作法就是分别延长AD与BC，并使得它们交于一点F。如下图所示。

可以得到两个三角形全等，也就是△ACF≌△BCE（AAS）。

由于BE=2AD，那么就可以得到AF=2AD，也就是说点D为AF的中点，而且BD会垂直于AF，那么就可以得到BD垂直平分AF，那么就可以得到AB=BF，也就是说△ABF为等腰三角形，根据三线合一，可以得到BD平分∠ABF。

已知AC=BC=6，那么就可以得到AB=6√2，那么可以得到CF=6√2-6，

进而根据勾股定理，可以得到BE²=AF²=AF²+CF²=144-72√2。

△ABE的面积S=1/2BE·AD=1/4BE²=36-18√2。

而∠AEB=∠ACB+∠CBD=90°+22.5°=112.5°。

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思路二：

当然，还可以考虑下面这种构造方式，取BE的中点F，连接CF。

那么根据直角三角形斜边中线的性质，可以得到CD=CF=EF=BF=AD，也就是说△ADC与△BFC均为等腰三角形。

而且还可以得到△DCF为等腰三角形，那么DF=√2CF。

如果设AD=x，那么就可以得到BF=x，DF=√2x，根据勾股定理可以得到AB²=AD²+BD²=x²+（√2+1）²x²=(4+2√2)x²=2BC²=72，

那么就可以得到AD²=x²=72/(4+2√2)=9(4-2√2)=36-18√2，

那么就可以得到△ABE的面积S=1/2AD·BE=AD²=36-18√2。

而∠AEB=90°+22.5°=112.5°。

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思路三：

如下图，过点E作EF垂直AB于点F。那么就可以得到△AEF为等腰直角三角形。

设AF=EF=x，那么可以得到AE=√2x，BF=6√2-x，CE=6-√2x。

再设AD=y，则BE=2y。

在Rt△BEF中，根据勾股定理可以得到：

(2y)²=x²+(6√2-x)²，

根据△ADF∽△BFE，可以得到：

y/(6√2-x)=√2x/2y，

则2y²=12x-√2x²。

那么就可以进行消元求解了。

那么可以得到(1+√2)x²-(12+6√2)x+36=0，

解得x1=6（舍去），x2=6/(1+√2)。

此时可以发现AF=EF=6/(1+√2)=6(√2-1)，

那么就可以得到AE=√2x=6(2-√2)，

那么可以得到CE=6-AE=6-6(2-√2)=6(√2-1)=EF，那么就可以得到点E到∠ABC两边的距离相等，也就是说BD平分∠ABC。

此时△ABE的面积S=1/2AB·EF=1/2×6√2×6(√2-1)=18(2-√2)。

那么∠AEB的度数也是可以得到为112.5°。

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【总结】

本题主要考查“等腰直角三角形+角平分线”的性质，先观察图形，然后再根据以往的经验进行求解，构造与角的平分线有关的辅助线。本题虽然是小题，但是计算量不小，特别是涉及分母有理化，仍然有一定的难度。

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