小知识 意大利著名画家达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中， 人物的脸的宽度与高度的比就是一个 黄金分割比． 习题3.1 1.求下列各式中x的值.
（1） 5∶7 =15∶ x ； （2） 144∶5 = x ∶25； （3） 52∶x = 26∶8 ； （4） x ∶13
= 65∶78. 答： (1) x =21; (2) x = 720; (3) x =16; (4) x =
. 2.已知a ，ｂ，ｃ，ｄ是比例线段. （1） 若a=2 ，b=3 ，c=4 ，求d； （2） 若a=1.5 ，c=2.5 ，
d=4.5 ，求b； （3） 若a=1.1 ，b=2.2 ，d=4.4 ，求c ． 答： (1) d =6 或 或
； 答： (2) b = 7.5或2.7 或 ； 答： (3) c =8.8 或2.2 或 0.55 . 3、甲、
乙两地的实际距离为680km， 在某地图上量得这两地的距离为17cm， 求该地图的比例尺. 答：因为680km=68000000c
m， 所以该地图的比例尺=68000000:17=4000000:1. 4、如图，节目主持人在主持节目时，站在舞台的
黄金分割点处最自然得体. 若舞台AB长为20m，则主持人站在离A点多远处最自然得体？（结果精确到0.1m） 解：设AB的黄金分割点
为C，则AC ≈0.618AB或BC ≈ 0.618AB, 解得AC ≈12.5m或AC ≈ 7.6m . 答：所以主持人
站在离A点12.5m或7.6m远处最自然得体. 小结与复习 1、请问同学们这节课你学习了关于线段的什么知识？ 线段之间的一种
数量关系：四条线段成比例. 并且感受到成比例线段围成的图形在形状上也有美妙的关系！ 认识了一个最特别的数
，比值是它的线段围成的图形最美丽. 小结与复习 2、请问同学们以前学过的哪些图形中有成比例线段？ 平行四边形、矩形、正方形、
菱形中的四条线段分别都是成比例线段. 3、请问同学们你有哪些方法画比例线段？ （2）可以画平行四边形、矩形、正方形或菱形. （1）
可以先确定比例线段的长度再画线段； 返回 结 束 单位：北京市166中学 姓名：王秀莲 则点P 为所求作的线段AB
的黄金分割点. 则点P 为所求作的线段AB 的黄金分割点. 则点P 为所求作的线段AB 的黄金分割点. 图形的相似 本章内容 第
3章 比例线段 本课内容 本节内容 3.1 子目内容 3.1.2 成比例线段 我们知
道线段既有形状又有大小，这节课我们主要研究线段之间的数量关系，并由数量关系带给我们对图形形状的思考！ 动脑筋 引入 做一做 如图3
-1， 在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC 和△A′B′C′， 它们的顶点都在格点上. 试求出线段AB，BC，AC， A
′B′， B′C′， A′C′的长度， 并计算AB与A′B′， BC与B′C′， AC 与A′C′的长度的比值. 说一说 问题1：
(1) 请问图3-1中，AB与A′B′， BC与B′C′，AC 与A′C′三对线段的长度的比值有什么关系？ (2)再观察图3-1
中的△ABC 和△A′B′C′，说一说它们的形状有什么关系？ 定义1：一般地， 如果选用同一长度单位量得两条线段AB， A′B′
的长度分别为ｍ，ｎ， 那么把它们的长度的比 叫作 这两条线段AB与A′B′的比（ｒａｔｉｏ）， 记作
或 AB ∶ A′B′＝ m ∶ n ； 如果 的比值为ｋ，那么上述式子也可写成 或 AB
＝ ｋ·A′B′ . 结论 动脑筋 问题2：图3-1中的 △ABC 和△A′B′C′中AB、BC、A′B′ 、B′C′这四条线
段有什么样的数量关系 ？ △ABC 和△A′B′C′中还有其它的四条线段也具有同样的数量关系吗？ 结论 定义2：在四条线段中，
如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 那么这四条线段叫作成比例线段， 简称为比例线段（ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｓｅｇｍｅｎ
ｔｓ）. 举 例 例3 (1)已知线段a，b，c，d 的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm， 3cm，问a，b，c，d是比例
线段吗？ 解 (一) ∵ ∴ ， 即a， b， c
， d 是比例线段. 解(二) ∵ ∴
， 即a， b， c， d 是比例线段. 举 例 例3 (2)已知线段a，b，c，d是比例线段，其中a，b，c的长度分别为0.
8cm，2cm，1.2cm，求d. 解 ∵线段a，b，c，d是比例线段， ∴ 或
或 ； 当 时，代入已知数，解得 d=3cm； 当 时，
代入已知数，解得， d=0.48cm； 当 时，代入已知数，解得， d= cm.
动脑筋 问题3：你能画出成比例线段吗？ 思路(1). 由例3的启发，画长度分别是1cm、2cm、3cm、6cm的四条线段,这样
的四条线段是成比例线段； 当然长度分别为1cm、2cm、2cm、4cm的四条线段是成比例线段。 思路(2). 如图， 平行四边形A
BCD中的 四条线段是成比例线段 解 ∵ 平行四边形ABCD， ∴ AB=CD，BC=AD；
∴ 或 ；
∴ AB、BC、CD、DA四条线段是成比例线段. 当然矩形、正方形、菱形中的四条线段也分别都是成比例线段. 动脑
筋 问题4 ：古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（约400—约前347）曾经提出一个问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较
短线段CB 与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比？ 即， 使得 成立？ 小知识 解决方法：先把问题特殊化， 设线段AB的
长度为１个单位， 点C为线段AB上一点，且AC的长度为x个单位，则CB的长度为（１－ x ）个单位． 由等式 ，得 解得
（舍去）. 因此 小知识 小结：借助方程的知识，我们知道在一个单位长度的线段
上存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比， 而且比值等于
. 问题5：对于任意长度的线段是否存在一点将其分成不
相等的 两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比吗？ 动脑筋 如果能的话，这个比值会是
吗？ 解决方法：参考特殊方法，把特殊值1变成任意值a。
动脑筋 设线段AB 的长度为a 个单位，点C为线段AB 上一点，且AC的长度为x个单位，则CB的长度为（a－x ）个单位． 由等
式 ，得 因此， .
解得 （舍去）. 小知识 小结：借助方程的知识，我们知
道在任意长度的线段上也存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比， 而且比值也等于
结论 定义3：如果能将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比，那么称线段AB
被点Ｃ黄金分割（ｇｏｌｄｅｎ ｓｅｃｔｉｏｎ），点Ｃ叫作线段AB的黄金分割点， 较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比． 问
题6：我们知道任意线段都有黄金分割点，那如何找到它呢？ 动脑筋 对于一条给定的线段AB，找出它的黄金分割点的作法如下： （1）过
点B作AB的垂线，并在垂线上取BC= AB； （2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E； （3）以点A为圆心
，AE为半径画弧，交AB 于点P. 则点P为所求作的线段AB的黄金分割点. 欣赏：我们知道黄金分割比是个确定数 ，这个数可是 享誉全世界的，因为比值是它的线段 围成的图形是最美丽的图形. 小知识 小知识 古希腊的巴台农神庙正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比. 小知识 印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比. 则点P 为所求作的线段AB 的黄金分割点. 则点P 为所求作的线段AB 的黄金分割点. 则点P 为所求作的线段AB 的黄金分割点. |
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