中物理学易同步精品课堂专题04将军饮马模型单击此处添加文本具体内容THANKS一、方法突破：
（一）什么是将军饮马？
【问题引入】
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题分析】
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】
作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
【思路概述】
作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
（二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小
2.【两定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
3.【一定两动之点线】
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
最值系列之——将军饮马（二）
【将军过桥】
已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】
【将军过两个桥】
已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．
AP平移至A’Q，NB平移至MB’，化AP+QM+NB为A’Q+QM+MB’．
当A’、Q、M、B’共线时，A’Q+QM+MB’取到最小值，再依次确定P、N位置．
【将军遛马】
如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？
【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？
【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．
构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．
二、典例精析
例一：（2021?湘西州）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）设的解析式为，把，两点坐标代入，转化为方程组解决．
（3）可以连接交直线于点，连接，此时的值最小，最小值为线段的长．
解：（1）把，代入，得到，
解得，
；
（2）在中，令，则，
，
设的解析式为，
，，
，
，
直线的解析式为．
（3）如图1中，
由题意，关于抛物线的对称轴直线对称，
连接交直线于点，连接，此时的值最小，最小值为线段的长，
此时，．
例二：（2021?通辽）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，动点在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以，，为顶点的三角形周长最小时，求点的坐标及的周长；
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）因为为定值，所以当最小时，的周长最小，如图1，连接交对称轴于点，由轴对称性质可知，此点即为所求，再利用勾股定理求出、，即可得出答案；
解：（1）抛物线交轴于，两点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）在中，令，得，
，
的周长为：，是定值，
当最小时，的周长最小．
如图1，点、关于对称轴对称，连接交于点，则点为所求的点．
，
周长的最小值是：．
，，，
，．
周长的最小值是：．
抛物线对称轴为直线，
设直线的解析式为，将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
；
例三：如图，抛物线经过点，．
（1）求抛物线与轴的另一个交点的坐标；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
【分析】（1）根据函数的对称性即可求解；
（2）、两点关于对称轴对称，连接交对称轴于点，则点即为所求，进而求解；
【解答】解：（1）由抛物线表达式知，函数的对称轴为，
而点，
根据点的对称性，则，
故点的坐标为；
（2）存在，理由：
抛物线经过点，，
、关于对称轴对称，如图1，连接，
与对称轴的交点即为所求的点，此时，
四边形的周长最小值为：，
，，，
设直线解析式为，把、两点坐标代入可得，解得，
直线的解析式为，
由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为，
当时，，
故点的坐标为，；
三、中考真题对决
1．（2021?烟台）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．直线经过，两点．
（1）求抛物线及直线的函数表达式；
（2）点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点、关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当的值最小，进而求解；
解：（1）由点的坐标知，，
，故点的坐标为，
将点、、的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为；
将点、的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故直线的表达式为；
（2）点、关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当的值最小，
理由：由函数的对称性知，，
则为最小，
当时，，故点，
由点、的坐标知，，
则，
即点的坐标为、的最小值为；
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若为抛物线对称轴上一动点，当在什么位置时最小，求出点的坐标，并求出此时的周长．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，连接，则此时的周长最小，进而求解．
【解答】解：（1），在上，
则，解得，
二次函数的解析式为；
（2）点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，连接，则此时的周长最小，
理由：的周长为最小，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
当时，，即点，
则的周长最小值．
3.如图，抛物线的图象过点、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；
【分析】（1）由于条件给出抛物线与轴的交点、，故可设交点式，把点代入即求得的值，减小计算量．
（2）由于点、关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当、、在同一直线上时，最小．利用点、、的坐标求、的长，求直线解析式，把代入即求得点纵坐标．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点、可设交点式
把点代入得：
抛物线解析式为
（2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小．
如图1，连接、
点在抛物线对称轴直线上，点、关于对称轴对称
当、、在同一直线上时，最小
、、
，
最小
设直线解析式为
把点代入得：，解得：
直线
点使的周长最小，最小值为
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