本题选自2022年黑龙江大庆的中考数学填空压轴题。以正方形为背景,比较综合,难度中等。是一道典型的正方形综合题,值得研究。 (2022·大庆)如图,正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的两个动点,且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍.连接DE,DF分别与对角线AC交于点M,N,给出如下几个结论:①若AE=2,CF=3,则EF=4;②∠EFN+∠EMN=180°;③若AM=2,CN=3,则MN=4;④若MN/AM=2,BE=3,则EF=4.其中正确结论的序号为 . 本题难度其实不算大,但是正确的结论太少,所以容易自我怀疑,导致错误。本题的关键条件是正方形ABCD的周长为△BEF周长的2倍。其实翻译过来的意思是△BEF的周长等于AB与BC的和,也就是说BE+EF+BF=BE+AE+CF+BF,那么就可以得到EF=AE+CF,这就是典型的正方形半角模型的结论。有了上面的线段数量关系,可以得到∠EDF=45°,也就是说∠EDF=1/2∠ADC,也就是大家说的半角模型。证明的方法比较简单,而且常见,就是旋转或者截长补短的方式。具体如下图所示: 如上图,EF=AE+CF,延长BA至点F′,是的AF′=CF,那么就可以得到两个△ADF′≌△CDF(SAS),进而再证明△DEF′≌△DEF(SAS),那么就可以得到结论,也就是说∠EDF=∠EDF′=45°。而且还可以得到∠DEF=∠DEF′,∠DFE=∠DFC等。 ①由上面的分析可以得到,若AE=2,CF=3,则EF=5,题目结论错误。②如下图所示,可以发现这里面有较多的45°角,那么就可以得到∠DMN=∠CFN,进而得到∠DFE=∠CFN=∠DMN,那么就可以得到∠EFN+∠EMN=180°,也就说说点E、F、N、M四点共圆。
③本结论也是比较常见的问题,其实是由等腰直角三角形的半角模型得到的。也就是可以得到AM²+CN²=MN²,证明方法也是用旋转等。如下图所示:
如上图,将△ADM绕点D逆时针旋转90°至△CDM′,进而证明△DMN≌△DM′N(SAS),再得到MN=M′N,AM=CM′,△CM′N为直角三角形,所以就可以得到结论了。 根据勾股定理,若AM=2,CN=3,则MN=√13,与结论矛盾,故错误。 ④本结论可以在③的基础上面进行判断。若MN/AM=2,那么可以得到△CM′N为含30°角的三角形,可以得到∠CNM′=30°,进而得到∠DNM=∠DNM′=75°,那么就可以得到∠DEF=∠DEA=75°,进而得到∠BEF=30°,此时若BE=3,则根据三角函数等,可以得到BF=√3,那么EF=2√3。与结论矛盾。 综上所述,可以得到正确的结论只有②一个。 正方形含半角模型,常常考虑用旋转等方式做辅助线。此类问题是比较常规典型的问题,也是老套路了。
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