2022海南中考数学压轴题分析2：比例最值与正方形的存在性问题

本题选自2022年海南省中考数学压轴题，以二次函数为背景。考查四边形面积的求法，线段比例的最值，直角三角形的存在性，以及正方形的存在性等问题。题目问法较多，比较综合，可以研究一下。

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【题目】

（2022·海南）如图1，抛物线y=ax²+2x+c经过点A（-1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x,y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；

（3）点Q在抛物线上，当PD/AD的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；

（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n,0），点H在射线CP上，且CH=CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．

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【分析】

本题的小问比较多，需要逐一耐心解答。

（1）求函数表达式，代入点坐标即可，根据待定系数法列方程组求解。

（2）如图，先连接CP与BP构成四边形。当点P（1，4）位置确定时，四边形BOCP的形状与大小就确定了。

求面积的方法比较多样，一般选择割补法求解，如图连接PC，可以得到两个三角形，且它们的底均在坐标轴上。直接利用面积公式可解。

求得面积为1/2×(3×1+3×4）=7.5。

（3）前提条件为PD/AD取最大值时，比例问题考虑相似。分别过点A和P作y轴的平行线，交BC与点E和F。可以得到AE为定值，而△AED∽△PFD，所以当PF取最大时，PF/AE最大，此时PD/AD最大。

那么上题的本质就是求PF的最大值。设点P的坐标，表示出PF的长，然后求出最值即可。

设P（m,-m²+2m+3）则F（m，-m+3），

PF=-m²+2m+3-(-m+3)

   =-m²+3m

   =-(m-3/2)²+9/4，

当m=3/2时，PF最大，最大值为9/4。

此时A与P都是顶点，要在抛物线上确定一点Q使得三点构成直角三角形。这就是常见的“两线一圆”模型。由于点Q在抛物线上，因此不太好表示。当然，仍然可以设未知数进行求解。再利用勾股定理或者相似进行求解。

过点A和P构造两线一圆模型，可以发现，抛物线上有4个点满足要求。其中2个点分别在过点A和P的垂线上，另2个点在圆上。可以利用勾股定理，或者相似进行求解。

设Q（n,-n²+2n+3）。

①如图，当∠PQA=90°时，构造三垂直模型，可以得到一组相似。

得AS/QR=QS/PR，

则，
解得，。

②如图，当∠APQ=90°时，构造三垂直模型，也可以得到一组相似。

得AS/PR=PS/QR，

则，解得。

③如图，当∠PAQ=90°时，构造内三垂直模型，得到相似。

则AS/PR=QS/AR，则

，
解得。

综上所述，点的横坐标为：或1或或。

（4）本小题主要包含等腰直角三角形和正方形，可以利用这两个特殊的图形得到全等，进而得到坐标的关系。

先设点，
由于且它们互相垂直，所以根据全等可以得到，
又由于为的中点，所以，，
根据轴，得，。
如下图，再构造三垂直模型，得到全等。
那么，
，
，
，（舍去），
，。

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【总结】

本题不难，但是小问题比较多，特别是第（3）小题，涉及抛物线上求直角三角形的顶点坐标，容易出现三次或四次的方程。因此如何列方程就显得尤为重要。在解题的时候，尽量利用已知的线段进行求解，可以使得方程更简洁。