雷劈数[印度卡普列加发现的数学规律]

雷劈数，定义为：若正整数X（在n进位下）的平方可以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于X，那么X的平方就是（n进位下的）一个雷劈数，又称卡布列克数。例如55^2=3025，而30+25=55，那么3025就是一个雷劈数。

基本信息

中文名	雷劈数
外文名	The thunder number
别名	卡布列克数
类型	数学规律
提出者	Dattaraya Ramchandra Kaprekar

发现

印度数学家卡普列加（Dattaraya Ramchandra Kaprekar,1905-1986）在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半写着25。这时，他忽然发现

，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。从此他就专门搜集这类数字。

按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈数”或“卡布列克怪数”，也叫“分和累乘再现数”。

卡氏数可以指平方后的数，亦可指平方前的数，常常不加区分。

求法

人们容易找到其他的数也具有这样的性质。例如，易知2025具有该性质：

。

求雷劈数的方法很多，从初等数学到高等数学，应有尽有。以下是两种最简单的办法（以两位数+两位数为例）：

方法一

设该数的前两位为x，后两位为y，根据定义，有

即

。

该方程的判别式

必须是完全平方数，而y本身也必须是平方数的尾数，故可求得y等于1或25，从而求得四个结果2025，3025，9801和0001（舍去）。

方法二

同样设该数的前两位为x，后两位为y。于是有

从而看出

与

中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数（当然依照位数不同，也可能是别的因数），从而找出候补者44，55和99。下略。

用以上方法，亦可找到其他位数的雷劈数，如

；

。目前最小的雷劈数是81

简单性质

一般而言，考察雷劈数时，一般不考虑分割后的一部分全部为0的情况（如

）。亦不考虑由0开始的数字（如

）。

最小的奇雷劈数是81：

。

最小的雷劈偶数是100:

如果

是雷劈数，那么

也是雷劈数.证明：

设

是雷劈数，可以分割成x和y两部分，且

，y为n位数，则

（雷劈数定理）

然而

同样满足雷劈数方程。

在二进制下，所有的完全数都是卡布列克数（同雷劈数）。

雷劈数表

以下用x|y表示一个平方数N可以分割为x和y两部分，

。

y是一位数：

有意义的数只有

。

y是两位数：

其中有意义的数是

。

0|0...0,0|0...1,10...0|0...0这三种属于平凡解，下略。

根据上节的性质，雷劈数必然成对存在；但9..98|0...01是比较特殊的一类，与其成对的0|0...1属于平凡解。

y是三位数：

y是四位数：

y是五位数：

y是六位数：