  2022年08月30日星期二 小丫同学的初中暑假最后一天。 七月份，县中预报名时发了一本新高一衔接暑假作业，小丫同学完成后，坚决不肯再做任何我提议的预习，每天除了画画，就看动画片。有时我会很焦虑：这高中生年纪，别人家姑娘估摸都看看言情小说、电视剧之类的吧？我家这个，咋还整天喜羊羊与灰太狼？ 分班信息出来后，小丫同学自己去了趟学校。新同学很快有了新群，她不断感叹新同学可真卷啊，她忍不住也捡起课本。可不，今天练习时，提出个为什么，挺有意思，我赶紧记下。暗自决定，以后时常记录小丫同学的高中生活触动，暂时就名《高中记》。 北师大版普高教科书数学必修一第一章《预备知识》第三节《不等式》第27页上，定义了基本不等式、算术平均值与几何平均值。前两个，小丫同学很容易就看懂，她说初中时学过差不多的。可到第三个“根号ab称为a，b的几何平均值。”她问:“为什么这样叫几何平均值？” 我这没教过高中数学的初中教师一下子被问懵：我哪知道为什么啊？楞了一下，后来这样回答她:“这是书上给的一个新定义。按照这个定义规定的方法，学会使用它即可。就像数学家们规定1+1=2，我们从它开始学计算，可陈景润也没办法说清楚为什么要让1+1=2，我们普通人就更说不清为什么了。将来你要能去读研，读博，就可以研究这些为什么，要不然怎叫研究生？” 小丫同学满脸怀疑，不甘心，又质疑。“可为什么他们要这样定义几何平均值呢？我还是想知道。”我想了想，只能用初中数学中定理与公理的差别又类比了一下。要区别“定理”与“公理”，又得重新解释一下“命题”。郭先生听到我们娘俩探讨，忍不住横插一句:“别争了，手机搜一下不就成了。” 原来，几何平均值并不是书中直接字意看到的那样。几个正数的积开项数次方根，才叫这几个正数的几何平均值。譬如，三个正数a，b，c，把积abc开三次方根，才能得到这三个正数的几何平均值。几何平均值，是有对象针对性的，必修一里定义的，只是两个非负数的几何平均值。初学者很容易误解为几何平均值是几个数的积开二次方根，其实将来遇到n个正数的几何平均值，得把积开n次方根。 瞅瞅，高一数学会成为绝大多数孩子的噩梦，就因这般。小学数学100分总分能考七八十分的孩子，进入初一刚学前两章《有理数》和《整式的加减》时，倘若还用小学思维学，大概率会考五六十分，很正常；初中数学120分总分能考八九十分的孩子，进入高一学前两章，150分总分考个三四十分都是家常便饭。高中数学知识点，每节课上都爆满，许多细节高中老师还会认为同学们在初中已学过。实际上，可能在初中教学要求里就只是简单选学内容，或是考察得非常基础，只需识记。新课程标准把初高中的数学核心素养结合起来，大抵就是希望教学者能关注到衔接与过渡的自然。 借小丫同学这个“为什么”，我重新翻阅了一下县中使用的北师大版高一数学课本。发觉高中数学课本提出新概念和新定义的过程直接了当，然后多半直接就考察变化的应用。浅白点说，就是你看见一个新东西，知道了这个新东西，得马上照新规则能解相应的变化题。而初中数学，学一个新东西要进行很多铺垫，提倡从观察开始，提出猜想，进行验证，最后再学使用，并且运用过程也单一直接，就是说这节新课学啥，做题时就直接用它。这是一个闭环的思维与经历，可我们初中老师们为了赶进度、追分数，往往更喜欢使用直接有效的刷题策略。 看起来初高中数学最终都回归到运用。可实际上高中数学的运用力度与初中数学完全不一样，几乎没有单一使用度，一定注重变化性。所以，需要孩子们建立起自主探究为什么的思维，否则进入高一数学，每节课都只能囫囵吞枣，很快就会跟不上繁多的新知识运用。 每次一听到郭先生这高中教师埋汰学生不聪明还不努力，我会忍不住埋汰他：“你们高中老师一定要好好宝贝一下已经上高中的孩子们啊！要知道，这些能考进你们重点高中的娃，哪一个在原来初中学校不是偏优秀？上高中后本来落差感就巨大，你们来试试初升高不到百分之三十升学率的感觉，就会知道——那些最优秀的娃，真不是我们老师教出来的，人家就是天生的。或者说，大多数孩子与我们一样只是普通智商，这个时候，家庭教育铸就的好习惯，加上孩子自身努力，也能锻造出真金白银来......”又扯远了。言归正传，总而言之，高中数学得自己多琢磨为什么。反正，我也基本上做不了。哎，回到定理、公理与命题的理解上来吧。 一般地，数学上把对某一件事情作出判断的陈述句叫做命题。命题可用语言、符号或式子表达；结构上，命题由题设与结论两部分组成，题设与结论可用关联词“如果……那么……”来改写，“如果”后面的内容就是假设条件即题设，“那么”后面的内容就是由假设条件推出来的结论；命题分真命题和假命题，题设作出的判断成立就叫真命题，题设作出的判断是错误的就叫假命题。 经过长期实践后公认为正确的命题就叫做公理。用推理的方法判断为真的命题叫做定理。真命题不一定是定理，定理一定是真命题。 有的教师现在直接称公理为基本事实，任何版本的初中数学教材都有关于直线、线段、垂线、平行线的公理。初中数学老师讲课时，会告诉学生“公理是用来推导其他命题的起点。”如“两直线平行，同位角相等”是平行线的性质公理，由它可以去证明到平行线的另两个性质定理“两直线平行，内错角相等”与“两直线平行，同旁内角互补”。 定理的证明是从假设出发，推出结论。也就是说，一个命题的假设成立，由这些假设条件推出的结论也成立，毋需加上额外条件，那这个命题就成为了定理。所以，定理都是已被论证或能被论证的真命题。 数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真命题后便是定理。人类数学史上，有许多非常著名的数学猜想。美国有个数学研究所收集了数学历史上极其重要的十大经典难题，解答出其中任何一题的第一个人可以获得100万美元奖金。目前，只有一个人得过这项奖金，也就是说，还有900万美金等待着未来成为数学家的人们。 因为定理及其证明是处于数学的核心，它们很大程度上也是数学之美的体现。所以定理可以被描述为”平凡” “困难”，或者“深入” ，更甚是“美丽”。当一个孩子能感受到数学之美时，对他而言，任何升学考试，数学就都不会成为问题。那怎样才能让中小学生感受到数学之美呢？这就成了一个课题。 新学期伊始，在讲数学知识点的同时，我准备给孩子们也时不时讲讲数学家和他们发现数学规律的故事。对爱探究“为什么”的孩子而言，指不定在不断的“为什么”里，会产生不同的为什么。感谢小丫同学带给妈妈的思考。（2022.10.04） |
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