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梯形中的辅助线添加和模型应用

 妍小青 2022-10-03 发表于上海

回顾:梯形中常见辅助线的添线方法

在八年级“梯形”的学习中,我们了解了常见的梯形的辅助线的添线方法。常见的方法主要有“做高法”、“延长/平移腰”等,如下图所示

到了九年级后,梯形常常会结合常见的基本图形考察,如“A/X型基本图形”、“共边共角型相似三角形”以及“对角互补模型”等。对于此类问题,不仅需要熟练掌握模型的基本图形和其变式外,还需要结合梯形本身的特征进行考量,此类问题往往都需要进行辅助线的添加,并且这些辅助线不止一条、方法多样、灵活。

梯形与“A/X型”+“共边共角型相似三角形”

当出现中点或者“燕尾三角形”时,常见的辅助线的方法就是作平行线构造A/X型基本图形,借助相似三角形或者平行的性质,往往会产生新的共边共角型相似三角形。

解法分析:本题是围绕着全等三角形、构造A/X型基本图形或共边共角型相似三角形的一类典型的几何证明题,问题解决的渠道较多。

首先需要发现的是一组全等三角形,即▲ADE和▲DCF,然后得到与边、角相关的数量关系。

方法1:利用共边共角型相似三角形:△DGE∽△AGD间线段的比例关系

方法2:利用EDC中点,添加平行线构造基本图形

解法分析:本题是围绕着构造A/X型基本图形或共边共角型相似三角形的一类典型的几何压轴题,问题解决的渠道较多。

本题的第(1)和第(2)问通过线段间的比例关系,通过构造A或X型基本图形,利用三角形一边的平行线的性质定理求线段的比值或证明线段平行。

方法1:延长DA、CE,构造2组X型基本图形

方法2:构造梯形的中位线

本题的第(3)问是三角形相似的存在性,但是限定了字母顺序,因此只有一种情况,同时▲GFC始终为钝角三角形,因此F只能在线段CB的延长线上。通过借助平行线和相似三角形的性质,可以得到一组新的共边共角型相似三角形,从而两次利用线段间的比例关系助力问题解决。

模型链接




梯形与“对角互补模型”

“对角互补模型”往往与相似三角形相伴,因此当出现对角互补模型时,往往可以尝试发现图中是否有现成的相似三角形或者通过作垂线构造相似三角形。

解法分析:本题的三个问题层层递进,每一个问题都是前一个问题的加深。围绕着构造全等三角形、利用“对角互补模型”以及等腰三角形的存在性展开。本题需要注意的是动点E和F可以在线段或者延长线上。

本题的第(1)问就是构造全等三角形,从而证明∠BMC=90°。有两种构造全等三角形的办法,也是梯形中常见的“做高法”。

本题的第(2)问是在于灵活应用“对角互补模型”,同样有2种方法,方法1侧重发现、利用图中的相似三角形,从而建立函数关系式;方法2则通过构造相似三角形以及锐角三角比建立函数关系。

本题的第(3)问是等腰三角形的存在性问题,需要“数形结合”与“分类讨论”,既要对边进行分类,也要对点的位置进行分类,通过根据不同情况画出合理图形,利用锐角三角比和相似三角形的性质求解,解题的过程并不困难。
当点F在线段BC上时

当点F在线段BC延长线上时


END



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