《找次品问题》的求解方法 （2022修改稿） 湖南衡东 许岳飞 还是从比尔·盖茨与81个玻璃球的问题说开来吧。 ⑴小比尔·盖茨的问题：这儿有81个玻璃球，其中有一个球比其他的球稍重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢？ ⑵如果不知道次品玻璃球与标准球的轻重，同样只用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出次品来？ 怎样用天平来测量次品？就是要用天平称量时的“平衡”与“不平衡”来判断研究对象的情况。“平衡”判明没次品；“不平衡”判明次品就在这里。本题要求最少的称量次数，显然还要找出一个解决问题的最优策略，也就是要让天平每称量一次能判断的研究对象个数最多，最终达到称量次数最少的目的。 实际操作起来就是把研究对象怎样分组，分成多少组的问题。 怎样分组？有平均分（对于不能平均分的数量，让数量多的组多1个，少的组少1个），任意分两种分法。比较起来只有平均分才能让“平衡”与“不平衡”说明研究对象的情况，任意分时，天平两边数量不等，“平衡”已不可能，“不平衡”也不能判断出问题，所以选择平均分法。 分成多少组？有分成2组、3组、4组、5组等多种分法。因为天平有两个托盘，每称量一次能放上两组研究对象，最多能判断出3组的情况。既能判断出天平上两组的情况，还能判断出天平外一组的情况。若平衡，次品就在盘外那组中；若不平衡，盘外那组中就无次品。所以只有分成2组或3组才能使天平每称量一次判断对象包括研究对象的全部，其他组数达不到这个要求——舍弃。再比较2组分法、3组分法的优劣：分组的要求是尽量使每组的研究对象数量少又能达到使天平每称量一次判断对象包括研究对象的全部。显然，3组分法每组的对象数量要比2组分法的少，更符合最优策略，所以选择等分为3组。 综合得出：把研究对象平均分成3组（对于不能平均分的数量，让数量多的组多1个，少的组少1个），能达到称量次数最少的目的。 特别规定相关表示法： ①A（a，a，a）表示把A三等分为a、a、a三组； ②A（a，a，b）表示把A三等分为a、a、b三组，其中a比b大1或小1。（A、a、b都是正整数） ③a，b表示a与b平衡（相同）； ④a＼b表示a与b不平衡（不相同）。 用天平称量的方法找次品有什么规律？ 因为采用的是三等分法，则每次称量都是把上次找出的问题组对象三等分之进行研究，且最后一次找出次品时，天平两边各只有1个研究对象，所以从天平两边各放1个研究对象开始逆推找规律。 
归纳一：一般地，用天平称量n次，能判断出研究对象的最多个数Y=3n。 上面研究的都是“最多”数量的情况，不满足“最多”条件的数量情况如何呢？比如4、12情况怎样？ 先研究4：因为天平称量1次最多只能判断出3个，所以要再称量1次，一共2次才能有保证。[平衡2次：4（2，1，1）→2（1＼1）。不平衡1次：4（2，1＼1）。] 再研究12：天平称量2次最多能判断出9个，所以也要再称1次，一共是3次才能有保证。[平衡3次：12（4，4，4）→4（2，1，1）→2（1＼1）。不平衡2次： 12（4＼4，4）→4（2，1＼1）] 归纳二：一般地，用天平称量法找次品，当研究对象的个数Y满足关系式3n-1＜Y≤3n时，最少要称量n次才能保证找出次品。 现在回头解答比尔·盖茨与81个玻璃球的问题。 问题⑴小比尔·盖茨的问题：这儿有81个玻璃球，其中有一个球比其他的球稍重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢？ 因为81=34，所以最少要称4次才能保证找出次品。[81（27，27，27）、27（9，9，9）、9（3，3，3）、3（1，1，1）] 问题⑵如果不知道次品玻璃球与标准球的轻重，同样只用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出次品来？ 先测出次品玻璃球是重了还是轻了，在哪一组？ 分组 81÷3=27
81（27，27，27） 一次——任取两组过天平，有“平衡”与“不平衡”两种情况。 ㈠研究“平衡”情况81（27，27，27） 既是“平衡”，就判断出次品在天平外那组中。 二次——任取已过天平一组作参照物与天平外那组同称，肯定不平衡。若原天平外那组重些，就判断出次品比标准球重，否则，次品就是比标准球轻。 ㈡研究“不平衡”情况81（27，27＼27） 既是“不平衡”，就判断出次品已在天平中，天平外那组是标准球。 二次——取较重的一组与天平外那组同称，有“平衡”、“不平衡”两种可能。若“平衡”就判断出次品球比标准球轻，次品在较轻那组中；若“不平衡”就判断出次品球比标准球重，次品在较重那组中。 归纳三：若不知道次品是比标准件重否轻，最少要称量2次才能得出次品在那组中，也才能知道次品是比标准件重些或是轻些。 此时，次品所在组有球27个。因为，27=33，所以最少再称3次才能保证找出次品球来。[27（9，9，9）、9（3，3，3）、3（1，1，1）] 一共是 2+3=5（次） 例1、若73个零件，其中有一个比其他的零件稍重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢？ 解：因为33＜73≤34，所以最少要称4次才能保证找出次品。 [平衡4次：73（25，24，24）、25（9，8，8）、9（3，3，3）、3（1，1，1）。不平衡4次：73（25，24＼24）、24（8＼8，8）、8（3＼3，2）、3（1＼1，1）] 用天平称量法判断产品，当遇上特殊问题时，就不能机械地套用一般方法来解决问题，而要根据问题的特殊性采用特殊的方法解决。 一、以合格品作参照物法 例2、在13个外形完全一样的零件中混入了1个次品，且不知道次品零件是比合格品重或轻。问最少要用天平称量几次才能把次品零件找出来？ 分析与解：若按一般的方法来解答，把13按3等分的方法分成13（5，4，4）3组，㈠先至少要称量2次才能判断出次品零件是比合格品重或轻、次品在哪一组。㈡此时次品所在的组有5个或4个零件，因为31＜5或4＜32，所以至少还要称量2次才能找出次品。㈢综合㈠㈡得至少要2＋2＝4次才能找出次品。 果真最少要4次才能找出次品吗？其实不然。只要方案设计合理，正确选取合格品作参照物，最少3次就能找出次品。 同样，把13按3等分法分为13（5，4，4）3组。 一次：把两组4个分放天平两边，有平衡或不平衡两种情况。 ㈠平衡情况13（5，4，4）：则天平上8个是合格品，次品在天平外5个那组中； 二次：把含次品组5个分成5（3，2）两组。把3个这组放到天平的左边，从8个合格品中任选3个作为参照物放到天平的右边。 ㈠①若平衡（3，3），则左边3个是合格品，次品在天平外2个那组中。 三次：从含次品组2个中任选1个放到天平的左边，右边放入1个合格品作为参照物。 若平衡（1，1），天平外那1个还没称量的是次品； 若不平衡（1＼1），天平左边的那1个就是次品，此时左重则次品比合格品重，左轻则次品比合格品轻。 ㈠②若不平衡（3＼3），则次品就在天平左边这3个中，天平外2个那组是合格品，此时若左边重则次品比合格品重，若左边轻则次品比合格品轻。 下面以左重（左轻分析类似略）为例，左重说明次品比合格品重些 三次：把含次品组3个分成3（1，1，1）3组，任取2组分别放到天平的两边，若平衡3（1，1，1）则剩下的那个是次品，若不平衡3（1，1＼1），天平上较重的那个就是次品。 ㈡不平衡情况13（5，4＼4），则次品在天平上这8个中，天平外5个那组是合格品。此时请记住那组是重的，那组是轻的。 合理分组，分重4为4（3，1）两组，轻4为4（2，2）两组。 二次：取重3轻2放入天平左边，5个合格品作参照物放到天平右边。 ㈡①若平衡（5，5），则天平左边5个是合格品，次品在天平外重1轻2两组那3个中。 三次：把轻2组中2个分别放到天平的两边， 若平衡（1，1），则天平上2个是合格品，轻4组中4个全是合格品，次品比合格品重，天平外重1组中那1个是次品，且重些； 若不平衡（1＼1），则天平外重1组中那1个是合格品，重4组中4个全是合格品，次品比合格品轻，此时天平上那个较轻的是次品。 ㈡②若不平衡（5＼5），次品就在天平左边这5个中，此时左重（左轻的情况分析相同略）则次品比合格品重，次品在重3组3个中。 三次：把重3组中3个分成3（1，1，1）3组，任取两组分别放到天平两边，若平衡3（1，1，1），则天平外那1个是次品；若不平衡3（1，1＼1），此时天平上较重的这1个就是次品。 综合以上解题分析，最少只要3次就能把混入13个零件中的1个不知轻重的次品找出来。 二、特殊取数法 特殊取数法有很多种，这里只介绍几种中小学生易于掌握的简单取数法。 ㈠按序号数字取数 例3、有10瓶100粒装的药丸丢了标签，其中9瓶中全是合格品，另1瓶中全是次品。已知合格品每粒重10克，次品每粒重9克，请设计一个方案只用天平称一次就把次品找出来，给每瓶药贴上正确的标签。 分析与解：本题若按一般解法，因为32＜10＜33，得出最少要3次才能找出次品，显然与解题要求不符。 怎样只称一次就把次品找出来？这就得用上一种按序号数字取数的特殊取数法来解决问题。设计解题方案为：标序→取数→称重→求差→判断。 1、标序。把10瓶药丸依次标上序号①②③……⑨⑩。 2、取数。按序号数字取数，就是从①号瓶中取出1粒，从②号瓶中取出2粒，从③号瓶中取出3粒，依此类推。共计取出药丸数量为 1＋2＋3＋……＋9＋10＝55（粒） 3、称重。用天平称出55粒药丸的重量为m克。 可以肯定m是正整数，且540≤m＜550。 4、求差。求55粒合格品重量与实际重量ｍ的差n。 55×10－m＝n 可以肯定n是正整数，且0＜n≤10。 5、判断。因为1粒次品药丸比1粒合格品药丸重量少1克，那么，实际总重量差1克，就有1粒药丸是次品；差n克就有n粒药丸是次品。所以根据n的值就可判断出那个瓶中装的是次品，n是几，几号瓶就是次品。 次品既已找出，再贴标签就是易事了。 ㈡按任意两个数的和都互不相等的规则取数 例4、有10瓶100粒装的药丸，其中8瓶中每粒重10克，另2瓶中每粒重9克，请设计一个方案只用天平称一次就把较轻的两瓶找出来。 分析与解:本题与例3有点相似，解题方案也是标序→取数→称重→求差→判断，只是取数方法不能再按序号数字取数了。因为有两瓶的药片是较轻的，求得的差是两个瓶中所取数的和，若仍按序号数字取数，就会出现多组两个数的和相等的情况，不利于判断。如： 16＝10＋6＝9＋7（两瓶较轻的是⑥号？⑦号？⑨号？⑩号？难于判断。） 15＝10＋5＝9＋6＝8＋7（两瓶较轻的是⑤号、⑥号、⑦号、⑧号、⑨号、⑩号？难于判断。） 那么本题取数要防止出现多组两数的和相等的情况，就必须按任意两个数的和都互不相等的规则来取数。 符合这个要求的取数方法有两种： Ａ、按每瓶序号数字的平方数来取数； Ｂ、按公比为大于1的整数的等比数列取数。 本题解决方案如下： 1、标序。把10瓶药丸依次标上序号①②③……⑨⑩。 2、取数。按任意两个数的和都互不相等的规则来取数。本题选择取每瓶序号数字的平方数的取数方法，就是从①号瓶中取12＝1片，从②号瓶中取22＝4片，从③号瓶中取32＝9片，依此类推。依次是1片、4片、9片、16片、25片、36片、49片、64片、81片、100片。 共计1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64＋81＋100＝385（片） 3、称重。用天平称出385片药片的重量为m克。 可以肯定m是正整数，且m＜3850。 4、求差。求385片合格品重量与实际重量ｍ的差n。 3850－m＝n 可以肯定n是正整数。 5、判断。因为1片次品药片比1片合格品药片重量少1克，那么，实际总重量ｍ差1克，就有1片药片是次品；差n克就有n片药片是次品。所以根据n的值就可判断出那两个瓶中装的是次品。 把ｎ分拆为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100之中某两个整数的和ｎ＝ｐ＋ｋ（ｐ、ｋ∈1、4、9、16、25、36、49、64、81、100），ｐ、ｋ所对应的药瓶序号 、 就是两瓶较轻的药片。 三、指定对象法 例5、有12个高尔夫球，大小形状完全一样，按理质量也应该相同，但其中有1个次品，质量与其它球不一样，请用天平只称3次把这个次品找出来，并弄清它是轻些还是重些。 分析与解：本题属特殊题型，不可用一般方法解答，运用特殊方法中的指定对象法能轻松解决。用指定对象法找次品，首先要给研究对象标上序号，然后指定几个特定对象放到天平两边进行称量判断。本题的解答过程是这样的： 首先把12个高尔夫球依次标上序号①②③……⑪⑫，让每一个序号代表一个对象球。 一次：指定①②③④放到天平左边，⑤⑥⑦⑧放到天平右边。有平衡、左重右轻、左轻右重三种情况。 ㈠、平衡，则①②③④⑤⑥⑦⑧号球都是合格品，次品在⑨⑩⑪⑫号球中。 二次：指定①⑨放在天平左边，⑩⑪放到天平右边。有平衡、左重右轻、左轻右重三种情况。 ㈠1、若平衡，则⑨⑩⑪是合格品，⑫号球是次品。 三次：指定⑫放在天平左边，①放到天平右边。若左重，则⑫号次品球比合格品重些；若左轻，则⑫号次品球比合格品轻些。 ㈠2、左重右轻，就是①⑨＞⑩⑪。说明要么⑨是次品重些，要么⑩⑪中有1个是次品轻些。 三次：把⑩⑪分别放到天平两边。若平衡，则⑨号球是次品，且重些；若不平衡，则⑩⑪号球那个轻些那个就是次品。 ㈠3、左轻右重，就是①⑨＜⑩⑪。说明要么⑨是次品轻些，要么⑩⑪中有1个是次品重些。 三次：把⑩⑪分别放到天平两边。若平衡，则⑨号球是次品，且轻些；若不平衡，则⑩⑪号球那个重些那个就是次品。 ㈡、左轻右重，就是①②③④＜⑤⑥⑦⑧，说明要么①②③④中有1个次品轻些，要么⑤⑥⑦⑧中有1个次品重些。 二次：指定①②⑤放在天平左边，③④⑥放到天平右边。有平衡、左重右轻、左轻右重三种情况。 ㈡1、若平衡，则①②③④⑤⑥号球都是合格品，⑦⑧号球中有1个次品重些。 三次：把⑦⑧号球分别放到天平两边，那个球重些那个球就是次品。 ㈡2、左轻右重，就是①②⑤＜③④⑥时，说明要么①②中有1个是次品轻些，要么⑥是次品重些。 三次：把①②分别放到天平两边，若平衡，则⑥号球是次品重些；若不平衡，①②号球中那个轻些那个就是次品。 ㈡3、左重右轻，①②⑤＞③④⑥时，说明要么③④中有1个是次品轻些，要么⑤是次品重些。 三次：把③④分别放到天平两边，若平衡，则⑤号球是次品重些；若不平衡，此时③④号球中那个轻些那个就是次品。 ㈢、左重右轻，就是①②③④＞⑤⑥⑦⑧。可参考㈡左轻右重分析推演，这里就不再赘述。 用天平称量法找次品，天平呈现的表象虽然只有平衡与不平衡两种，但反应的问题却异常复杂，要敏感地识别出所判明的情况，适时恰当地运用于排查次品，让问题逐步明朗。解题思路逻辑性强，要求严谨周密，不可疏漏。 
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