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目 录
第一章 预备知识 ................................................................................................ 1
§1.1 集合与映射 ...................................................................................... 1
§1.1.1 集合及其运算 ....................................................................................................... 1
§1.1.2 映射 ....................................................................................................................... 3
§1.1.3 可列集 ................................................................................................................... 5
§1.2 实数集 ............................................................................................. 9
§1.2.1 实直线上的开集和闭集 ....................................................................................... 9
§1.2.2 实数集的基本性质 ............................................................................................. 12
§1.3 一致连续性与一致收敛性 ............................................................... 17
§1.3.1 函数的一致连续性 ............................................................................................. 17
§1.3.2 函数列和函数项级数的一致收敛性 ................................................................. 18
§1.3.3 一致收敛的函数列与函数项级数的性质 ......................................................... 23
§1.4 Lebesgue 积分 ................................................................................ 25
§1.4.1 一维点集的测度 ................................................................................................. 25
§1.4.2 可测函数 ............................................................................................................. 31
§1.4.3 Lebesgue 积分 .................................................................................................... 35
§1.5 重要不等式 .................................................................................... 38
§1.5.1 杨格 (Young)不等式 ............................................................................................. 38
§1.5.2 赫尔德 (H?lder)不等式 ....................................................................................... 39
§1.5.3 闵可夫斯基 (Minkowski)不等式 ........................................................................ 40
§1.6 线性空间 ....................................................................................... 42
§1.6.1 线性空间的基本概念 ......................................................................................... 42
§1.6.2 线性算子与线性泛函 ......................................................................................... 44
习题一 .................................................................................................. 45
第二章 度量空间 .............................................................................................. 49
§2.1 度量空间的基本概念 ...................................................................... 49
ii
§2.1.1 度量空间的定义及例 ......................................................................................... 49
§2.1.2 度量空间中点列的收敛性 ................................................................................. 53
§2.2 度量空间中的点集与连续映射 ........................................................ 55
§2.2.1 开集与闭集 ......................................................................................................... 55
§2.2.2 稠密性与可分性 ................................................................................................. 59
§2.2.3 度量空间上的连续映射 ..................................................................................... 61
§2.3 度量空间的完备性 ......................................................................... 63
§2.3.1 完备的度量空间 ................................................................................................. 63
§2.3.2 第一纲集和第二纲集 ......................................................................................... 67
§2.3.3 度量空间的完备化 ............................................................................................. 69
§2.4 度量空间的紧性 ............................................................................. 71
§2.5 压缩映射原理 ................................................................................ 76
习题二 .................................................................................................. 81
第三章 Banach 空间 .......................................................................................... 85
§3.1 赋范线性空间 ................................................................................ 85
§3.1.1 基本概念及其性质 ............................................................................................. 85
§3.1.2 有限维赋范线性空间 ......................................................................................... 90
§3.2 有界线性算子 ................................................................................. 93
§3.2.1 基本概念及其性质 ............................................................................................. 93
§3.2.2 线性算子空间 ..................................................................................................... 96
§3.3 几个重要定理 ............................................................................... 101
§3.3.1 共鸣定理 ........................................................................................................... 101
§3.3.2 开映射 逆算子及闭图像定理 ......................................................................... 104
§3.3.3 Hahn-Banach 定理 ............................................................................................. 109
§3.4 共轭空间与共轭算子 ..................................................................... 113
§3.4.1 共轭空间 ........................................................................................................... 113
§3.4.2 共轭算子 ........................................................................................................... 120
§3.5 算子谱理论简介 ........................................................................... 122
习题三 ................................................................................................ 127
第四章 Hilbert 空间 ........................................................................................ 131
§4.1 内积空间的定义及其性质 ............................................................... 131
iii
§4.2 Hilbert 空间的正交系 .................................................................... 134
§4.2.1 正交投影 ........................................................................................................... 134
§4.2.2 正交系 ............................................................................................................... 138
§4.3 Hilbert 空间的有界线性算子 .......................................................... 147
§4.3.1 自共轭空间与共轭算子 ................................................................................... 147
§4.3.2 自共轭算子与投影算子 ................................................................................... 153
§4.3.3 正算子 ............................................................................................................... 160
习题四 ................................................................................................ 166
第五章 非线性分析初步 ............................................................................... 171
§5.1 抽象函数的微分和积分 ................................................................. 171
§5.2 非线性算子的微分 ....................................................................... 174
§5.2.1 Fréchet 可微和 Gateaux 可微 ............................................................................ 174
§5.2.2 微分中值定理 ................................................................................................... 178
§5.2.3 隐函数与反函数定理 ....................................................................................... 180
§5.3 凸集与凸泛函 .............................................................................. 184
§5.3.1 凸集分离定理 ................................................................................................... 184
§5.3.2 凸泛函 ............................................................................................................... 190
§5.4 泛函的极值问题 ........................................................................... 193
§5.4.1 极值存在的条件 ............................................................................................... 193
§5.4.2 最速下降法 ........................................................................................................ 198
§5.4.3 鞍点定理 ........................................................................................................... 201
§5.4.4 Hilbert 空间上的凸泛函极值 ............................................................................ 205
习题参考答案 ................................................................................................... 209
习题一 ................................................................................................ 209
习题二 ................................................................................................ 217
习题三 ................................................................................................ 225
习题四 ................................................................................................ 231
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