第三章 Banach 空间
§3 .1 赋范线性空间
§3.1.1 基本概念及其性质
定义 3.1.1 设 X 是 数域 K 上的 一个 线性空间，若对 任意 xX? ， 总有一个确定的 实数
||||x 与之对应 ， 且对任意 ,xy X? 及 K?? ， || ||: X??? 满足 如下三个条件 ：
（ 1） 非负性 || || 0x? ， || || 0x? 当且仅当 x?0 ，
（ 2） 正齐次性 || || | | || ||xx????，
（ 3）次可加性 || || || || || ||x y x y? ? ?，
则称 ||||x 为 x 的 范数 ， 称 X 为以 | |? 为范数的 赋范线性空间 .
对于赋范线性空间 X ，我们可以用公式
( , ) || ||x y x y? ??
来 定义 X 中任意 元素 x 与 y 之间的 度量 ， 容易 验证 ， ( , )xy? 确实 满足 度量的三条公理 ， 因
而 ( , )X? 是一个度量空间 ，一般称为 由范数 | |? 导出 的度量空间 . 从而针对度量空间给出的
概念以及由此得到的性质在赋范线性空间 X 中均有意义 .
设 {}nx 是赋范线性空间 X 中的点列， xX? ，如果
( , ) || || 0 ( )nnx x x x n? ? ? ? ? ?，
则称 {}nx 依范数收敛 于 xX? ， 仍 记为 lim
nn xx?? ?
或简记为 ()nx x n? ??.
完备的赋范线性空间称为 Banach 空间 .
例 3.1 下列线性空间在给定的范数下都是赋范线性空间 ，而且是 Banach 空间 .
（ 1） n 维 欧氏空间 n? ， 1/ 22
1|| || | |
n
iix ????? ?????
， 12( , , , ) nnx ? ? ???? ?；
第三章 Banach 空间
86 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
（ 2） 连续函数空间 [ , ]Cab , || || max | ( ) |
a t bx x t???
， [ , ]x Cab? ；
（ 3） [ , ]pL ab (1 )p? ??? 空间 , ? ?1/|| || | ( ) | pb p
ax x t dt? ?
， [ , ]px L ab? ；
（ 4） pl (1 )p? ??? 空间 , 1/
1|| || | |
pp
iix ?
?
?
??? ????? ， 12( , , , , ) pnxl? ? ?????；
（ 5） [ , ]L ab? 空间 ,
0 [ , ]\|| || in f su p | ( ) |mE a b Ex x t??
， [ , ]x L ab?? ；
（ 6） l? 空间 , || || sup| |
iix ??
， 12( , , , , )nxl? ? ? ?????.
不难验证， 上面 定义的范数 均 满足范数的三条公理，且 这些范数导出的 度量 与 第二 章中
给出 的度量 是 一致 的 ，因而 上述赋范线性空间都 是 Banach 空间 .
注 对于同一线性空间可以用不同的方式引进范数，例如 ,在 n? 中也可以用
1 1|| || | |
n
iix ????
或
1|| || max | |iinx ?? ???
来 定义范数 ， 其中 12( , , , ) nnx ? ? ???? ?.
例 3.2 只有 有限项非零的所有实数列 构成 的集合 L 是 实 数列空间 S 的 一个 子空间， 因
此 也是线性空间，在 L 中定义范数为 || || max | |
iixx?
， 则 L 是赋范线性空间 ， 但不是 Banach
空间 .
证 不难验证 L 是赋范线性空间 . 考察 L 中的点列 {}nx ，其中
111(1, , , , 0 , )22n nx ?? ??
， 1,2,n? ? .
显然 {}nx 是 L 中的 Cauchy 列，但它不收敛于 L 中的 任何 点 .
在线性空间 X 中引入度量，使之成为度量空间 ( , )X? ，称为 线性度量空间 . 如果 X 的
度量 ? 是由某个范数导出的，则 称 X 为 可赋范 的 . 从例 3.1 看到，我们常用的度量空间都是
可赋范的 . 但并不是每个度量空间都是可赋范的 .
例 3.3 在 n 维向量 空间 12{ ( , , , ) | , 1 , 2 , , }n niK K i n? ? ? ?? ? ???上定义度量
1
||( , ) 1 | |n ii
i iixy
??? ??
?
?? ??? ， 12( , , , )nx ? ? ?? ? , 12( , , , )ny ? ? ?? ? nK? ，
§ 3.1 赋范线性空间
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 87
注意到 () 1tft t? ? 是单调递增函数，我们 不难验证 ( , )nK ? 是度量空间 ，进一步，我们还
可以证明 ( , )nK ? 是完备的 . 但 ( , )nK ? 是不可赋范的，因为可赋范的度量空间必须满足下
列定理的条件 .
定理 3.1.1 设 ( , )X? 是线性度量空间， 则 ( , )X? 是可赋范的充分必要条件是： 对任意
,xy X? ， K?? ， 有
（ 1） ( , ) ( , )x y x y???? 0，
（ 2） ( , ) | | ( , )xx? ? ? ??00.
证 充分性 . 在线性度量空间 X 上定义范数 || || ( , )xx?? 0 ，则非负性显然成立，由 条件
（ 2）知正齐次性也成立，对任意 ,xy X? ， 由度量三角不等式和 条件 （ 1），我们 有
|| || ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) || || || ||x y x y x x y x x y x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 0，
这表明 次可加性成立 .
由条件（ 1）可知，对任意 ,xy X? ，上述范数导出的度量
''( , ) || || ( , ) ( , )x y x y x y x y? ? ?? ? ? ? ?0，
故线性度量空间 X 是可赋范的 .
必要性 . 设 ( , )X? 是可赋范的，即存在 X 的范数 | |? ，则对任意 ,xy X? ，有
( , ) || || || || ( , )x y x y x y x y??? ? ? ? ? ? ?00，
对任意 xX? ， K?? ，有
( , ) || || | | || || | | ( , )x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ?00，
故必要性得证 .
定理 3.1.2 设 ( ,|| ||)X ? 是赋范线性空间，则有
（ 1）范数 ||||x 是 x 的连续泛函；
（ 2） 依范数 收敛点列必定范数有界的，即对任意点列 ()nx x n? ??，存在 0M? ，
使得 || ||nxM? ， 1,2,n? ? ；
第三章 Banach 空间
88 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
（ 3）线性运算是连续的，即当 lim
nn xx?? ?
， lim
nn yy?? ?
且 lim
nn ???? ?
时，有
lim ( )nnn x y x y?? ? ? ?， lim nnn xx???? ? .
证 （ 1） 由于 || || || || || ||x y x y? ? ?对任意 ,xy X? 成立，故对任意 0?? ，取 ??? ，
则当 || ||xy???，就有 || || || ||xy???，这表明 ||||x 是 x 的连续泛函 .
（ 2）设 {}nxX? ， xX? 且满足 lim
nn xx?? ?
. 由极限的定义知，对 0 1?? ，存在自然
数 0N ，当 0nN? 时，就有 0|| || 1nxx?? ? ?. 取
012m a x { || ||, || ||, , || ||, 1 }NM x x x x x x? ? ? ??
，
则由范数的次可加性，有
|| || || || || || || ||nnx x x x M x? ? ? ? ?， 1,2,n? ? ，
这表明数列 {|| ||}nx 有界 .
（ 3）设 { },{ }nnx y X? ， ,xy X? 且满足 lim
nn xx?? ?
， lim
nn yy?? ?
，则有
| | | | | | | | | | | | 0 ( )n n n nx y x y x x y y n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
这表明向量的加法运算是连续的 .
设 {}nxX? ， xX? 且满足 lim
nn xx?? ?
，又设 {}n K? ? ， K?? 且满足 lim
nn ???? ?
，
则
|| || || ( ) || || ( ) ||n n n n nx x x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ?
| | | | | | | | | | | | 0 ( )n n nx x x n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?，
这表明向量与数的乘法运算是连续的 .
定义 3.1.2 设 X 是 一个 线性空间， 1| |? 与 2| |? 是 X 上 定义 的两个范数 ， 如果 对 任意 点
列 {}nxX? ，
1|| || 0( )nxn? ? ?? 2|| || 0( )nxn? ? ?，
则称 1| |? 强于 2| |? .
如果 1| |? 强于 2| |? ，同时 2| |? 也强于 1| |? ，则称 1| |? 与 2| |? 等价 .
§ 3.1 赋范线性空间
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 89
定理 3.1.3 设 X 是一个线性空间， 1| |? 与 2| |? 是 X 上定义的两个范数， 则
（ 1） 1| |? 强于 2| |? 的充分必要条件是： 存在 0?? ， 使得
21|| || || ||xx??
对 任意 xX? 成立 .
（ 2） 1| |? 与 2| |? 等价的充分必要条件是：存在 12,0??? ，使 得不等式
1 1 2 2 1|| || || || || ||x x x????
对任意 xX? 成立 .
证 （ 1） 充分性 显然 .
必要性 . 若 充分条件 不成立，则对任何自然数 n ，存在 nxX? ， 使得 21|| || || ||nnx n x? ，
令
2|| ||
nn
n
xy x? ， 1,2,n? ? ，则
11
2
|| || 1|| || 0( )|| ||nn
n
xynxn? ? ? ? ?，
但
22
2
|| |||| || 1 0( )|| ||nn
n
xynx? ? ? ? ??，
矛盾，矛盾表明充分条件成立 .
（ 2）由（ 1）立刻得到 .
例 3.4 在 [ , ]Cab 中定义两种范数 分别 为
1|| || max | ( ) |a t bx x t???
， ? ?1 / 22
2|| || | ( ) |bax x t dt? ?
，
则 1| |? 强于 2| |? ，但两个范数不等价 .
证 由于 [ , ]Cab 中的点列 {}nx 依范数 1| |? 收敛于 0 相当于连续函数列 { ()}nxt 一致收敛
于 () 0xt? ，故由定理 1.3.9 知，点列 {}nx 依范数 2| |? 收敛于 0 ，从而 1| |? 强于 2| |? .
反之，取函数列 { ( )} [ , ]nx t C a b? ， 其中 ()() n
n ntaxt ba?? ?
， 1,2,n? ? ，则有
第三章 Banach 空间
90 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
1 / 22
2 ()|| || | | 0 ( )( ) 2 1
nb
na
t a b ax d t nb a n????? ? ? ? ?????
???
，
但连续函数列 { ()}nxt 逐点收敛到不连续函数
0, [ , )() 1, t a bxt tb??? ? ?? ，
故 { ()}nxt 不会一致收敛到 () 0xt? ，从而 1| |? 与 2| |? 不等价 .
§3.1.2 有限维赋范线性空间
当线性空间为有限维时 ， 这类赋范线性空间具有许多良好性质 .
设 X 是 n 维实线性空间， 12, , , ne e e? 是 X 的一组基， 则 X 中每个元素 x 都可以 惟一
地 表示成基 12, , , ne e e? 的线性组合，即 存在 12, , , nk k k ?? ?，使得
1 1 2 2 nnx k e k e k e? ? ? ??，
其中 数 12, , , nk k k? 称为 x 关于基 12, , , ne e e? 的坐标， ik 称为 x 的第 i 个坐标 ， 1,2, ,in? ? .
如果把 X 中 的元素 x 关于基 12, , , ne e e? 的坐标 记为 12( , , , )nk k k? ，则 它是 实 线性空间
n? 中的元素， 定义映射
: nTX?? ， 12( , , , )nTx k k k? ? ， xX? ，
显然是 X 到 n? 上的同构映射， 从而 X 与 n? 同构 . 由此可知，任意两个 n 维 实 线性空间都
是同构的 . 不仅如此， X 与 n? 还有更进一步关系 .
引理 3.1.4 设 X 是一个 n 维实赋范线性空间 ， 12, , , ne e e? 是 X 的一组基， 则存在
0Mm??，使得不等式
1 / 2 1 / 222
11| | || || | |
nn
iiiik m x k M??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???
（ 3.1.1）
对一切
1
n
iiix k e X????
成立 .
证 定义函数
§ 3.1 赋范线性空间
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 91
: nf ???， 12
1( , , , ) || || || ||
n
n i iif k k k x k e??? ??
.
由赫尔德不等式 可知
1 2 1 2 1| ( , , , ) ( , , , ) | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
n
n n i i iif k k k f l l l x y x y k l e?? ? ? ? ? ? ? ????
1 / 2 1 / 222
11|| || | |
nn
i i iiie k l??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???
（ 3.1.2）
对任意
1
n
iiix k e X????
,
1
n
iiiy le X????
成立，因此， f 是 n? 到 ? 上的连续函数 .
取 n? 单位球面
212
1{ ( , , , ) | | | 1 }
nn
niiS k k k k?? ? ??? ?
，
则 S 是 n? 中的 紧集 且不含零元素 ， 故 f 在 S 上 能达到最小值 m 和最大值 M ， 即有
0 || ||m x M? ? ? ， xS? .
任给
1
n
iiix k e X?? ? ??0
， 由于基是线性无关的，故 2
1 | | 0
n
iiLk????
. 令
1/ 2 1/ 21''
n i
ii kxxeLL????
，
由于 12
1 / 2 1 / 2 1 / 2( , , , )nkkk SL L L ??
，故 || ''||m x M??，由此得到不等式 (3.1.1)； 当 x?0 时，不
等式 （ 3.1.1） 显然成立 .
定理 3.1.5 设 X 是 n 维实线性空间， 1| |? 与 2| |? 是 X 上定义的两个范数，则 1| |? 与
2| |? 等价 .
证 由引理 3.1.4 立刻得到 .
定义 3.1.3 设 ,XY都是赋范线性空间 ， 如果 :T X Y? 既是同构映射又是同胚映射，
则 称 T 为 拓扑同构映射 ， 称 X 与 Y 是 拓扑同构 的 .
定理 3.1.6 任意 n 维实赋范线性空间 X 必与 n? 拓扑同构 .
第三章 Banach 空间
92 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
证 任取 X 中 一组 基 12, , , ne e e? ， 前面已经提到，对任意
1
n
iiix k e X????
，映射
: nTX?? ， 12( , , , )nTx k k k? ?
是 X 到 n? 上的同构映射 . 而由引理 3.1.4 知， T 是 同胚映射 .
推论 3.1.7 任意 n 维实赋范线性空间 X 必是 Banach 空间 . 因此，任意赋范线性空间的
有限维子空间一定是闭子空间 .
由定理 3.1.6 知 ，任意一个 n 维实赋范线性空间与 n? 的代数结构和分析性质 是 一致 的 .
因此在只讨论有限维实赋范线性空间的代数性质与分析性质时，只需研究 n? 的 代数和分析
性质即可 .
下面将给出判断 一个 实赋范线性空间 是有限维 的 充分必要 条件，首先引入 Riesz 引理，
它是泛函分析中的一条重要定理 .
引理 3.1.8 （ Riesz 引理） 设 M 是赋范线性空间 X 的真闭子空间， 则对 任意 (0,1)?? ,
必 存在 X 中 的点 0x ， 使得 0|| || 1x ? ， 且
00( , ) inf || ||yMx M x y???? ? ?
.
证 由于 MX? 是闭集，故存在 1 \x X M? ，且 1( , ) 0x M d? ??. 而 由 (0,1)?? 知
d d?? . 因此， 由 下 确界 的定义 ，必有 1yM? ， 使得 11|| || dxy???，取 110
11|| ||
xyx xy?? ? ，
则 0|| || 1x ? ，且对任意 yM? ， 由于 1 1 1|| ||y x y y M? ? ?， 我们有
0 1 1 1 11 1 1 11| | | | | | | | | | | || | | | | | | |dx y x y x y yx y x y ?? ? ? ? ? ? ???
.
定理 3.1.9 实赋范线性空间 X 是有限维的 充分必要 条件是 X 的任 一 有界子集 都 是列紧
集 .
证 必要性 . 设 X 是有限维实赋范线性空间，并设维数为 n ， 由于 X 与 n? 拓扑同构 ，
而 n? 中任意有界集 都 是列紧集，故 X 中任意一个有界集也是列紧的 .
充分性 . 设 X 是无限维的，令 S 是 X 的单位球面 ，即
§ 3.2 有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 93
{ | || || 1}S x X x? ? ?，
则 S 是 X 中的有界集 . 任给 (0,1)?? ， 任取 1xS? ，记 11span{ }Xx? ，由定理 3.1.6 知， 1X
是 X 的真 闭 子空间， 由 Riesz引理 知，存在 2xS? ,使得 21|| ||xx???,记 2 1 2span{ , }X x x? ，
则 2X 也是 X 的真闭子空间，再 由 Riesz 引理 知 ， 存在 3xS? ,使得 31|| ||xx???,
32|| ||xx???，记 3 1 2 3span{ , , }X x x x? ， …… ， 如此一直进行下去 ，可 得到 S 中 的无穷点
列 {}nx , 满足 || ||klxx???()kl? ， , 1,2,kl? ? ，因此， {}nx 中不存在收敛子列， 这意味
着 S 不是列紧集 .
§3.2 有界线性算子
§3.2.1 基本概念及其性质
定义 3.2.1 设 X 与 Y 是两个赋范线性空间 ， :T X Y? ， 我们称映射 T 为 算子 . 如果
对任意 ,xy X? 及 K?? ， 算子 T 满足：
（ 1） ()T x y Tx Ty? ? ?，
（ 2） ()T x Tx??? ，
则 称 T 为 线性算子 . 特别地，如果 T 是由 X 到实数（复数）域 K 的映射， 则 称算子 T 为 泛
函 .
例 3.5 设 X 是赋范线性空间， K?? ，映射 :T x x?? 是 X 上的线性算子，称为 相
似算子 ， 当 1?? 时， 称为 恒等算子 ，记为 I .
例 3.6 在连续函数空间 [ , ]Cab 上，定义 ( ) ( )t
aTx t x s ds??
，易见 T 是 由 [ , ]Cab 到
[ , ]Cab 的线性算子 . 若 在连续函数空间 [ , ]Cab 上， 令 ( ) ( )baf x x t dt?? ， 则 f 是 [ , ]Cab 上
的线性泛函 .
定义 3.2.2 设 X 与 Y 是两个赋范线性空间 ， :T X Y? 是线性算子， 如果 T 将 X 中的
任意有界集都映成 Y 中有界集，则称 T 是 有界的 .
第三章 Banach 空间
94 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
定理 3.2.1 设 X 与 Y 是两个 赋范线性空间， :T X Y? 是线性算子， 则 T 有界的充分
必要条件是：存在常数 0M? ， 使得 不等式 || || || ||Tx M x? 对任意 xX? 成立 .
证 必要性 . 由于 T 有界， 故 T 将 X 中的 单位 闭球 { | || || 1}B x X x? ? ?映成 Y 中的有
界集，记 sup || ||
xBM Tx??
，则 对任意 xX? ，当 x?0 时， 有
|| |||| || || ||T x xTMxx????????，
即 || || || ||Tx M x? ； 当 x?0 时，不等式 || || || ||Tx M x? 变成等式 ， 故 必要性得证 .
充分性 . 设 A 是 X 的任一有界集， 即 存在常数 0L? ，使得 || ||xL? 对任意 xA? 成立，
故 由 充分条件 知 ， || || || ||Tx M x ML??对任意 xA? 成立，这表明 ()TA有界 .
定理 3.2.2 设 X 与 Y 是两个赋范线性空间， :T X Y? 是线性算子，则下列各命题等
价 .
（ 1） T 是有界算子；
（ 2） T 在某一点 0xX? 连续；
（ 3） T 在 X 上 连续 .
证 （ 1） ? （ 2）设 T 是有界算子， 对于 0xX? ，设 {}nxX? 且
0lim nn xx?? ?
，则由定
理 3.2.1，我们有
0 0 0l im || || l im || ( ) || l im || || 0n n nn n nT x T x T x x M x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
，
这表明 T 在 点 0xX? 连续 .
（ 2） ? （ 3） 设 T 在点 0xX? 连续， 设 , nxx X? ， 1,2,n? ? ，且 lim
nn xx?? ?
.由于
点列 0{}nx x x?? 收敛于 0xX? ， 故由 T 在点 0x 连续，我们有
0 0 0 0l i m || || l i m || ( ) || l i m || ( ) || 0n n nn n nT x T x T x x x x T x x x T x?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
，
这表明 T 在点 x 连续 . 由 xX? 的任意性知， T 在 X 上连续 .
（ 3） ? （ 1）设 T 在 X 连续 .如果 T 是无界的，则对每个自然数 n ，必存在 nxX? ，
§ 3.2 有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 95
使得 || || || ||nnTx n x? . 令
|| ||nn nxy nx?
， 1,2,n? ? ，显然 ()nyn? ??0 ，但
|| || || || 1 0nnT y T T y? ? ? ??0 ，
与 T 在 X 上连续 .矛盾，矛盾表明 T 有界 .
注 线性算子的连续性可由零元 0 的连续性来刻画 . 对于线性算子，连续性与有界性是
两个等价概念 .
例 3.7 如果 T 是 n 维赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 中的线性算子 ，则 T 在 X 上连
续 .
证 在 X 中取一组基 12, , , ne e e? ， 设
1
nmm
iiix k e X????
， 1,2,m? ? ，且有 lim m
m x?? ?0
，
由引理 3.1.4 知，这时 1 / 22
1 | | 0 ( )
n m
ii km??? ? ? ??????
. 令 1/ 22
1 || ||
n
iiM Te???? ?????
，则有
11| | | | | | ( ) | | | | | |
nnm m m
i i i iiiT x T T k e k T e??? ? ???0
1 / 2 1 / 2 1 / 22 2 2
1 1 1| | | | | | | | 0 ( )
n n nmm
i i ii i ik T e M k m? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
，
这表明 T 在 x?0 处连续， 从而 T 在 X 上连续 .
例 3.8 考察定义在 闭 区间 [0,1] 上的连续可微函数全体， 记为 1[0,1]C ，其中范数定义为
01|| || max | ( ) |tx x t???
， 容易验证 1[0,1]C 是赋范线性空间，且 微分算子
1: [0 ,1] [0 ,1]D C C? ， ( ) ''( )Dx t x t?
是 由 1[0,1]C 到 [0,1]C 的线性算子 .
取函数列 1{ sin( )} [0 ,1]n t C? ? ，显然， || sin( ) || 1nt? ? ， 1,2,n? ? ， 但
|| ( sin( ) ) || || c os( ) || ( )D n t n n t n? ? ?? ? ? ? ?，
这表明 微分算子 D 是无界的 .
注 在无穷维赋范线性空间上定义的线性算子有可能是无界的 . 在例 3.8 中，如果 在
1[0,1]C 上 定义范数
0 1 0 1|| || m a x | ( ) | m a x | ''( ) |ttx x t x t? ? ? ???
，则微分算子 D 就成为有界算子 .
第三章 Banach 空间
96 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
定理 3.2.3 设 X 是赋范线性空间 ， f 是 X 上的线性泛函，则有
（ 1） f 连续的充分必要条件是 f 的零空间 ker { | ( ) 0 }f x X f x? ? ?为 X 的闭子空间；
（ 2）非零线性泛函 f 是不连续的充分必要条件是 kerf 在 X 中稠密 .
证 （ 1） 必要性 . 设 f 是连续的 泛函 ，则对任意 满足 lim
nn xx?? ?
的点列 { } kernxf? ，
有 ( ) lim ( ) 0
nnf x f x????
，这表明 kerxf? ，故 kerf 是 X 的闭子空间 .
充分性 . 设 kerf 是闭集，如果 f 不是有界线性泛函，则对每个自然数 n ， 存在 nxX? ，
|| || 1nx ? ， 使得 | ( )|nf x n? . 令 11 ()()nn
n
fxy x xfx?? ，则 kernyf? ， 1,2,n? ? ， 且
111 1 1( ) ( )| | | | | | | | 0 ( )( ) ( )nn
nn
f x f xy x x x x nf x f x? ? ? ? ? ? ? ?，
故由 kerf 是闭集知， 1 kerxf? ，但这与 1x 的选择矛盾， 因此， f 是有界的 .
（ 2） 必要性 . 设 f 是 不 连续的 ， 由定理 3.1.2 知 ， f 在 x?0 点不连续 ， 从而 存在 0 0??
及点列 {}nxX? , 使得 lim
nn x?? ?0
，但 0| ( )|nfx ?? .
对 任意 xX? ，显然有 (){ } ke r
() nnfxx x ffx??
满足
( ) | ( ) || | | | | | | | 0( )( ) | ( ) |nn
nn
f x f xx x x x nf x f x? ? ? ? ? ?，
故 kerf 在 X 中稠密 .
充分性 .由 kerf 在 X 中稠密 可知，对 任意 xX? ，存在 { } kernxf? ， 使得 lim
nn xx?? ?
.
如果 f 是连续的，则 ( ) lim ( ) 0
nnf x f x????
， 与 f 非零矛盾 ，矛盾表明 f 是不连续的 .
§3.2.2 线性算子空间
定义 3.2.3 设 X 与 Y 是两个赋范线性空间， :T X Y? 是有界线性算子， 对一切 xX? ，
满足 || || || ||Tx M x? 的正数 M 的下确界，称为算子 T 的范数， 记为 || ||T ，即有
|| || inf { | || || || }|| ,T M Tx M x x X? ? ?? .
§ 3.2 有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 97
由定义可知，对一切 xX? ，都有 || || || || || ||Tx T x??.
定理 3.2.4 设 X 与 Y 是两个赋范线性空间， :T X Y? 是有界线性算子， 则有
|| || 1 || || 1
|| |||| || su p su p || || su p || |||| ||
x x x
TxT Tx Txx
? ? ?? ? ?0
.
证 记
0 || ||sup || ||x TxM x?? 0
，则对 任意 Xx? ?0 ，有
0s u p|| || || |||| || || ||xTx Tx Mxx? ?? 0
，
从而不等式 0|| || || ||MTx x? 对任意 x X? 成立 . 由 || ||T 的定义知 0|| ||T M? .
于是， 我们有
| | | | 1 | | | | 1 | | | | 1
| | | || | | | s u p s u p s u p | | | | s u p | | | | s u p | | | | | | | | | | | || | | | | | | |
x x y y y
T x xT T T y T y T y Txx
? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ?????
00
.
例 3.9 在 1[ , ]Lab 上定义算子 T 如下 ：
( )( ) ( )xaTf x f t dt? ? ， 1[ , ]f L ab? .
（ 1）把 T 看作 1[ , ]Lab 到 [ , ]Cab ，求 || ||T ；
（ 2） 把 T 看作 1[ , ]Lab 到 1[ , ]Lab 的算子， 求 || ||T .
解 易见 算子 T 是线性算子 .
（ 1） 任取 1[ , ]f L ab? ，由于 [ , ]Tf C a b? ，从而
1| | | | m a x | ( ) | m a x | ( ) | m a x | ( ) | | | | |x x bc a a aa x b a x b a x bT f f t dt f t dt f t dt f? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
，
由此知 || || 1T? . 另一方面，取
0 1()ft ba? ?
, [ , ]t ab? ,则显然有 01|| || 1f ? ，因此
00|| || 1 1|| || s u p || || || || m a x | ( ) | m a x | 1 | 1xxcc aaa x b a x bfT Tf Tf f t d t d tba? ? ? ??? ? ? ? ????
，
综上， || || 1T? .
（ 2） 任取 1[ , ]f L ab? ，由于 1[ , ]Tf L a b? ，从而
第三章 Banach 空间
98 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
11|| || | ( ) | | ( ) | | ( ) | ( ) || ||b x b x b ba a a a a aTf f t d t d x f t d td x f t d td x b a f? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
,
由此知 || ||T b a?? . 另一方面， 取 1{ } [ , ]nf L a b? ，
1, [ , ( ) ]
() 1
0 , [ ( ) , ]
n
n t a a b a
b a nft
t a b a bn
? ? ? ??
? ?? ?
? ? ? ??
?
，
显然 1|| || 1nf ? ， 1,2,n? ? ，且有
1( ) , [ , ( ) ]
11 , [ ( ) , ]n
n x a x a a b a
b a nTf
x a b a bn
? ? ? ? ??
? ?? ?
? ? ? ??
?
，
由此得
11|| || 1 1|| || s u p || || || || ( 1 ) ( ) ( )2nfT Tf Tf b a b a nn?? ? ? ? ? ? ? ? ?
，
综上，得 || ||T b a?? .
注 例 3.9 告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但 它被 看作 不同空间的映射 时 ，他们
的算子范数未必相同 .
例 3.10（ 1）设 A 是 n 阶实对称矩阵，则线性算子 : nnA ???， y Ax? 的范数
|| || ( )AA?? ， 其中 1( ) max | |iinA????? 称为 A 的谱半径， 12, , , n? ? ?? 是方阵 A 的特征值 .
（ 2）线性算子 : nmA ???， y Ax? 的范数 || || ( )TA A A?? .
证 （ 1） 由于 A 是实对称矩阵，故由高等代数知，存在正交矩阵 Q ，使得 TQ AQ?? ，
其中 12d ia g ( , , , )n? ? ??? ?是由 A 的特征值构成的对角矩阵 .
对任意 nx?? ，令 12( , , , )T nQ x y y y y?? ?，则由 Q 正交 及 TA Q Q?? 知，
2 2 2|| || || || || ||T T Ty Q x x Q Q x x? ? ?，
且
2 2 2 2 2 2
11| | | | | | | | [ ( ) ]
nnT T T T T
i i iiiAx x A Ax x Q Q Q Q x y y A y????? ? ? ? ? ? ? ???
，
§ 3.2 有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 99
即有 || || ( ) || ||Ax A x?? ，从而 || || ( )AA?? . 另一方面， 不妨设 1( ) | |A??? ， 当取 00x Qy?
时，其中 0 (1,0, ,0)y ? ? ，有
0 0 1|| || 1| | | | s u p | | | | | | | | | | | | | | ( )xA A x A x y A???? ? ? ? ? ?
，
综上 || || ( )AA?? .
（ 2） 由于 TAA是实对称矩阵，故 || || ( )TTA A A A?? . 又因为
22| | | | ( ) | | | | | | | | | | | | | | | |T T T TA x x A A x x A A x A A x? ? ? ? ?，
所以 || || || ||TA A A? . 另一方面，
|| || || || || || || || || || || ||T T TA A x A A x A A x? ? ? ? ?，
由此知， || || || || || ||TTA A A A??. 结合上面两个不等式，我们得 2|| || || || || ||TA A A??，即有
|| || || ||TAA? . 由 TAA 也是实对称矩阵，我们可得 || || || ||TAA? ，从而 || || || ||TAA? . 于是，
从上面几个不等式，我们得到 || || ( )TA A A?? .
下面 我们 讨论 由赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 的 全体 有界线性算子 构成的集合
( , )LXY .
首先对集合 ( , )LXY 引入线性运算 . 对任意 , ( , )T S L X Y? 及 kK? ，定义 ( , )LXY 的
加法和数乘运算如下：
（ 1） 对任意 xX? ， ()T S x Tx Sx??? ；
（ 2） 对任意 xX? ， ()kT x kTx? .
显然， TS? 和 kT 都是线性算子 ， 称 TS? 为 T 与 S 的和， kT 为 k 与 T 的 乘积 . 不难
验证 ， ( , )LXY 按这两种运算 构成 一个线性空间 . 不仅如此，对每个有界线性算子
( , )T L X Y? ，算子范数 || ||T 还满足 范数三条公理，即
（ 1）
|| || 1|| || sup || || 0xT Tx???
， || || 0T? 当且仅当 对一切 xX? 都有 0Tx? ，即 T?0 ；
（ 2）
|| || 1 || || 1| | | | s u p | | | | | | s u p | | | | | | | | | |xxT T x T x T? ? ? ???? ? ? ? ?
;
第三章 Banach 空间
100 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
（ 3）
|| || 1 || || 1 || || 1| | | | s u p | | | | s u p | | | | s u p | | | | | | | | | | | |x x xT S T x S x T x S x T S? ? ?? ? ? ? ? ? ?
.
因此， ( , )LXY 是一个赋范线性空间，我们称其为有界线性算子空间，简称 线性算子空
间 . 一般说来， ( , )LXY 不一定是完备的，但我们有如下的定理 .
定理 3.2.5 设 X 是 一个 赋范线性空间， 如果 Y 是 Banach 空间， 则 ( , )LXY 是完备的 .
证 设 { } ( , )nT L X Y? 是一个 Cauchy 列 ， 即 || || 0 ( , )nmT T n m? ? ? ?. 因此， 对 任意
xX? ，必有
| | | | | | ( ) | | | | | | | | | | 0 ( , )n m n m n mT x T x T T x T T x n m? ? ? ? ? ? ? ? ?，
这 表明 { ( )}nTx 是 Y 中的 Cauchy 列，由 Y 的完备性 ， 在 Y 中存在惟一的一个元， 记为 Tx ，
使得 ( ) ( )nT x Tx n? ? ?. 于是， T 就是从 X 到 Y 的一个算子 .
对任意 ,xy X? ， kK? ，有
( ) l i m ( ) l i m ( ) l i m l i mn n n n nn n n nT x y T x y T x T y T x T y T x T y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?，
( ) l im ( ) l imnnnnT k x T k x k T x k T x? ? ? ?? ? ?，
故 T 是线性算子 .
由 || || || || || ||n m n mT T T T? ? ?知 ， 数列 {|| ||}n 收敛 从而有界 . 令 sup|| ||
nnMT?
， 则对
任意 xX? ，有
| | | | | | l i m | | l i m | | | | s u p | | | | | | | | | | | |n n nnn nT x T x T x T x M x? ? ? ?? ? ? ? ?，
故 T 为有界线性算子，即 ( , )T L X Y? .
由 { } ( , )nT L X Y? 是一个 Cauchy 列知， 对 任意 0?? ，存在自然数 N ，使 当 ,nm N?
时，有 || ||nmTT???.于是 ，对任意 xX? ， || || 1x? ， 有
|| || || || || ||n m n mT x T x T T x ?? ? ? ? ?，
固定 xX? ， 并 令 m?? ， 得 || ||nT x Tx ???.由于 ( , )T L X Y? ， 故 ( , )nT T L X Y?? ，
因此，
|| || 1|| || s u p || ||nnxT T T x T x ??? ? ? ?
，
§ 3.3 几个重要定理
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 101
这表明 ( , )LXY 是完备的 .
注 赋范线性空间 X 上的有界线性泛函全体 之集 按前面所引入的运算与所规定的范数
构成一个 Banach 空间，称 之 为 X 的 共轭空间 ， 记为 X .
§3.3 几个重要 定理
§3.3.1 共鸣定理
定义 3.3.1 设 X 与 Y 是两个赋范线性空间， , ( , )nT T L X Y? ， 1,2,n? ? . 如果
|| || 0 ( )nT T n? ? ? ?，
则 称 {}nT 一致收敛 于 T ，即 依 算子范数收敛 ， 记为 ()nT T n? ??；
如果对任意 xX? ，都有
|| || 0 ( )nT x Tx n? ? ? ?，
则称 {}nT 强收敛 于 T ，记为 ()snT T n??? ? ? .
显然，一致收敛的算子列必定强收敛 ， 反之不成立 .
例如， 2X Y l??，定义有界线性算子：
1 2 2( , , , , )n n n nTx ? ? ???? ??， 12( , , , , )nx ? ? ?? ??， 1,2,n? ? .
显然 ()snT T n??? ? ? ； 记 (0 , , 0,1, 0, )ie ? ??，即 ie 的 只有 第 i 个坐标为 1，其它坐标
全为零， 1,2,i? ? ，则有
11|| || 1| | | | s u p | | | | s u p | | | | | | | | | | | | 1n n n i n nxiT T x T e T e e??? ? ? ? ?
，
故 ()nTn? ??0 不成立 .
不难 证明，有界线性算子列 {}nT 一致收敛于有界线性算子 T 的充要条件是 {}nT 在 X 的
单位球上一致收敛于 T .
定理 3.3.1（共鸣定理） 设 X 是 Banach 空间 ， Y 是赋范线性空间，算子 族
{ | } ( , )T I L X Y? ? ?? ，
第三章 Banach 空间
102 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
如果 对任意 xX? 都有 sup | | ||
I Tx??? ???
，则 sup || ||
I T??? ???
.
共鸣定理又称为 一致有界原理 .
证 定义 X 上的泛函 ( ) sup | | ||
Ip x T x????
，容易验证 ，对任意 ,xy X? 及 kK? ，有
( ) ( ) ( )p x y p x p y? ? ?， ( ) | | ( )p kx k p x? .
记 { | ( ) }nA x X p x n? ? ?, 1,2,n? ? ， 则
1 nnXA
?
???
.
首先 肯定 nA ( 1,2,n? ? )是闭集 . 设 {}knxA? ， ()kx x k? ??， 由于对任意 I?? ，
T? 是连续的 ， 故 || || 0 ( )kT x T x k??? ? ? ?，由此得
|| || || || ( )kT x T x k??? ? ?.
注意到 || || ( )kkT x p x n? ??， 故 || ||Tx n? ? ， 从而 ()px n? ，即 nxA? ，这表明 nA 是闭集 .
因 X 是完备的，由 Baire 纲定理 ，必存在自然数 0n ，使得
0nA
不是稀疏集 ， 从而存在 闭
球 00( , )Vx r ，使得
0nA
在 00( , )Vx r 中稠密， 由于
0nA
是闭集 ， 故
000( , ) nV x r A?
. 对任一
{ | || || 1}x B x X x? ? ? ?，
注意到
00 0 0 0( , ) nx r x V x r A? ? ?
，我们有
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2p r x p x r x p x r x p x r x p x r x n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
由此得 0
0()2
npx r? ， 从而对任意 I?? ， 有
0
|| || 1 0|| || s up || || 2x
nT T x r??
???
，
这表明 sup || ||
I T??? ???
.
推论 3.3.2 设 X 是 Banach 空间， Y 是赋范线性空间 ， { } ( , )nT L X Y? . 如果对任意
xX? ， limn
n Tx??
在 Y 中存在，定义线性算子
:T X Y? ， lim n
nTx T x???
，
则 ( , )T L X Y? 且 {}nT 有界 .
§ 3.3 几个重要定理
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 103
证 对任意 xX? ， 由 lim
nn Tx??
在 Y 中存在 知 ， sup || ||
nn Tx ???
. 故由 定理 3.3.1，存在
常数 0M? ，使得 sup|| ||
nn TM?
. 于是，对任意 xX? ，有
|| || || l i m || s u p || || || || || ||nnn nT x T x T x M x??? ? ? ?，
这表明 ( , )T L X Y? .
定理 3.3.3 设 X 和 Y 是 两个 Banach 空间 ， { } ( , )nT L X Y? . 如果满足下列条件 ：
（ 1） {|| ||}nT 是有界 数列 ，
（ 2）在 X 中某一稠密子集 G 中每个元素 x , {|| ||}nTx 收敛 ，
则 {}nT 强收敛于某一有界线性算子 T ，且 || || sup || ||
nnTT?
.
证 因 {|| ||}nT 有界，故存在 存在常数 0M? ，使得 sup|| ||
nn TM?
. 任取 xX? ， 注意
到 G 在 X 中稠密， 故对任给 0?? ， 存在 yG? ， 使得
|| || 3xy M??? .
由条件（ 2）可知， {|| ||}nTy 收敛， 故存在自然数 N ，使对一切 nN? 以及任意自然数 p 有
|| || 3n p nT y T y ?? ??，
于是
|| || || || || || || ||n p n n p n p n p n n nT x T x T x T y T y T y T y T x ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?.
由此知， {|| ||}nTx 是 Cauchy 列，由于 Y 是完备的，故 {|| ||}nTx 收敛 . 对任意 xX? ， 令
lim nnTx T x??? ， 由推论 3.3.2 知， ( , )T L X Y? ，故 {}nT 强收敛于有界线性算子 T . 由于
| | | | | | l i m | | l i m | | | | s u p | | | | | | | |n n nnn nT x T x T x T x? ? ? ?? ? ? ?， xX? ，
故 || || sup || ||
nnTT?
.
定理 3.2.5 中 证明了当 Y 是 Banach 空间时， ( , )LXY 依算子范数是完备的 . 下面 我们证
明当 X 和 Y 都是 Banach 空间 时， ( , )LXY 对于算子列的强收敛也是完备的 .
第三章 Banach 空间
104 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
定理 3.3.4 设 X 和 Y 都是 Banach 空间， 则 ( , )LXY 在强收敛意义下是完备的 .
证 设 { } ( , )nT L X Y? ， 且 对每个 xX? ,{}nTx 是 Y 中的 Cauchy 列，故 {}nTx 有界，由
共鸣定理 知 {|| ||}nT 有界 . 另一方面，由 Y 的完备性知， 对每个 xX? ,{}nTx 收敛 . 于是 ，
{}nT 满足定理 3.3.3 的 两个 条件， 从而 {}nT 强收敛于某一有界线性算子 ( , )T L X Y? .
§3.3.2 开映射 逆算子及闭图像定理
设 ,XY都是 数域 K 上的线性空间， :T X Y? 是线性算子 . 如果 T 是双射，则 T 的逆
算子 1T? 也是 线性算子 . 事实上，对任意 12,y y Y? 及 12,k k K? , 存在 12,x x X? ，使得
iiTx y? ，即 1iix T y?? ， 1,2i? ，于是
111 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )T k y k y T k Tx k Tx??? ? ?
1 1 11 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2[ ( ) ]T T k x k x k x k x k T y k T y? ? ?? ? ? ? ? ?.
进一步， 当 ,XY都是赋范线性空间 且 ( , )T L X Y? 是双射 时 ， 我们希望 1T? 也是有界线
性算子 . 不过，通过实例我们看到， 即使 X 是完备的 ， 1T? 也不一定是有界算子 .
例 3.11 设 [ , ]X Ca b? ， 1{ | [ , ] , ( ) 0 }Y y y C a b y a? ? ?， Y 按范数 || || max | ( ) |
a t by y t???
构成赋范线性空间，令
:T X Y? ， ( ) ( )taTx t x s ds?? ， xX? .
显然， T 是 Banach 空间 X 到赋范线性空间 Y 的双射，且 ( , )T L X Y? . 但由例 3.8 知，
1 :T Y X? ? ， 1 ( ) ''( )T y t y t? ? ， yY?
是无界的线性算子 .
定义 3.3.2 设 X 与 Y 是两个 度量空间， :T X Y? ， 如果对 X 中的任何开集 G ， ()TG
是 Y 中 的 开集，则称 T 是 开映射 .
显然， 如果 1 :T Y X? ? 存在 ， 则 1T? 为连续的 充分必要 条件是 T 为开映射 .
定理 3.3.5（ Banach 开映射定理 ） 设 ,XY是 两个 Banach 空间， ( , )T L X Y? 且 T 是满
§ 3.3 几个重要定理
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 105
射，则 T 是一个开映射 .
证 由于
1 ( , )nX V n
?
?? 0?
且 T 是满射，故
1( ) ( , )nY T X T V n
?
??? 0?
.
又 由 Y 是 Banach 空间 知 ， Y 是第二纲集 . 因此 ， 存在 自然数 0n ， 使得 0( , )TV n0 在某个 闭
球 00( , )Vy r 中稠密 . 我们把下面的证明分为 三 步 .
（ i）令 0
0 0rn? ?
， 证明 0( , ) cl( ( ,1))V TV? ?00，即 ( ,1)TV0 在 0( , )V ?0 中稠密 .
任给 0( , )yV?? 0 ，则
00y ny? ， 0 0 0 0( , )y n y V y r?? ，
故存在 0( , )Vn0 的点列 {}kx 和 {''}kx ， 使得
00lim kk Tx y n y?? ??
，
00lim ''kk Tx y n y?? ??
，
于是
0lim ( '' ) 2kkk T x x n y?? ??
，即
0
''lim 2kk
k
xxTyn
??
? ?.
显然
0
''( ) ( ,1)2kkxxT T Vn? ? 0， 1,2,k? ? ，
故 cl( ( ,1))y TV? 0 ，这表明 0( , ) cl( ( ,1))V TV? ?00.
进一步地， 利用上述方法， 我们 可 得到
0 1( , ) c l( ( , ))22kkV T V? ?00， 0,1,2,k? ? .
（ ii） 证明 0( , ) ( ,1)2V TV? ?00.
任取 0( , )2yV?? 0 ，由 1( , )2TV0 在 0( , )2V ?0 中稠密知，存在
1 1( , )2xV? 0
，使得
01 2|| || 2y Tx ???，
第三章 Banach 空间
106 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
即 0
1 2( , )2y Tx V ??? 0
； 再由
21( , )2TV0
在 0
2( , )2V ?0
中稠密知，存在
2 21( , )2xV? 0
，使得
012 3|| || 2y Tx Tx ?? ? ?，
即 0
12 3( , )2y Tx Tx V ?? ? ? 0
； 如此继续下去，我们得到无穷点列 {}nxX? .
令
1
n
niisx???
， 则
11
1|| || || || 12nnni i
iisx??? ? ???
， 1,2,n? ? ,
且 对任意 ,nm()mn? ，有
1 1 1
11| | | | | | | | | | | | 22m m mn m i i in
i n i n i ns s x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?
，
即 {}ns 是 X 中的 Cauchy 列，由 X 的完备性知，存在 xX? ，特别地， ( ,1)xV? 0 ，满足
lim nn sx?? ? . 又因为
01|| || 2n ny Ts ????， 1,2,n? ? ，
令 n?? ，由 T 的连续性知， y Tx? ， 故 ( ,1)y TV? 0 ，从而有 0( , ) ( ,1)2V TV? ?00.
（ iii） 设 G 是 X 中 的 任一开集 ， 任取 ()Tx T G? ，则 存在 x 的邻域 1( , )V x r G? ， 取
正数 21rr? ， 则有 21( , ) ( , )V x r V x r? ， 由于 22( , ) (0,1 )V x r x r V?? ，故由 T 是线性算子 及
（ ii） ， 我们 有
0 2 02 2 2( ) ( , ) ( 0 , 1 ) ( , ) ( , )22 rT G T V x r T x r T V T x r V V T x??? ? ? ? ? ?0，
这表明 Tx 是 ()TG的内点， 从而 ()TG是 Y 中开集 .
定理 3.3.6（ Banach 逆算子定理 ） 设 ,XY是 两个 Banach 空间， ( , )T L X Y? 且 T 是 双
射，则 1 ( , )T L Y X? ? .
证 由定理 3.3.5 知 ， T 是开映射，又因 T 是 X 到 Y 的双射，所以 1 :T Y X? ? 存在且
为 连续线性算子，即 1 ( , )T L Y X? ? .
下面通过逆算子定理来说明常微分方程解的连续依赖性 .
§ 3.3 几个重要定理
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 107
例 3.12 给定 k 阶线性常微分方程及初值条件 为
( ) ( 1 )11( ) ( ) ( ) ( ) ''( ) ( ) ( ) ( )kk kkx t P t x t P t x t P t x t y t? ?? ? ? ? ??，
( 1 )(0 ) ''(0 ) (0 ) 0kx x x ?? ? ? ?? ，
其中 ()iPt ( 1,2, ,ik? ? )是 [0,1] 上的连续函数 . 根据常微分方程的理论，对每个连续函数
( ) [0,1]y t C? ，上述微分方程均存在惟一解 . 这里的解连续依赖性是指当 右边 函数 ()yt 有 微
小变化时，相应的解也 有 微小的变化 .
证 定义 [0,1]C 的一个线性子空间
( ) ( 1 )0 [ 0 , 1 ] { ( ) | ( ) [ 0 , 1 ] ( 0 ) ''( 0 ) ( 0 ) 0 }kkC x t x t k x x x ?? ? ? ? ??在 上 次 连 续 可 微 ，，
在 ()0 [0,1]kC 中定义范数
()01
0|| ( ) || m a x | ( ) |
k i
tix t x t???? ?
，
可以证明 ()0 [0,1]kC 在 此范数下 构成 Banach 空间 . 定义线性算子 ()0: [0 ,1] [0 ,1]kT C C? 为
( ) ( 1 )11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ''( ) ( ) ( )kk kkTx t x t P t x t P t x t P t x t? ?? ? ? ? ??，
则
( ) ( 1 )1101|| || m a x | ( ) ( ) ( ) ( ) ''( ) ( ) ( ) | || ||kk kktT x x t P t x t P t x t P t x t M x? ???? ? ? ? ? ??，
其中
120 1 0 1 0 1m a x { 1 , m a x | ( ) |, m a x | ( ) |, , m a x | ( ) |}nt t tM P t P t P t? ? ? ? ? ?? ?
，故 T 是有界线性算子 . 由 T
的定义 我们还可以证明 T 是 ()0 [0,1]kC 到 [0,1]C 上的 双射 ，因此，由逆算子定理 知 ， 1T? 是
有界线性算子 .
对任意 0?? ，取
1|| ||T?? ??
， 则只要 12, [0,1]y y C? 且 12|| ||yy???时，相应的解
()1 2 0, [0,1]kx x C? 满足
1 1 11 2 1 2 1 2|| || || || || || || ||x x T y T y T y y ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?，
这说明 ()yt 有微小变化时，相应的解 ()xt 及其各阶导数也有微小的变化 .
定义 3.3.3 设 ,XY是两个赋范线性空间，在 XY? 上定义线性运算 （ (, )xy ， ( '', '')xy
第三章 Banach 空间
108 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
XY??， K?? ）：
（ 1） ( , ) ( '', '') ( '', '')x y x y x x y y? ? ? ?，
（ 2） ( , ) ( , )x y x y? ? ?? ，
并在 XY? 上 定义其范数 || ( , ) || || || || ||x y x y??， 则 XY? 成为一个 赋范线性空间，称为 X
与 Y 的 乘积赋范线性空间 ， 记为 ( ,|| ||)XY??或 XY? .
显然， 当 ,XY都 是 Banach 空间 时 ， XY? 也是 Banach 空间 .
定义 3.3.4 设 ,XY是两个赋范线性空间 ， :T D X Y??， 我们称集合
( ) { ( , ) | }G T x T x x D??
为映射 T 的 图像 ，如果 ()GT 是 XY? 中的闭集，则称 T 是 闭算子 .
定理 3.3.7 设 ,XY是两个赋范线性空间， :T D X Y??， 则 T 是闭算子的 充分必要
条件是 ：对 任意点列 {}nxD? ，如果 {}nx 收敛于 0xX? ， nTx 收敛于 0yY? ， 则 必有 0xD?
且 00y Tx? .
证 由于 {}nxD? ， 0nxx? ， 0nTx y? 等价于
{( , )} ( )nnx Tx G T? 且 00( , ) ( , )nnx Tx x y? ，
故 0xD? 且 00y Tx? 等价于 00( , ) ( )x y G T? ，而 00( , ) ( )x y G T? 又等价于 ()GT 是闭集，
即等价于 T 是闭算子 ，从而 定理得证 .
注 定义域是闭集的连续线性算子 必为 闭算子 .
定理 3.3.8（闭图像定理） 设 ,XY是 两个 Banach 空间， :T D X Y??是 线性 算子，
且 为 闭算子 . 如果 D 是 X 的闭线性子空间，则 T 是连续的 .
证 由于 X 是 Banach 空间 且 D 是 X 的闭子空间， 故 D 按 X 的范数 也 是一个 Banach
空间 . 而由 T 是 闭 线性算子 知， ()GT 是 XY? 的闭线性子空间 ， 从而 由 ,XY是 Banach 空
间知， ()GT 按 XY? 中的范数也是一个 Banach 空间 .
定义 ()GT 到 D 的算子 A 如下 ：
§ 3.3 几个重要定理
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 109
: ( , )A x Tx x? ， ( , ) ( )x Tx G T? ，
显然， A 是 ()GT 到 D 的 线性算子， 且
|| ( , ) || || || || ( , ) ||A x Tx x x Tx??，
故 A 是有界 线性算子 . 又当 12,x x D? ， 12xx? 时， 必有 1 1 2 2( , ) ( , )x Tx x Tx? ， 从而 A 是
()GT 到 D 的双射 . 根据逆算子定理， 1 : ( )A D G T? ? 是有界的，于是
11| | | | | | | | | | | | | | ( , ) | | | | | | | | | | | | | |T x x T x x T x A x A x??? ? ? ? ? ?
对任意 xD? 都成立， 这表明 T 是有界的 .
注 定理中条件 “D 是 X 的闭线性子空间 ”是不可去掉的 . 例如
[ , ]X Y C a b?? , 1[ , ]D C a b? .
显然， D 是 X 的线性子空间 ，定义 D 到 Y 的算子如下 ：
: ( ) ''( )T x t x t? ， ()xt D? ，
则 T 是 D 到 Y 的 线性算子 ， 而且是闭算子 . 事实上， 由数学分析知，对任意 {}nxD? ，
0nxx? ， 0nTx y? 有 0xD? ， 00y Tx? . 故由 定理 3.3.7 知 T 是闭算子，但我们知道 T 是
无界的，故不是连续线性算子 .
推论 3.3.9 设 ,XY是 两个 Banach 空间， :T X Y? 是线性算子， 则 T 是连续的充分必
要条件为 T 是闭算子 .
§3.3.3 Hahn-Banach 定理
定义 3.3.5 设 X 是实 线性空间， :pX?? . 如果 泛函 p 满足 （ , , 0x y X ???） ：
（ 1） 次可加性 ( ) ( ) ( )p x y p x p y? ? ?，
（ 2） 正齐次性 ( ) ( )p x p x??? ，
则称 :pX?? 为 次线性泛函 .
定理 3.3.10 （ Hahn-Banach 定理） 设 X 是实 线性空间， :pX?? 是次 线性 泛函 . M
是 X 的一个线性 子空间， f 是 M 上定义的一个实线性泛函 . 如果对任意 xM? ，满足
第三章 Banach 空间
110 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
( ) ( )f x p x? ，则 存在 X 上的实线性泛函 F ，满足：
（ 1） 对任意 xM? ，有 ( ) ( )F x f x? ；
（ 2） 对任意 xX? ，有 ( ) ( )F x p x? .
证 这个定理的完整证明涉及到超限归纳法，超出了本书 的知识体系 .
下面 我们 针对 X 是有限维实线性空间的情形 来证明 . 如果 MX? ，则定理显然成立 .
不妨设 MX? ，这时，存在 0 \x X M? ，令
0'' { | , }M y x y M??? ? ? ? ?，
容易验证， ''M 是 X 的一个线性子空间，且 ''MM? . 设 12, , , me e e? 是 M 的一组基，由
于 0xM? ，故 1 2 0, , , ,me e e x? 线性无关，从而 di m ( '') di mMM? .
定义 ''M 上的线性泛函
0( ) ( ) ( )F x F y x f y C??? ? ? ?,
其中 C 是一个待定常数 . 由于 f 是 M 上的线性泛函， 不难验证， F 是 ''M 上的线性泛函 . 且
对任意 xM? ，显然有 ( ) ( )F x f x? ，即满足必要条件（ 1） .
为了使 F 满足 必要条件 （ 2） ， 我们来 考察 常数 C 的取值范围 . 假设 F 满足（ 2） ， 则对
一切 yM? 和 ??? ，必有 不等式
0( ) ( )f y C p y x??? ? ? (3.3.1)
针对实数 ? 的符号不同，我们可以把不等式 (3.3.1)写成
0( ) ( )yyf C p x??? ? ?
， 0?? ；
0( ) ( )yyf C p x??? ? ? ? ?
， 0?? .
注意到 ,yyM???? ，故不等式（ 3.3.1）等价于不等式组
0( '') ( '' )f y C p y x? ? ?， 0( '''') ( '''' )f y C p y x? ? ?
对任意 '', ''''y y M? 成立 . 由于
( '' '''') ( '') ( '''')f y y f y f y? ? ?， 00( '' '''') ( '' ) ( '''' )p y y p y x p y x? ? ? ? ?
§ 3.3 几个重要定理
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 111
对任意 '', ''''y y M? 也成立，且 ( '' '''') ( '' '''')f y y p y y? ? ?，故
00( '''') ( '''' ) ( '' ) ( '')f y p y x p y x f y? ? ? ? ?
对任意 '', ''''y y M? 成立 . 因此，当 C 满足
00''''''s u p ( ( '''') ( '''' ) ) in f ( ( '' ) ( '') )yMyM f y p y x C p y x f y?? ? ? ? ? ? ?
时， F 在 ''M 上满足 ( ) ( )F x p x? .
如果 ''MX? ，则定理得证，否则，重复上述过程， 由于 X 是有限维实线性空间，我
们在有限步内 把 M 上定义的泛函 f 延拓到空间 X .
定理 3.3.11（ Banach 保范延拓定理） 设 X 是实 赋范 线性空间， M 是 X 的子 空间， f 是
M 上的有界线性泛函，则存在 X 上的有界线性泛函 F 满足：
（ 1） ( ) ( )F x f x? ,xM? ；
（ 2） || || || ||MFf? .
证 由于 f 是 M 上的有界线性泛函 ， 故
|( ) || || || ||Mf x f x? ，
其中 || ||Mf 是 f 在 M 上的范数 . 令
( ) || || || ||Mp x f x? ，
则 p 是 X 上定义的次 线性 泛函， 且 对 xM? ，有
( ) ( )f x p x? .
故由 定理 3.3.10 知 ，存在 X 上 有界 线性泛函 F 满足结论（ 1），且 对任意 xX? ，有
( ) ( ) || || || ||MF x p x f x??，
由此知， || || || ||MFf? .
另一方面，由于 F 是 f 的延拓， 故
| | | | s u p { | | | | | | | | | 1 , } s u p { | | | | | | | | | 1 , } | | | | MF F x x x X F x x x M f? ? ? ? ? ? ?，
综上，得 || || || ||MFf? .
第三章 Banach 空间
112 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
赋范线性空间的子空间上 的有界 线性泛函的保范延拓一般不惟一 .
例 3.13 设 2X?? ，对 12( , )x x x X??， 定义范数 12|| || | | | |x x x??,X 按此范数成为
赋范线性空间 . 又设 11{( , 0 ) | }M x x???，在 M 上 定义 的 有界 线性泛函 0 1 1( ,0)f x x? ， 显
然有 0|| || 1Mf ? . 然而，对 任意常数 ??? ， X 上的连续线性泛函
1 2 1 2( , )f x x x x???， 12( , )x X?
都是 0f 在 X 上 的延拓 . 由于
1 2 1 2 1 2 1 2| ( , ) | | | | | | | | | m a x { 1 , | | } | | ( , ) | |f x x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ?,
且 0|| || || || 1Mff??，故当 | | 1?? 时 ,f 都是 0f 的保范延拓 .
推论 3.3.12 设 X 是实赋范线性空间 ， M 是 X 的一个真闭子空间， 0 \x X M? . 令
0inf || ||xMd x x???
， 则存在 X 上 的 有界线性泛函 F 满足 0()Fx d? ， || || 1F? ， 且 对任意
xM? ，有 ( ) 0Fx? .
证 我们可以 肯定 0d? . 若不然， 由下确界 的 定义 知 ，存在 {}nxM? ，使得
0|| || 0nxx??()n?? ，
由于 M 是闭的， 故 0xM? ，这与 0 \x X M? 矛盾 .
记
0'' { | , }M x x x M??? ? ? ? ?，
在 ''M 上定义泛函 0()f x x d????， 不难验证 ， f 是 ''M 上有界线性泛函，且 0()f x d? ，
对任意 xM? 有 ( ) 0fx? .
注意到当 0?? 时，有
00 0 0 0()| | | | | | | | | | | | | | | | | ( ) |f x xxxx x x x f x xd ?? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
我们得 ''|| || 1Mf ? . 另一方面，取 {}nxM? ，使得 0|| ||nx x d??()n?? ， 则有
0''
'' 00
| ( ) || ( ) ||| || su p su p su p 1|| || || || || ||nM
x M n nnnx
f x xf x df x x x x x
??
?? ? ? ???
0
，
§ 3.4 共轭空间与共轭算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 113
综上， ''|| || 1Mf ? .
由定理 3.3.11 知， 存在 X 上有界线性泛函 F ，满足 对任意 ''xM? ， ( ) ( )F x f x? ，
且 ''|| || || ||MFf? ， 从而推论得证 .
注 推论 3.3.12 表明存在 有界线性泛函可分离一个闭子空间 和该子空间之外的一点 .
推论 3.3.13 设 X 是实赋范线性空间，如果 0xX? 且 0x?0 ，则存在 X 上的有界线性
泛函 F 满足 00( ) || ||F x x? 且 || || 1F? .
证 令 0{ | }Mx?????，构造 M 上的泛函
0 :fM?? ， 0 0 0( ) || ||f x x??? ， ??? .
显然， 0f 是 M 上的有界线性泛函，且 00( ) || ||f x x? ，
0000|| || 1 || || 1|| || su p | ( ) | su p | | || || 1M xxf f x x??????? ? ? ?
.
故 由定理 3.3.11 知 ， 存在 X 上的有界线性泛函 F 满足 00( ) || ||F x x? 且 || || 1F? .
注 推论 3.3.13 表明 ：（ 1） 只要 {}X?0 ，则 X 上必存在 非零有界 线性泛函 ；（ 2）若对
X 上任意有界线性泛函 f ，总有 0( ) 0fx? ，则 0x?0 .
§3.4 共轭空间与共轭算子
在 §3.2.2 中， 我们介绍了有界线性算子空间 ( , )LXY ，特别地 ， 当 Y?? 时，我们便 得
到 X 上有界线性 实泛函空间 ( , )LX? ，称为 X 的 共轭空间 ，记为 X . 本节我们将研究 共
轭 空间 X 的 性质 .
§3.4.1 共轭空间
定义 3.4.1 设 ,XY都 是赋范线性空间， :T X Y? 是线性算子 . 如果 T 满足
|| || || ||Tx x? （ xX? ），
则 称 X 是 Y 的 嵌入子空间 ，称 T 为 嵌入算子 ； 如果 T 不仅满足 || || || ||Tx x? （ xX? ），而
第三章 Banach 空间
114 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
且 :T X Y? 还是满射，则称 X 与 Y 是 等距同构 的 .
注 当 X 是 Y 的嵌入子空间时 , X 与 Y 的子空间 ()TX 结构完全相同，因此，可记为
XY? ； 当 X 与 Y 等距同构时 ， 这两个空间结构也完全相同，可记为 XY? .
例 3.14 设数列空间的子空间
0 { | { } , l i m 0 , , 1 , 2 , }i i iic x x i? ? ???? ? ? ? ???
，
在 0c 中 赋予 范数 || || sup| |
iix ??
，则 0c 是赋范线性空间 ，证明 10cl? .
证 （ i） 对任意 1{}iyl???， 定义 0c 上线性泛函
1()y i iifx ??
?
???
， 于是
1 1 1| ( ) | | | | | sup | | | | | | | | | | | |y i i i i k iki i if x y x? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ? ? ?? ? ?
，
故 || || || ||yfy? , 从而 0yfc? . 另一方面，取
12{ s g n ( ) , s g n ( ) , , s g n ( ) , 0 , }nnx ? ? ?? ??， 1,2,n? ? ，
这里 sgn 是符号函数，则对每个 n ， 0nxc? 且 || || 1nx ? . 由于 0yfc? ，故有
11| ( ) | | sgn( ) | | | | | | | | | | | | | | |
nn
y n i i i y yiif x f x f? ? ???? ? ? ? ???
，
从而由 n 的任意性知，
1 | | || ||iyi f?
?
? ??
，即 || || || ||yyf? .
（ ii） 反过来， 对 任意 0fc? ，令 ()iife?? ，这里 (0 , , 0,1, 0, )ie ? ??，即只有第 i
个分量为 1其它分量均为 0 的无穷点列， 1,2,i? ? . 记 {}iy ?? ， 则 对 任意 0{}ixc???，
注意到
1|| || s up | | 0
n
i i iinixe????? ? ?? ()n??
，
由 f 的 连续 性 ， 我们有
1 1 1( ) l im ( ) l im
nn
i i i i i inni i if x f e? ? ? ? ?
?
? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?
.
§ 3.4 共轭空间与共轭算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 115
从 （ i）中的 讨论可知，
1 | | || ||ii f?
?
? ? ? ???
， 故 1{}iyl???.
（ iii） 定义 算子 1 0:T l c? ， ()yT y f? ， 1yl? ， 易见 T 是线性算子 . 由（ i）知
|| || || || || ||yTy f y??，
这蕴含 T 为单射；由（ ii）知 T 为 满射 ； 从而 1l 与 0c 是等距同构的，即 10cl? .
例 3.15 1( )ll?? .
证 任取 1( )fl? ，令 ()iife?? ，则有
| | | ( ) | || || || || || ||i i if e f e f? ? ? ? ?， 1,2,i? ? ，
记 {}iy ?? ，则 yl?? ，且 || || || ||yf? .
另一方面， 设 1span{ }iiMe??? ，则 在 1l 的子空间 M 上 ，有
| ( ) | | ( ) | | | | | s u p | | | | | | | | | | | | | |i i i i iif x f e x y x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???， iix e M???? .
由于 M 在 1l 中稠密，由 f 的连续性知， 对任意 1xl? ，有
| ( ) | || || || ||f x y x??，
从而 || || || ||fy? . 综上，对任意 1( )fl? ，存在 yl?? ，使得 || || || ||fy? .
反过来 ，对任意 {}iyl? ???，定义 1l 上的线性泛函
1() iiifx ??
?
???
， 1{}ixl???，
由于
1 1 1| ( ) | | | | | | | sup | | | | | | | | | | | |i i i i i iii i if x y x? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?
，
故上述定义的线性泛函不仅有意义，而且还是有界的， 且 ()iife?? ， 1,2,i? ? ， 由上述
讨论知 || || || ||fy? .
从而 1()l 与 l? 等距同构，即 1( )ll?? .
第三章 Banach 空间
116 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
例 3.16 ( )pqll? ， 其中 111
pq??
， ,1pq? .
证 对 任意 {}qiyl???，定义 pl 上的线性泛函
1()y i iifx ??
?
???
， {} pixl???，
则由赫尔德不等式知，上述定义不仅有意义，而且 yf 是有界的，并有 || || || ||yfy? .
另一方面，设 ( )pfl? ， 记 ()iife?? ， 1,2,i? ? . 由于对任意 {} pixl???，有
1 1 1 1( ) ( ) l i m ( ) l i m
nn
i i i i i i i inni i i if x f e f e? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
，
构造无穷数列
1 1 11 1 2 2{ s g n ( ) | | , s g n ( ) | | , , s g n ( ) | | , 0 , }q q qn n nx ? ? ? ? ? ?? ? ?? ??，
显然 pnxl? ， 且
1 / 1 /( 1 )
11|| || | | | |
ppnnq p q
n i iiix ?????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???
， 1,2,n? ? ，
11
1 1 1( ) ( sgn( ) | | ) sgn( ) | | | | | | | | | | | |
n n nq q q
n i i i i i i i ni i if x f e f x? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ?? ? ?
，
由此得
1/
1 | | || ||
qn q
ii f??????????
，
由 n 的任意性知， qyl? ，且有 || || || ||yf? .
定义线性算子 : ( )qpT l l? ， yTy f? ，则由上面讨论知， T 是 ql 到 ( )pl 的等距同
构映射， 故 ( )pqll? .
例 3.17 ( [ , ]) [ , ]pqL a b L a b? ，其中 111
pq??
， ,1pq? .
证明从略 .
下面讨论一类很重要的赋范线性空间 —自反空间 .
§ 3.4 共轭空间与共轭算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 117
设 X 是赋范线性空间， X 是它的共轭空间，因为 X 也是赋范线性空间，它也有共
轭空间 ( )X ，记为 X ，称为 X 的 二次共轭空间 ， 类似地 ， 我们还可以定义 X 的三次
共轭空间 X 等 .
下面 我们只考察 X 与 X 之间 的关系 . 对每个 xX? ， 在 X 上 定义 泛函 x 如下：
( ) ( )x f f x? ， fX? ，
显然， x 是 X 上的线性泛函，而且
| ( ) | | ( ) | || || || ||x f f x f x? ? ?,
故 x 是 X 上的 有界线性泛函， 即 xX? ，且有 || || || ||xx? . 因此，我们 称 x
为 由 x 生成的 泛函 ， 并 称 算子 : T X X? ， Tx x? 为 典范映射 .
定理 3.4.1 设 X 是赋范线性空间， 典范映射 T 是 X 到 X 的 等距 线性算子，即 对任
意 ,xy X? ， , K??? ，有
（ 1） ( ) ( ) x y T x y T x T y x y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?；
（ 2） || || || || || ||x Tx x??.
证 （ 1）对任意 fX? ， 由 典范映射 的 定义 ， 有
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y f f x y f x f y x f y f? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?.
（ 2 ）只 须 证 || || || ||xx? . 对 任意 x?0 ，由 推论 3.3.13 知，必有 xfX? ， 使得
( ) || ||xf x x? 且 || || 1xf ? ， 故 || || | ( ) | | ( ) | || ||xxx x f f x x? ? ?.
定义 3.4.2 设 X 是赋范线性空间，如果 XX? ，即 X 与 X 等距同构，则称 X 为
自反空间 .
从上面的例子 看到 ， 10 0 0 ( ) ( ) c c l l c?? ? ? ?，故 0c 不是自反的；而 当 1p? 时，
( ) [ ( ) ] ( ) p p q pl l l l? ? ?，故 pl 是自反 空间 ；同样， [ , ]pL ab ( 1)p? 也是自反的 .
定义 3.4.3 设 X 是赋范线性空间， {}nxX? , xX? . 如果对任意 fX? ，都有
lim ( ) ( )nn f x f x?? ? ，则 称 {}nx 弱收敛 于 x ， 记为 ()wnx x n??? ? ? .
第三章 Banach 空间
118 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
定理 3.4.2 设 X 是赋范线性空间， {}nxX? ,xX? ，则下列各命题成立 .
（ 1） 若 ()nx x n? ??，则 ()wnx x n??? ? ? ；
（ 2） 若 ()wnx x n??? ? ? ，且 ()wnx y n??? ? ? ，则 xy? ；
（ 3） 若 ()wnx x n??? ? ? ，则 {}nx 有界；
（ 4） 若 X 是有限 维的且 ()wnx x n??? ? ? ，则 ()nx x n? ??.
证 （ 1） 由于对任意 fX? ，有 | ( ) ( ) | || || || ||nnf x f x f x x? ? ? ?，故（ 1）成立 .
（ 2） 若 ()wnx x n??? ? ? ，且 ()wnx y n??? ? ? ，则对任意 fX? ，有
( ) lim ( ) ( )nnf x f x f y????，
由 f 的线性知 ( ) 0f x y??. 如果 xy??0 ，则由推论 3.3.13 知，存在 0 fX? ， 使得
0|| || 1f ? ， 0 ( ) || ||f x y x y? ? ?，矛盾 ，该 矛盾表明 xy? .
（ 3） 对任意 fX? ， 由于 lim ( ) ( )
nn f x f x?? ?
， 故 { ( )}nfx 有界 ， 定义 X 上有界线
性泛函列 ( ) ( )nnJ f f x? ， 1,2,n? ? ， 则由共鸣定理知 ， sup || ||
nn J ???
，由于 || || || ||nnJx? ，
1,2,n? ? ， 故 {}nx 有界 .
（ 4） 取 X 的一组基 12, , , me e e? ，设 ()wnx x n??? ? ? ， 则在这组基下， ,nxx可表
示为
1
m
iiixe????
，
1
m n
n i iixe????
， 1,2,n? ? .
取特殊的坐标泛函 kfX? 如下：
1( ) ( )
m
k k i i kif y f e??????
， yX? ， 1,2, ,km? ? ，
则由弱收敛的定义知， | | 0 ( )nkk n??? ? ? ?， 1,2, ,km? ? ，因此， ()nx x n? ??.
注 在无穷维空间中， 性质（ 4）不一定成立 . 例如， 在 2l 中，由于 || || 1ne ? ， 1,2,n? ? ，
故 ()nen? ??? 0 ，但对任意 22( )f l l??， 由于 22
1|| || | |iif ?
?
?? ? ???
，故
§ 3.4 共轭空间与共轭算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 119
( ) 0 ( )nnf e n?? ? ? ?，
这表明 { } ( )wnen??? ? ?0 .
定义 3.4.4 设 X 是 赋范线性空间 ，在 X 的共轭空间 X 上有如下三种收敛：
（ 1） 依 范数收敛 （一致收敛） ，即 || || 0 ( )nf f n? ? ? ?， 记为 ()nf f n? ??；
（ 2） 弱收敛 ，即对任意 xX? ，有
| ( ) ( ) | 0 ( )nx f x f n? ? ? ?，
记为 ()wnf f n??? ? ? ；
（ 3） 弱 收敛 ，即对任意 xX? ，有
| ( ) ( ) | 0 ( )nf x f x n? ? ? ?，
记为 ()wnf f n??? ? ? .
由定义不难看出，依范数收敛能够推出弱收敛，弱收敛又能推出弱 收敛 . 当 X 是自反
Banach 空间时 ， 弱收敛与弱 收敛等价 . 而由弱收敛的性质（ 4）知，当 X 是有限维赋范线
性空间时，依范数收敛与弱收敛等价 .
定义 3.4.5 设 ,XY是赋范线性空间， ( , )LXY 中 的点 T 及 点列 {}nT 满足 ： 对任意 xX?
和任意 fY? ，都有
| ( ) ( ) | 0 ( )nf T x f T x n? ? ? ?，
则称 {}nT 弱收敛 于 T ，记为 ()wnT T n??? ? ? .
我们已经知道 ， 算子列 依范数 收敛 必定能推出 强收敛 ，而由定义 3.4.5 知 ，算子列强收
敛 必定能推出 弱收敛 .
定理 3.4.3 设 X 是赋范线性空间，如果 X 是 可分 的 ，则 X 必 可分 .
证 由于 X 是可分的 ，故 在 X 中 有可数点列 {}nf ，它在 X 的单位球面上稠密 . 对
每个 n ，由于
|| || 1su p | ( ) | || || 1nnx f x f? ??
，故 在 X 的单位球面上必有 nx ，满足 1()2
nnfx?
. 令
12c l ( s p a n { , , , , } )nM x x x? ??，如果 X 不可分， 则必有 0 \x X M? ， 则由 M 的闭性及
第三章 Banach 空间
120 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
推论 3.3.12 知，存在 0 fX? ，满足 00()1fx? ， 0( ) 0fx? 对任意 xM? 成立 . 从而
0 0 0|| || 1 1|| || s u p | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 2n n n n nxf f f x f x f x f x?? ? ? ? ? ?
，
这与 {}nf 在 X 的单位球面上稠密的假设矛盾 ，矛盾表明 X 是可分的 .
§3.4.2 共轭算子
我们知道，矩阵是有限维空间算子的表示形式，矩阵的转置在矩阵理论中起着十分重要
的作用 . 这种矩阵转置概念在无穷维空间的推广就是共轭算子 .
设 ,XY是赋范线性空间， :T X Y? 是有界线性算子 . 对任意 fY? ，由
( ) ( )f x f Tx? ， xX?
定义了 X 上 的 一个 泛函 f . 由 f 和 T 的线性知， f 是线性泛函，且由
| ( ) | | ( ) | || || || || || ||f x f T x f T x? ? ? ?， xX?
知 f 是有界的，从而 fX? .
定义 3.4.6 设 ,XY是赋范线性空间， :T X Y? 是有界线性算子 . 称映射
: T Y X? ， T f f? ， fY?
为 T 的 共轭算子 ，又称 伴随算子 .
定理 3.4.4 设 ,XY是赋范线性空间， :T X Y? 是有界线性算子 ，则下列各命题成立 .
（ 1） : T Y X? 是有界线性算子，且 || || || ||TT? ；
（ 2） 对任意 ??? ，有 ( ) TT??? ；
（ 3） 对任意 , ( , )T S L X Y? ，有 ( ) T S T S? ? ?；
（ 4） 对任意 ( , )T L X Y? , ( , )S LY Z? ，有 ( ) ST T S? ，这里 Z 也是赋范线性空
间；
（ 5） 若 ( , )T L X Y? 存在有界逆算子 ， 则 T 也存在有界逆算子 ， 且 11( ) ( )TT??? ；
（ 6） T 也有共轭算子 ( )T ， 简记为 T ， 显然 || || || ||TT? . 若 将 X 看成 X 的
§ 3.4 共轭空间与共轭算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 121
子空间，则 T 是 T 的延拓 .
证 （ 1）对任意 ,f g Y? ， , K??? ，有
[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T f g x f g x f g T x f T x g T x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( )f x g x T f T g x? ? ? ?? ? ? ?， xX? ，
故 T 是线性算子 . 对任意 fY? ， xX? ，由于
| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | || || || || || ||T f x f x f T x f T x? ? ? ? ?，
故 || || || || || ||T f T f??， 即 T 是有界的，且有 || || || ||TT? .
另一方面，由推论 3.3.13 知， 对任意 xX? , Tx?0 ，存在 0 fY? ， 使得 0|| || 1f ? ，
0( ) || ||f Tx Tx? . 于是
0 0 0 0 0| | | | ( ) ( ) | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |T x f T x f x f x T f x T f x? ? ? ? ? ? ? ? ?， xX?
由此得 || || || ||TT? . 综上， || || || ||TT? .
（ 2）对任意 ??? ， fY? ，有
[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )T f x f T x f T x f x T f x? ? ? ? ?? ? ? ?， xX? ，
故 ( ) TT??? .
类似地可证，性质（ 3）和性质（ 4） .
（ 5） 由于 1T? 是从 Y 到 X 的有界线性算子， 由（ 1）知， 1( )T? 是从 X 到 Y 的有
界线性算子 . 任取 fX? ， 由共轭算子的定义，我们有
1 1 1{ [ ( ) ] } ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )T T f x T f T x f T T x f x? ? ?? ? ?， xX? ，
即有 1[( ) ]T T f f? ?，由 fX? 的任意性知， 1 ( ) XT T I? ? . 类似地，我们还有
1 ( ) YT T I? ? . 由此易证 T 是双射，从而 T 可逆，且
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) XT T I T T T T? ? ? ? ?? ? ?.
（ 6） 任给 xX? ， 设 x 是 x 在 X 中的对应元 ， 则对任意 fX? ，有
( ) ( )x f f x? ，
第三章 Banach 空间
122 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
故
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T x f x T f T f x f T x T x f? ? ? ?，
由 fX? 的 任意 性知 ， ( ) T x Tx? .
若将 X 看作 X 的子空间，则 x 与 x 可 看作同一个点 ， 因此 ， T x Tx? ， xX? .
故 T 是 T 的延拓 .
例 3.18 设 ()ijAa? 是 mn? 矩阵，由例 3.7 知，
: nmT ???， Tx Ax? ， nx??
是由 n? 到 m? 的有界线性算子，其中 Ax 是矩阵与向量的乘积 . 由于欧几里得空间的共轭空
间就是它本身，故由共轭算子的定义可知， T 是由 m? 到 n? 中的有界线性算子 .
注意到 ( )mf?? 等同于 12( , , , ) mfmy ? ? ?????， 其中 ()iife?? ， 1,2, ,im? ? .
对任意 12( , , , ) nnx ? ? ?????， 有
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m n n m
ij j i ij i ji j j iT f x f T x f A x a a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
，
由 nx?? 的任意性知，
121 1 1 ( , , , )
m m m TT
i i i i in i fi i iT f a a a A y A f? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??
，
这表明 T 由 A 的转置矩阵定义 .
§3.5 算子谱理论简介
我们在线性代数中学过了矩阵的特征值与特征向量的基本理论 ， 现在把这两个概念推广
到 Banach 空间，建立算子的谱理论 .
为了研究算子的谱， 我们下面考虑复 Banach 空间 .
定义 3.5.1 设 X 是复 Banach 空间， ( , )T L X X? ， ? 是一个 复数 .
（ 1） 如果 IT?? 有有界逆算子，则称 ? 为 T 的 正则值 ， T 的正则值 全体构成 的集合 称
为 正则集 ， 记为 ()T? . 当 ()T??? 时， 称 1( , ) ( )R T I T?? ???为 T 的 预解式 .
§ 3.5 算子谱理论简介
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 123
（ 2）如果 ? 不是 T 的正则值 ， 则称 ? 为 T 的 谱点 ， 全体谱点的集合记为 ()T? ，称为 T
的 谱 ，对谱中的点又可分为 如下 三种类型：
（ i） 对于 ()T??? ， 算子方程 ()I T x? ??0 有非零解 ， 这时， 称 ? 为 T 的 特征值 或
点谱 ， 相应的非零解称为 T 的 特征 向量 ；
（ ii） 对于 ()T??? ，算子 方程 ()I T x? ??0 仅有零解 ， 但 IT?? 的值域是 X 的真
子空间且在 X 中稠密，这时， 称 ? 为 T 的 连续谱 ；
（ iii）对于 ()T??? ，算子方程 ()I T x? ??0 仅有零解，但 IT?? 的值域在 X 中不
稠密，这时，称 ? 为 T 的 剩余谱 .
注 T 的谱集包含且仅包含上述三种类型的谱 .
如果 ? 是 T 的特征值， 则 ? 所对应的特征向量加上零元素 0 正好 构成 X 的 一个闭子空
间，称这个子空间为 ? 的特征子空间 ，事实上，特征子空间就是 Ker( )IT? ? .
若 12, , , n? ? ?? 是 T 的 n 个不同的特征值， i? 对应的特征向量为 ix ， 1,2, ,in? ? ， 则
12, , , nx x x? 线性无关 ，类似于线性代数中的证明，这个结论可用数学归纳法得到 .
定理 3.5.1 设 X 是复 Banach 空间 ， ( , )T L X X? ， 则 有
（１）当 | | || ||T?? 时， ? 是 T 的正则值 ，且
1 1
0()
n
nn TIT? ?
??
?????
.
（２） ()T? 是复平面 ? 的开集， ()T? 是 ? 的有界闭集 .
证 （ 1） 如果 | | || ||T?? ，则
10 || || 1| | | | || ||
n
nn T T??
?
?? ? ??
，
这时， 算子列
10{}
kn
kk T????
是 ( , )LX X 中的 Cauchy 列 . 而由 X 是 Banach 空间以及定理 3.2.5
第三章 Banach 空间
124 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
知 ， ( , )LX X 是 Banach 空间， 因此，算子列
10{}
kn
kk T????
收敛于
10 ( , )
n
nn TA L X X?
?
?????
. 且
不难验证
( ) ( )A I T I T A I??? ? ? ?.
（２）设 ()T??? ，对任意 ??? ，由于
1( ) [ ( ) ( ) ]I T I I I T I T I I T? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,
故当
11|||| ( ) ||IT?? ? ??? ?
时，由（ 1）知， 11[ ( )( ) ]I I T? ? ? ??? ? ?存在且 有界 . 而由假
设知， 1()IT? ?? 存在且有界 ， 由此不难证明 1()IT? ?? 存在且有界，从而 ()T??? ， 这
表明 ()T? 是开集 .
由于 ()T? 是 ()T? 的 补集 ， 故 ()T? 是闭集 ，而由（ 1）知， ()T? 是有界的 .
定义 3.5.2 设 X 是复 Banach 空间， ， 称
()( ) max | |TrT ?? ???
为算子 T 的 谱
半径 .
推论 3.5.2 设 X 是 Banach 空间， ( , )T L X X? 且 T 是可逆的 . 如果 ( , )S L X X? , 且
11|| || || ||ST T ???
, 则 S 也可逆，且满足不等式
1211
1|| || || |||| || 1 || || || ||T S TST T S T
???
? ??? ? ? ?
.
证 由于 T 可逆且
11|| ( ) || || || || || 1T S T T S T??? ? ? ? ?，
故由定理 3.5.1 知， 1()I T S T???可逆，且有
1 1 1
0( ( ) ) ( 1 ) ( ( ) )
kk
kI T S T T S T
?? ? ?
?? ? ? ? ??
，
于是
1 1 1 1
0
1| | ( ( ) ) | | | | | | | | | | 1 | | | | | | | |kk
kI T S T T S T T S T
?? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ??
.
从而 1[ ( )]S T I T S T?? ? ?也可逆， 1 1 1 1[ ( ) ]S I T S T T? ? ? ?? ? ?，且有
( , )T L X X?
§ 3.5 算子谱理论简介
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 125
1 1 1 1 1| | | | | | [ ( ) ] | | | | | |S T I I T S T T? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
121 1 1 1
1| | | | | | | || | ( ) | | | | [ ( ) ] | | | | | | 1 | | | | | | | |T S TT S T I T S T T T S T
?? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
.
定理 3.5.3 设 X 是复 Banach 空间， ，则 T 的 谱半径 1( ) lim || ||n n
nr T T???
.
证明 从略 .
对于有限维空间上的线性算子，谱理论十分简单，谱中仅含有特征值 . 但是对于无限维
空间， 其谱集的结构通常十分复杂 .
例 3.19 取
1 12
1{ ( , , , , ) | | | , , 1 , 2 , }n i iiX l i? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?
，
定义范数
1|| || | |iix ?
?
???
， 则 X 是一个复 Banach 空间 . 定义有界线性算子
:T X X? ， 12(0 , , , , , )nTx ? ? ?? ??， 12( , , , , )nx ? ? ?? ??，
则有 ( ) { | | | 1}T? ? ?? ? ?? 且 ()T? 中没有特征值 .
证 设算子方程 ()I T x? ??0 的解为 12( , , , , )nx ? ? ?? ??，则算子方程为
1 2 1 1( , , , , ) (0 , 0 , , 0 , )nn? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
当 0?? 时，上述方程仅有零解 x?0 ；当 0?? 时，上述方程也仅有零解 x?0 . 故
()T? 中没有特征值 .
由于 || || || ||Tx x? ，故 || || 1T? . 由 定理 3.5.1 知 ， ( ) { | | | 1}T? ? ?? ? ?? .下面证
( ) { | | | 1}T? ? ?? ? ?? .
若 0?? ， 则 由算子 T 的定义，显然 有 ()I T X X? ??,故 ()T??? .
若 01???，取 (1, 0, , 0, )y ? ?? ， 显然 yX? . 若存在 12( , , , , )nx ? ? ?? ??， 满足
1 2 1 1( ) ( , , , , )nny I T x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???，
则有 1 1??? ， 210?? ???， ? ， 1 0nn?? ? ???， ? ， 解 之 得 1/ nn??? ， 1,2,n? ? ，
故 级数
1||ii ?
?
??
不收敛， 这表明 ()y I T X??? ，从而 ()I T X X? ??.
( , )T L X X?
第三章 Banach 空间
126 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
定义 3.5.3 设 ,XY都是赋范线性空间， :T X Y? 是 线性算子 ，如果 T 将 X 的有界集
映成 Y 中的列紧集，则 称 T 为 紧算子 或 全连续算子 .
注 紧 算子一定是有界线性算子 ， 但 其 逆 一般 不真，例如 ， 当 X 为无限维赋范线性空间
时，则恒等算子 :I X X? 不是 紧 算子 .
例 3.20 设 ,XY都是赋范线性空间， 若 ( , )T L X Y? 且 ()T X Y? 是有限维子空间， 则
称 T 为有限秩算子 . 证明有限秩算子必为紧算子 .
证 设 T 为有限秩算子，任给 X 中的有界集 S ，由 T 的有界性知， ( ) ( )T S T X? 是 Y 中
的有界集，而 由 有限秩算子的 定义知 ， ()TS是有限维空间 ()TX 中的有界集，从而 ()TS 是
列紧集 . 这表明 T 为紧算子 .
定理 3.5.4 设 X 是复 Banach 空间， 是紧算子，则有
（ 1） ()T? 或为有限集，或为以 0 为聚点的可列集，且非零谱点均是特征值 .
（ 2） ( ) ( )TT??? ，这里 T 是 T 的共轭算子 .
（ 3）设 ,??()??? 分别是 T 和 T 的特征值，则对应的特征子空间 L? 和 L? 直交，
即对任意 xL?? , xL?? ，则 ( ) 0xx? .
（ 4）设 0?? 是 T 和 T 的共同特征值，则相应的特征子空间 L? 和 L? 都是维数相同
的有限维空间，且方程 ()I T x y? ??有解的充分必要条件是 y 与 Ker( )IT? ? 直交，方
程 ( ) I T x y? ??有解的充分必要条件是 y 与 Ker( )IT? ? 直交 .
证明从略 .
( , )T L X X?
习题三
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 127
习题三
1. 验证
是 上的一个范数，并证明 是 Banach 空间 .
2. 设 和 是 Banach 空间， 验证
是乘积空间 的范数，并证明乘积空间 在这个范数下也是 Banach 空间 .
3. 设 与 都是赋范线性空间 , 证明
,
是乘积空间 上的范数 .
4. 在 中 , 对每个 , 令
,
求证 和 是 中的两个等价范数 .
5. 设 和 为赋范线性空间，其中 为有限维的， 为线性算子，证明
是连续的 .
6. 如果 为赋范线性空间 的有界线性泛函 , 不恒为 0，则 不是 的稠密集 .
7. 设 ， ，其中
， ，
试证明 T 是有界线性算子 .
8. 设 1?p , 111 ??
qp
, 无穷矩阵 )(ija 适合条件 ??? ??
?
?
?
qp
k j
q
kja1 1 )(
. 作算子 T 如下 :
2
2 1
n
iixx?? ?
n? ? ?2,n ??
X Y
? ? ? ?, , ,x y x y x y X Y? ? ? ?
XY? XY?
? ?1 1,X ? ? ?2 2,X ?
? ?1212m a x ,x x x? ? ?12,x x x?
12X X X??
[0,1]C [0,1]xC?
? ? ? ?111122221200( ) ; ( 1 ) ( )x x t d t x t x t d t? ? ???
1? 2? [0,1]C
X Y X :T X Y? T
f X 1(0)f? X
: nnT ??? 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nnT x x x y y y??? ? ???
1
n
i ij jjy a x??? 1,2, ,in? ???
第三章 Banach 空间
128 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
pi lxTxy ??? )(, ? , ),2,1(:)(
1 ?????? ?
?
? kay j jkjkk ???
，
试证 T 是 pl 到 pl 的有界线性算子 .
9. 设 YX, 是赋范线性空间 , YXT ?: 是线性算子 . 若 T 有界 , 则 T 的零空间
( ) { }N T x X Tx? ? ? 0是 X 的闭子空间 .
10. 设
1sup| |kn ?? ???
, 在 1l 上定义算 子 :T y Tx? , 其中
{}kx ?? ， ? ? {}kk ky ?? ??? ， 1,2,k? ?
证明 T 是 1l 上的 有界线性算子 并且
1|| || sup ||n kT ???
.
11. 设 ,,XYZ 都是 Banach 空间 , 若 12( , ), ( , )L X T L ZT ZY??, 且对 任意 x X? ， 算
子方程 yTxT 21 ? 有唯一解 Txy? , 证明 ( , )T L X Y? .
12. 设 nM 表示 nn? 的实矩阵空间 , 对于 nij MaA ?? )( , 定义 ??
ji ijaAn ,)(
.
（ 1） 证明 11 )( xAnAx ? , 这里 nx?? , n? 具有范数 ?
??
n
i ixx 11
;
（ 2） 设 MBA ?, ， 证明 )()()( BnAnABn ? .
13. 设 为 Banach 空间， 为赋范线性空间，对任意的 ， 有界线性算子列
满足 , 证明 .
14. 设 是区间 上的连续函数 ， 对任意 ，定义
，
证明 是有界线性泛函 .
15. 设 是赋范线性空间 , 证明泛函 是有界的 , 但不是线性的 .
16 在 上 , 定义的算子
, ，
其中 的前 个分量为 ，证明：
X Y x X?
{ } ( , )nT L X Y? lim nn T x Tx?? ? ( , )T L X Y?
0()yt [, ]ab [ , ]x Cab?
0( ) ( ) ( )baf x x t y t dt? ?
f
X ( ) || ||f x x?
2l
12(0 , 0 , , 0 , , , )nT x x x? ?? 212( , , , , )nx x x x l? ? ???
nTx n 0
习题三
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 129
（ 1）算子 是有界线性算子；
（ 2）算子列 并不强收敛（提示：考察 ，其中 ）；
（ 3）证明 弱收敛于 .
17. 设无穷矩阵 满足 ， 定义为
证明 .
18. 设 是赋范线性空间 的闭线性子空间 , 证明 : 若 , 且 弱收敛于 ,
则 .
19. 设 为赋范线性空间 的闭子空间 , ( , )T L DY? ， 证明 为闭算子 .
20. 设 都是赋范线性空间 , 是闭算子，若有逆算子 , 则
必为闭算子 .
21. 设 , ，定义 如下： ''( ), ( )Tx x t x Dt?? ?， 证
明 是闭线性算子 ，但不是有界算子 .
22. 试用闭图像定理证明逆算子定理 .
23. 设 X 是 Banach 空间 , G 是 X 的闭子空间 , T 是由 G 到有界数列空间 M 的有界
线性算子 , 则 T 一定可以延拓为 X 到 M 的有界线性算子 T~ , 且满足 TT ?~ .
24. 设 nxxx ,,, 21 ??? 是 ),( ?X 中线性无关元 , ????? },,,{ 21 n??? , 这里 ? 代表数
域 . 证明在 X 上存在线性泛函 f 满足 kkxf ??)( , nk ,,2,1 ???? 且 Mf ? 的充要条
件是 : 对任意的数 ????? n??? ,,, 21 , 有
11| | || ||
nn
k k k kkkMx? ? ??????
.
25. 设 是 Banach 空间 上恒等算子，则 不是紧算子 .
nT
{}nT 1{}nTx 1 (1, 0, , 0, )x ? ??
??nT 0
? ?ija
1sup iji j a
?
? ???
:Tl l???
121 1 1( , , , , )j j j j ij jj j jT x a a a? ? ?
? ? ?
? ? ?? ??? ???? ? ?
1sup iji jTa
?
?? ?
M X ? ?nxM? nx 0x
0xM?
D X T
,XY :T X Y? 1 :T Y X? ?
1T?
[0,1]XC? 1[0,1]DC? :T D X?
T
I X I
第三章 Banach 空间
130 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
26. 对任意 ，定义如下两个映射：
， ，
证明 均为 到 的线性算子，请问 是否为算子 T 和 S 的谱点？若是， 属于什
么谱？说明理由 .
27. 在空间 上考虑算子 ，证明 是线性算子，并求 .
28. 设 YX, 是 Banach 空间 ， :TXY? 为 线性算子 ， 又设 对任意 fY? ， ? ?Txfx?
是 X 上的有界线性泛函 ， 证明 T 是连续的 .
? ? 21 2 3, , ,xl? ? ?? ??? ?
3120 , , , ,1 2 3Tx ?????? ??????? 324, , ,1 2 3Sx ?????? ???????
,TS 2l 2l 0 0
[ , ]Cab ( ) ( )Tx t tx t? T ()T?
|
|
