求三角形边的范围一例

解法一，将等式两边都乘以2，后用正弦定理找到角B=2A，利用正弦定理以及三倍角公式将c表示为cosA的函数，求解

解法二：目标为c，利用已知等式得到三边的关系，利用锐角三角形得到边的不等式，求解

第一节问题解决与数学思维

问题解决是当今数学教育中的一个热门话题。从世界范围来看,是继“新数运动”和“回到基础”之后掀起的新一轮数学教育改革课题。无论美国、西欧(英国、荷兰等)或中国、日本,从发布的文件、提出的口号或理论、编写的教材或问题集来看,共同的一点是要提高学生的数学思维水平和培养学生解决问题的创造能力。

我们无须列举那些表面看来互不相同的理论和观点,而应抓住问题的实质来讨论。实际上,问题解决自古以来早就有之。我国秦汉时代的古算名著《九章算术》(约公元1世纪)就是当时246个典型数学问题解决的一本汇集。希尔伯特总结概括的23个世界性的数学问题(1900年),则是现代数学发展的重要基石。波利亚的《怎样解题》(1944年)、《数学与猜想》( 1954年)与《数学的发现》(1961年)等著作更是贴近于数学教育的实际，在问题解决新潮流出现之前就已产生深刻的影响。现代的“问题解决”之所以重新提出且摆在学校教育的重要位置，只是由于其针对了现代教育中存在的弊端以及社会经济发展要培养高层次创造型人才的需要.

综观各家论著的要点,所谓数学问题主要是指对于解题者具有接受性﹑障碍性和探究性的那些情形或问题。具体地说,不管按照什么标准来分类,这样一些提法大体上都属于数学问题的范畴，即情景题、开放题、非常规题或非标准型题、探索性题或探究题、应用题、现实数学问题以及综合性、构造性、模拟性题等。

从国内中学数学教材编排来看,目前只是区分了“练习”和“习题”。“练习”是为基一节课所学内容而安排的课内双基(基本知识、基本技能)巩固训练题;而“习题”是在章内容之后安排的各种类型的训练题,包括一些综合题,主要供学生课外作业之用。尽管这里蕴含着培养数学能力的要求,但是教学大纲也并没有对练习与习题作性质上的界定,而只是从教法上指导它们的使用。若是对照上面“真正的”数学问题的涵义,则只有少数习题能够符合要求。国外的中学数学教材的情况就有差异,据笔者在国外四年中学数学教学的体会,像法国的中学数学课本(Math nouvelle collectionDurrande , Programme 71 , Technique et Vulgarisation ,1979)在国际上“问题解决”浪潮之前,就已区分为“练习“(Exercises)与“问题”(Problems)。其中“练习”相当于国内教材的“习题”,而“问题”则是综合题与应用题,与目前国际上称为“问题解决”(Problem Solving)中的问题的意义相近。虽然习题与问题之间没有一个明显的界线,但是为了突出数学问题的数学思维的探究性与发现性和现实的应用性,在我国今后的数学教材中适当区分习题与问题，还是具有重要的教学参考的指导意义的。

那么,问题与习题的主要区别是什么?或者说一个好问题的特征是什么?笔者认为,针对具体的学生而言,有下列特征中的一个或几个的数学问题就可以称为好的数学问题。

(1)提供数学的问题情境。例如，“怎样用一条直线去分割一个任意三角形,使两部分的周长和面积都相等?”熟悉几何知识的教师知道,这就是三角形的等截线问题,最终可以通过代数分析进行作图,并且这样的直线必定通过三角形的内心。然而对学生而言,他可以通过联想三角形的中线能平分三角形面积,逐渐地朝着平分周长的方向推进,再思考能否把问题转化为代数方程来解决，形成一种数学思维探究的情境来进行思考和分析问题,从中学习到数学的一些思想和方法。

(2)应用问题需要进行算法的设计或数学模型的选择与构造。并非所有应用题都能符合这个要求,目前一些参考书中有些问题属于虚拟,没有真实的生产、生活或科技活动的背景。另有一些问题则已过于陈旧和老套,不能给予学生有现实问题的新鲜感，也不需要多少数学思维的技巧。好的应用问题要新鲜而实际,能够体现当代社会的经济、生活与时代感。例如有奖销售﹑股市走势、住房贷款、产品设计等。这方面已有一本很好的著作出版,即《生活的数学》。该书图文并茂,问题源于当代现实生活,所用数学知识适合中学生水平。因此是否包含算法设计与数学建模的数学思维创造成分是评判应用问题是否属于好问题的重要特征。当然一些古典的、传统的、趣味的、典型的数学应用问题仍应予以充分重视,它们之中蕴含的数学思维训练价值已经经过时代的考验与筛选。

(3)问题的解决需要相当的数学思维技巧或者具有多种不同解法。例如,魏琴伯克(Weitjenbock)不等式的证明等就是典型的例子。目前在国内的数学习题中有不少属于此类,需要从数学思想方法高度去加以整理和运用。

(4)问题本身有着广泛的数学自身的运用或者问题可以进行引申与推广。例如,本书最后一章中列举的问题链中的基本问题，几何中的托勒密定理、蝴蝶定理,代数中的最值问题,解析几何中的轨迹问题,等等。在这种意义下,经过精选的数学基本问题(含有较多的数学概念、关系、思想、方法或技巧等的数学信息块或知识组块)均在数学问题之列。

(5)程度适当的开放型数学问题。泛指条件缺少或多余,答案不惟一或不固定的研究题。例如,对于某些统计数据或图表作出不同角度的分析,或者通过观察、实验、调查访问而发现的数学问题等。目前在国内教材或教学参考书中属于这类的具体问题数量还很少。

(6)非常规数学题。这是指问题的形式或内容对解题者是陌生的,并且不能直接套用现成的方法,程序或算法就能解决的纯数学问题或数学应用问题。数学竞赛中有很多这类问题。

上述六种类型的数学问题既包括非常规数学题,也包括一部分常规数学题及综合题。这样一种较广义的理解对于数学教育中的习题处理会有良好的引导作用。我们需要保留数学习题演练的积极作用(数量上要精选和控制),也要强调引入或编拟更多的真正的数学问题到数学教学中来,使数学观念、思想、方法的形成,数学思维能力的提高,特别是数学创造性思维品质和数学素质的培养能够取得切实的效果。在实际操作中,既要充分注意必要的知识获取和适当的技能训练,又要把主导思想转到问题解决和培养创造能力的核心上来。使习题和问题在内容上有删有增﹑融为一体,思想认识上深化提升,教学要求上逐步提高。这样就能使原有的许多常规问题与习题也能够挖掘出其问题解决式的潜在价值，而新增的问题则更能充分发挥其含有的开发智力的良好作用。换言之,就是用问题解决的思想去精选和改造习题,补充和编拟问题,改进教学方法,引导学生数学地思维,创造性地解决问题。