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本文是2022年春季学期北京大学通识核心课程“古今数学思想”的优秀作业，作者为北京大学信息科学技术学院的本科生钟作奇。 本文作者借助丰富的历史实例，展现了数学语言无矛盾性的认知意义。作者认为，构筑在公理系统之上的数学是一门演绎的科学，能帮助我们超越时间的局限，在一定意义上摆脱“必然”的约束，深入认识世界的结构。  Vol.1458 器利方工善——数学语言无矛盾性与其对认识世界与未来的意义小探 钟作奇 北京大学信息科学技术学院 本科生 摘要：数学这一门建立在公理体系上的逻辑学科通过演绎构筑其内容，使得统一公理框架下进行的推导得出的结论无矛盾。这种特性极大程度提升了人类认识世界、预测未来的种种能力。本文中，首先将探讨数学语言的无矛盾性与其来源，接着会对利用数学认识世界、预测未来的可能性进行说明；最后，对存在、时间、必然与数学这四个名词大致按理论发展顺序进行了梳理，并就其关系进行了讨论，深化论证了数学语言无矛盾性的意义。 关键词：数学 无矛盾 必然 理性认识 数学语言的一个特征是，从相同的条件出发，按不同的思路在同一个公理体系中用数学语言来推理，得到的结论一定是无矛盾的。这是数学家们在抽象的世界中搭建并完善自己的话语城堡的结果，从而也产生了数学真理化的观点。“数学通过自身的公理来阐释自然界，并且从中导出了其他的真理，而不论它们是否会立刻在自然界得到确证，所以数学必须是一致的、相容的”[11]（本文凡以方括号标识的均指向文末所附文献列表，下同）。 以《自然哲学的数学原理》为开端的经典力学自发展以来，自然界中物质所遵循的规律与用数学形式表示了出来，很大程度上助长了决定论与因果律的观点。 这些观点认为，当前时刻的物质状态与自然规律已知的情况下，可以由精炼为数学表达式的物理定律等对即将到来的时刻进行演算，“就没有什么是不确定的了，无论过去还是未来都展现在它眼前”[8]。而近代以来量子力学的发展则对强因果律等发起了挑战，概率波等模型昭示着我们对未来没有绝对的把握，所能把握的是未来时空中事件的概率。（狄拉克、坂田昌一等都批评了概率性的量子力学，但都没有提出一个有用的替代模型。详见[8]。） 但无论是因果律还是量子力学中关于未来的概率确定论的观点，其出发点都承认了自然的部分可认识性。但以康德为代表的哲学家坚持“我们不是在认识自然，我们也不能认识自然”的观点，认为知性不能认识物自体，“不是在从大自然得出规律而是给大自然规定规律”，对数学物理认识世界、预测未来的功用给予了另一方面的解释。 本文意图不在于对各位哲学大家的观点进行批驳，仅就自己对数学的严密性以及数学在物理学等自然科学中的应用，探讨在现代科学的语境下，我们对时间、对未来、对确定性可能持有的态度。 一、数学语言的严密性及其原因探讨 恩格斯指出，“和其他所有科学一样，数学是从人们的实际需要上产生的：是从丈量地段面积和衡量器物容积，从计算时间，从制造工作中产生的”。这点与物理学、天文学等自然科学相似：这些学科都是从人们对自然的认识、改造中所抽象出来的模型化的认知工具。 但数学与其他科学不同的是，其他学科感兴趣的抽象是由观察测量之经验抽象出来的规律同某个完全确定的现象领域的对应问题、研究已经形成的概念系统对给定现象领域的运用界限问题，和所采用的抽象系统的相应更换问题，并把这三个问题作为最重要的任务之一；数学则完全舍弃了具体现象去研究一般性质，在抽象的共性中考察这些抽象系统本身[6]，而且随着数学的发展，这些理论中数学家根据自己的需要所发展出来的概念，可能在现实中不存在其映射，抑或存在其映射——巧妙的是，抽象系统发展时可能并没有考虑之。从内部看，数学是一门演绎的学科，以某些公设为起点，通过严格演绎过程达到许多定理，这就构成数学[7]。 我们以例子来阐述这个观点。在量子论尚未提出时，维恩、瑞利从不同的模型与定律假设出发，导出了两个不同的黑体辐射谱公式，其中维恩的公式在短波区符合得较好，长波区存在系统偏离；瑞利的公式在长波区符合较好，但在短波区偏离非常大。这是物理学研究中对于未了解现象的一种较为典型的研究过程：抽象出新的模型，运用已有认知对模型进行分析，并与实际情形进行验证，确定模型的适用范围、准确性等。（普朗克对于量子的假说会在后文中论述）而数学的抽象性使得其能在自身的发展中不断完善对概念的定义，从而使得其能在给定的公理体系中实现自洽的结论——这是其与物理学、生物学等自然科学区别最大的点：在数学的发展中，我们定义概念、完善概念；在自然科学的研究中，我们定义模型、修改模型、确定模型的应用范围。  图为黑体辐射模型 在希腊几何的历史上，欧几里得所作的严格和系统的叙述开启了公理化证明的先河[4]。随着分析的发展，代数、分析的理论系统越来越严格、周密，对应的概念也随着学科分支的细化。任一概念，不管它是怎样被精确地定义了，也还是要变动的，它随着科学的发展而发展和精确化[6]。例如对分数指数幂的定义，在复变函数的概念引入数学后有了明显区别，用复变函数及其多值相关性质来阐释分数指数幂相比原先的讲法来得更优美、统一。这也正是数学发展的目的与要求的体现：建立一套具有确定性、真理性的理论体系。数学家以他们对概念、定义的发展克服了无理数、微积分、非欧几何、四元数中的部分问题[11]，将逻辑与论证一步步取代直觉与经验。 但是我们要意识到，数学（至少在一些数学家看来）并没有达到完全的严密。我们从历史中可以知晓，数学若朝着没有逻辑的方向发展，会给数学家们的认知与理解带来困惑；一些基本概念如无理数、连续性、积分、导数的精确定义并未被所有数学家们接受。这也是直接的定义与公设的定义混杂所带来的问题之一。第三次数学危机后，逻辑主义、直觉主义、形式主义三种流派出现[12]。我们并不认为三种主义谁对谁有着完全的优势，但我们需要看到直觉主义的引入会给公设（公理）体系下的纯粹数学结构体系带来一些非严格的因素。 笛卡尔曾指出，“所有研究目的关乎秩序和尺度的科学都与数学有联系…… 应该有一门普遍的科学来解释所有关于秩序和尺度的知识，独立于对于任何研究对象的运用；这门科学的专名已为长期的用法所神圣化，这就是数学。它在用处和重要性上远远超过依赖于它的科学，证据就是它同时包括了这些科学和许多其他的科学所追求的目的”。[9]承认其论述，我们可以知道，数学的严密性是纯粹数学家发展数学的目的，这正是我们在同一套公理体系中从不同路径进行推导能得到同一结论所“应该感谢”的。 二、数学对认识自然与把握未来的可能性分析 康德指出，“在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学”。我们缘何能应用数学对自然进行认识、对未来进行部分的预测（在承认自然部分可认识性的情况下）？使用数学来研究现实世界的这种可能性的根据在于：数学从这个世界本身提取出来，并且仅仅表现这个世界所固有的关系的形式部分，因此才能够一般地加以应用。这正是我们上文所论述的数学抽象性与逻辑性所带来的。我们在此以数学、物理学的联系为例，分析数学本身与数学的严格性对于人类认识自然、把握未来的可能性。 大数学家、物理学家彭加勒这样认为，“一切定律都是从实验推出；但是要阐明这些定律，则需要有专门的语言……数学为他（物理学家）提供了他能够表述的唯一语言”[13]。物理学是一门以实验为基础的学科，规律从实验中总结而来；物理学家所认为的自然界中存在的客观规律应该是“自称精确”的、普遍的，而实验是个别的：“为了从实验得到定律，就必须加以概括。”而严密的数学语言“能使物理学家揭示出事物的隐藏的和谐，使其以新的方式看待事物”[13]，而不是对事物进行简单与模糊的类比：相似与类比的推演缺少逻辑的必然性，为了让我们对于自然建立的理论、模型能被证明为是正确的，我们需要数学，需要这样一个在同一公理体系内部无矛盾的“公平秤”，来对我们之于自然的认识进行检验。 回到人类历史中。托勒密的《至大论》中，对本轮和不以地球为中心的行星轨道的地心理论进行了数学上推演与证明。虽然其在部分方面在我们现在看来存在谬误（比如否定日心说），但其理论的伟大意义在于，他证明了数学在将复杂甚至神秘的现象合理化过程中的力量[8]。其后，哥白尼的日心说、开普勒的三定律进一步让人们对自然数学规律的合理性给予了更高的认可，宏观宇宙的因果规则被人们所认同，科学从神学中慢慢解放出来。可以说，正是数学的应用，使得“自然获得了理性”[11]，人们在用定量方法认识自然的过程中，逐渐认识到了自然界存在着不以人类意志为转移的客观规律，我们必须服从之；但在服从这些规律之外，人类还可以利用这些规律，对现在的自然产生新的认知，对未来的世界进行部分可行的预测。  图为托勒密体系的宇宙图 1846 年，人类发现了海王星，然而早在 1612 年，伽利略已经在数学演算下推测出其存在；1888 年，赫兹成功证明了麦克斯韦方程中语言的电磁波的存在，为现代通信技术奠定了基础。更为巧妙的是普朗克的量子假说“立说”的过程。前面已经提到，无论是维恩还是瑞利对于黑体辐射的辐射谱公式都不能在各波段内均与实验值良好符合。普朗克则运用内插法给出了在所有波段里与实验值都符合得很好的黑体辐射公式。这个公式起初是半经验的、数学技巧得来的，而后普朗克提出了“谐振子的能量只取某个基本单元的整数倍”这一假说即普朗克的量子假说，才解释了这一半经验的公式——这从经典物理学的眼光看来着实不可思议，就连普朗克本人也感到难以置信[17]。而后，光电效应、康普顿效应等越来越多的实验事实佐证了这一假设，可以认为这一假说已经找到了物理存在的对应，将这一假说作为基础的各种理论对诸如原子、分子稳定性等原先自然科学难题的解释也十分成功。这些例子体现着这样一条路径：人们可以利用从已知现象中抽象总结出的规律，对未知的部分进行预测。如列宁所说，“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践，这就是认识真理、认识客观实在的辩证途径”。而对抽象后的模型进行处理的工具，正是严密的数学。 三、时间、存在与必然的关系小论——从牛顿第二定律说开去 “对于我们笃信物理学的人来说，过去、现在和未来之间的区别只不过是一种顽固的幻觉”，爱因斯坦的这段话道出了物理学家在认为物理定律不随时间而发展变化的前提下，对利用物理学认识世界所抱有的乐观与确信。《自然哲学的数学原理》一书“呈现给人类一个崭新的世界秩序，和一个用一套普遍的、仅用数学表述的物理原理控制的宇宙”[10]。拉普拉斯也曾指出，“我们可以把目前的宇宙状态看作是宇宙过去的结果与将来的原因”，体现了经典物理框架良好运行下以拉普拉斯为代表的一众物理学家对因果论与部分决定论（指物理世界是被决定的， 自由意志仍然可以存在；是“决定论” 即一切决定的弱形式， 但“部分决定论” 坚持物理世界的完全可认识性）的确信：外部世界是被决定的。 “运动的改变与外加的引起运动的力成比例，并且发生在沿着那个力被施加的直线上”，此即为牛顿第二定律的原始表述[16]。用现在的数学形式书写之，即为：  我们可以看到，牛顿第二定律的重要性在于，其使用一个微分方程，建立了物体目前所处空间位置与下一步将处在的空间位置的联系。牛顿的力学三定律、万有引力定律等与在他之前的伽利略、开普勒的工作有着本质区别：伽利略对物体自由下落时满足的运动的量的规律进行了归纳，开普勒对行星运动时满足的几何关系的量的规律进行了归纳，两者都是经验而直观的；牛顿则运用数学推导，将前人的工作纳入其“力”的基本框架下：这个框架以其简约与优美性契合了包括牛顿在内的不少物理学家、哲学家的信条——上帝是位伟大的智者，其创造的宇宙是尽善尽美的。而这个框架正是严格的数学为物理学提供的概念所构成的：若数学失去严格性，其所提供的概念必然失去其可信力。 牛顿运动定理的微分方程形式告诉了世间人，地球上的运动与宇宙星体的运动有着共同的基本原因，并指出了运动的时间与空间之间存在的方程关系式。在牛顿所建立、后人所不断完善的绝对时空观下，似乎一切不具备自由意志的宏观物体的运动都是注定的，我们能通过他们现在的状态、满足的方程推知他们在空间上随着时间流逝的未来：似乎在数理描述的规律约束下，若已知现在各事物其状态的存在，那么从现在开始的时间内，在空间中所发生的事件就成为了必然。 在此，我们来补充讨论时间这个概念的内涵。牛顿的绝对时空观中，空间中的物体公用着相同时间，时间对每个参考系都是“公平”的。感性告诉我们，时间在“流逝”，其运行方向是不可逆的。但在牛顿力学的框架下，我们可以发现，时间似乎并不是不可逆的：将一个盘子打碎后，存在一种可能，各个碎块将会吸收声波中的能量、恢复如初，这个过程是符合经典力学的守恒律的，但直觉上其不可能发生；无论是初状态解释还是耗散解释，都没能将牛顿的绝对时间观与无方向性解释清楚，似乎过去、现在、未来的任何时刻都是一样的。 牛顿的理论仅关注了宏观物体的运动，并未关注宏观物体内部的微观世界。随后发展的气体动理论、统计物理学等，研究了组成宏观物质的微粒世界，结合概率理论，尝试用统计率代替因果率。起初，人们仍然认为，研究微观世界的困难仅存在于粒子数量巨大这一方面，对一给定粒子的运动，仍然可以使用经典动力学与电磁学理论进行分析：可以说，在刚开始研究微观世界时，物理学家并没有放弃绝对因果原则[18]。然而，随着人们对不可逆过程等的研究，人们发现：很难用经典动力学等决定论相关的理论解释诸如不可逆过程等热力学中的现象。决定论的概念遭到挑战。给时间画上“箭头”的，正是热力学中遇到的这些问题。热力学第二定律指出，所有的宏观物理过程都是不可逆的。按照热力学第二定律，孤立系统的自发过程总是从有序向无序过渡，系统的熵（代表系统无序程度的物理量）不会减小，因而熵给所有的孤立系统提供了一个时间箭头[1]。在熵这个箭头的指引下，时间在物理科学的体系下已经具有了方向性，我们似乎已经可以从物理上定义未来，并作为一个观测者判断何是过去何是未来。  图为牛顿所著《自然哲学的数学原理》 到热力学与前期量子论为止，我们对时间的定义并未与空间挂钩，认为时间是绝对的、在各个参考系中均匀以同样速率消逝的（这与我们认知相符）。但爱因斯坦的狭义相对论指出，空间与时间并不是能互相分离而独自存在的普适的量，“将来和过去不如说仅仅是在称作时空的某种东西中的方向”；在其后续的广义相对论体系中，我们再也不能把空间和时间设想成永远前进而不受在宇宙中发生事件影响的东西、被动的场景，他们已经成为了动力学的量，和在其中发生的事件相互影响[10]。我们原来所“信奉”的极其重要的欧氏空间这一先验假设根基摇摇欲坠[5]；所谓“未来”，业已不再是单纯的时间上的概念。这进一步打击了人们对先验理性的信心，“自然不欣赏我们的神话”（爱因斯坦语）。 再次回到“必然”这个话题。狭义相对论随后的量子力学更是为决定论在微观世界中的应用判了“死刑”：电子衍射现象告诉我们，实物粒子在空间中的分布由“概率波”确定；不确定性原理直接阐明了粒子的位置与动量不能同时确定……根据量子力学的观点，宇宙也遵照严格准确的数学形式演化，不过那形式所决定的只是未来发生的概率——而不是说未来一定会发生什么[2]。虽然在量子力学中对概率的意义、粒子如何“选择”它的未来等问题还没有一致的认识；但不管如何，量子力学告诉了我们，宇宙建立在一些奇异、与以往认知不同的体系上[19]。 再说到“存在”。从古至今，各个学科、各个流派给予其各不相同的解释。数学存在往往是由数学自身的抽象与逻辑自洽的要求产生的，多是由逻辑证明得到，相关概念已经在前文论及。物理存在则是科学主义中存在的代表，指由我们观察、探测所得的实在，又或是由经归纳法所得的物理规律经过推导而预测出的实在。这正分别与理性主义、经验主义研究世界的方法一致；而两种研究方法对于人类认识的增进有着不同的影响。如果科学推理仅限于算术逻辑过程，那么我们在理解物理世界的道路上将不能行之太远[3]。前面已经提到，数学，尤其是逻辑主义学派，将数学建立在公理的框架上，由演绎法获得整个数学体系；这的确是方便了其余学科对数学的运用，但我们对于外部世界的认识是不能通过数学与数学存在的认识而直接增加的：推理是等价的，我们增加的是认识世界的工具而不是“知识”。所以我们说，数学不是真理，只是通往真理的桥梁。 人类发展科学、追求真理，是为了“解谜”[15]；或者说，把握某些现象之间的关系并加以利用。“必然”可以看作是事物以稳定方式相联系、原因的小扰动只能引起事件的小变化的事件的共同称呼，而“偶然”则是事件与原因以不稳定的方式相联系、原因的无论多么小的扰动都能引起事件性质显著不同的事件的共同称呼——这个定义不依赖人类知识的丰富与否：即使我们承认宇宙中的一切都是决定性的，也不能否认偶然事件的发生[8]。量子力学中不确定性关系宣告了从观察上界定那些精确条件并试图通过这些精确条件来进行精确物理量的企图的破产。概率，在物理学中更多时候被界定为一类事件中的频率——这意味着其与观察存在着不可逆的关系，是我们关于不确定的事物的知识的一种属性。它可以使我们对不精确的事物给出精确的说明，让我们对偶然的在观察与明确表述出来的观察知识之间引入了一种不可逆关系，这种不可逆性使得现存的物理学体系成为非决定性的[20]。 也就是说，如果我们把未来的必然定义为对尚未发生事件的绝对把握，那么这一定是无法达到的：物理的非决定性已经否认了用观察、推演而对至少微观物体的现在状态进行完全精确的把握的可能性，自然也幻灭了对未来状态完全精确把握的可能；更何况在具有自由意识的人身上以及受人影响的其他事物身上，因为因果链条的一部分存在于我们的意识之内，世界仅仅是被部分决定的[21]。但如若我们对“必然”的内涵进行外延，我们至少对未来是能够做出一些必然性的预计的。我们对于未来不至于完全没有把握：通过数学与自然科学的武器，某些不能完全确定的量，我们可以对其给定一个范围，我们对这个量处在这个范围之中有十足的把握；某些不能确定是否发生的事件，我们可以确定其概率，也相当于对其有了把握。我们不去论定也不能论定人类之于自然仍然处在无知阶段，但所谓“偶然”，并不是人类无知的代名词。 科学家、工程师大都是实用主义者：所谓科学，在某种程度上可以认为是建立在经验主义上的、以实用主义为原则的、可以被证伪的理论[22]。也就是说，我们在对外部世界进行认识时，可以选择能够解释已有实验与数据、表述尽量简单得到可被证伪的适用于研究范围的理论。我们不需要使用大一统理论来讨论苹果的落地问题，不需要用量子力学来讨论宏观物体的运动；类似地，在产品生产中，统计学的 3-sigma 原则用“几乎不可能发生事件发生”说明了“生产线设备几乎一定存在问题”。在这里，第二个“几乎”可以说是对数学的尊重：出现产品某参数在 3-sigma 外时，一定要停下产品线来看看了。这也说明，在科学与工程的语境下，我们可以认为不少事件是符合部分决定论的、特性是可以被观测的、规律是可以被认识的、预测是可以相对准确的——就人类的观察与应用而言。 或许，我们可以对我们想要讨论的四者关系下一些粗浅结论。归纳法所得的科学使用逻辑演绎构筑而成的数学为工具，对我们未达到时空中的物或物物关系（事件）的存在，能进行一些必然的限制。正是（同一公理体系下）数学能从不同路径推导出相同的结论，我们才能相信自己的智慧在数学逻辑下推导出来的理论是正确的、而不是受制于人之上的“超级智慧”的。现代物理给先验理性送上了悼词，大自然是否如我们所料一般存在秩序、设计甚至有目的也不能断定。但确凿无疑的是，我们能用我们手中的数学工具，为令人困惑的复杂自然现象提供了某种理解和控制[9]。“从来就没有什么救世主，也不靠神仙皇帝；要创造人类的幸福，全靠我们自己”，《国际歌》中的这句歌词与前述观点存在着一致性：数学的无矛盾让我们相信逻辑的力量、思想的力量，器足够利，工方可善，这正是数学、科学发展的信念支撑。 “当人类心智越来越多地摆脱外部世界的羁绊时，它能够创造出什么东西，因此它们就愈加充分地让我们在本质上了解人类心智。”这句话道出了彭加勒对数学之于人类心智之地位与作用的评价。人能够完全以必然的把握认识我们所处的世界么？结论恐怕是不能。但在数学中，无限的思想可能给我们了一定的“开脱”。不妨以彭加勒定理——力学体系经过足够长的时间后总可以回复到初始状态附近——来讨论。这是彭加勒由数学证明得到的。“总可以”，是多久的时间？所对应的任何力学体系，我们取气体的扩散过程，那么岂不是得到了气体扩散可逆，与热力学第二定律相违背？那么我们前文论述的存在、时间、必然、难道与数学逻辑的严格性相矛盾？ 回头想想，由彭加勒定律推导出的结果纯粹来自数学逻辑推导，由热力学第二定律推导出的结果一部分来自归纳，而归纳的毛病，我们已经从牛顿运动定律的现状了解了。这样看起来，前者似乎比后者更加可信？私以为两者并不矛盾。 庄子说“吾生也有涯”（《庄子·养生主》），彭加勒定律所说的“总可以”，其实现时间可能会超过人类历史、地质历史，更别谈人的一生了。我们难以在人类的生命历程中对彭加勒所说的复现进行观察。所以我们可以说，热力学第二定律仍然是科学这具有浓厚经验主义与实用主义的体系中非常普适的定律。“而知也无涯”，若以有涯随无涯，以人的生命量度世界的规则，真如庄子所说的“殆已”么？我们不妨以彭加勒本人的话为我们对以上各名词关系的讨论作结：“然而——对于相信时间的人来说却存在着一个奇怪的矛盾——地质史向我们表明，生命只不过是两个永恒死亡之间的短暂插曲，即使在这一插曲中，有意识的思想持续了并且将仅仅持续一瞬间。思想无非是漫漫长夜之中的一线闪光而已。但是，正是这种闪光即是一切事物[14]”。人的躯体、人的寿命是如此渺小，人的心智及其瑰宝逻辑与数学，又是多么伟大。这或许就是数学的无矛盾性更深一层的意义：物质存在的时间是有限的，而思想逻辑的理性光辉能让我们有限的感性认知与大脑在某种时间程度上得以延续。数学，正处在这可贵的理性的前列，且毫无疑问会继续如此[11]。 编辑 中华 校对 鑫淼 |
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