1. 阅读导引这是这个系列的最后一篇(当然, Hall的书后面还有三章, 但是那些内容距离常见的物理太过遥远, 讨论的是所谓的几何量子化), 我们重新回到泛函分析的语境中来展开对量子力学的另一种描述方式. 众所周知, 量子力学的正则量子化形式在经典情况下退化为Hamilton正则方程给出的对易关系, 而在Heisenberg绘景下, 算子的运动方程正好具有Hamilton正则方程的形式; 在Schrodinger绘景之下, 态的演化方程则类似于经典的Hamilton-Jacobi方程. 然而我们知道, 经典力学有三个等价形式: Newton形式、Hamilton形式和Lagrange形式. 前两者都在经典的正则量子化中得以体现了, 那Lagrange形式呢? 当然, 我们也知道在量子场论当中, 我们会再次用到Lagrange形式, 不过此时考虑的是某种经典场. 我们也形式上可以给出所谓Schrodinger方程对应的Lagrange量, 但是终究这只是形式上的, 相较于正则量子化清晰的物理意义, Schrodinger方程对应的Lagrange量的物理意义就没有经典力学中那么清晰了. Feynman注意到了这一点, 借助他提出的路径积分, 我们将会看到经典的作用量 如何应用于量子力学. 在这一章中, 我们首先会看到一个重要的公式, 即所谓Trotter乘积公式: 也就是说算子 强收敛到. 这个公式在物理书中通常是直接用的, 毕竟物理书一般不会扯什么强收敛, 而是无穷小展开然后做一个形式上的推导. 这个公式是我们具体写下路径积分的基石. 在得到这个公式之后, 接下来我们会沿着物理学中的思路形式上导出路径积分, 不过需要注意的是在通常的物理书中我们是通过传播子来引出路径积分的, 我们的出发点就是概率幅. 在这本书中我们并没有明确提及传播子. 在形式上导出路径积分之后, 作为数学书, 紧接着要做的就是对路径积分的严格化, 这也是当前数学物理研究中的重要课题, 而且还不是完成时. 书中首先介绍了Kac对路径积分严格化的工作, 引出虚时这个概念. 众所周知, 在某种意义上, 虚时就是温度, 这就将热力学引入其中. 当然, 这个不在本书的故事线当中. 引入虚时的目的在于消除复指数带来的震荡效应(毕竟我们知道), 将虚变量替换为形式上的实数变量, 然后利用实函数的漂亮性质解决问题, 最后将其解析延拓到复数域上. 通过虚时变换, 我们就可以得到一个类似于Gauss积分的形式, 这就进一步引入了Wiener测度, 如果读者阅读过我撰写的随机过程系列, 就会知道Wiener过程张开了一个很庞大的应用领域: 金融分析. 接下来Hall就在路径积分的角度介绍了Wiener测度(按照随机过程中的写法, 按照书中的写法则是), 并且给出了一个重要的结论, 那就是Feynman-Kac公式. 需要说明的是, 这里的Feynman-Kac公式和我在随机过程系列中给出的Feynman-Kac公式是互补的. 在随机过程中我指出对于Ito过程, 由 确定的函数随时间的演化满足 如果我们作虚时变换, 则可以得到 将其和Schrodinger方程 比较, 不难发现其相似之处. 在随机过程中我们是正向进行的, 即已知随机过程, 然后构造某个微分方程得到其特定期望的演化; 而在量子力学中我们是反过来进行的, 我们已知某个微分方程的演化, 现在要把这个微分方程的函数和某个随机过程的期望对应起来. 无论是在金融分析当中, 还是实际的路径积分表述下的量子力学中, Feynman-Kac公式都是相当重要的工具, 因此在某种意义上, 作相关研究的物理学者可以用量子力学中求解Feynman-Kac公式的方式来处理量化金融问题(这大概是做理论物理的人转行到quant中能够和HR吹牛的地方{- . -}). 2. 正文
|
|
|
