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最近，整个数学界最轰动的新闻是，中国数学家张益唐再次宣布获得重大成果，在朗道-西格尔（Landau–Siegel）问题上取得突破。呃，这话的前一句很容易理解，后一句就完全不知所云，朗道-西格尔问题是啥？  张益唐 实际上，这个新闻对我来说完全不意外。因为我2019年介绍张益唐时（https://mp.weixin.qq.com/s/agbFu5igYdyoT3_ynmtsUw），就提到过他在研究朗道-西格尔零点猜想（Landau-Siegel Zeros conjecture），而且对此很有信心。因此，最近的新闻完全在我的意料之中。 不过我以前并没有调研过朗道-西格尔零点猜想具体说的是啥，现在既然他说他做出来了，我就赶快做了一番调研。然而调研的结论是，这东西完全无法向普通观众解释。虽然我以前给大家讲解过很多硬核的数学问题，但这次真的是太硬了。就像《是，首相》里的经典台词：The Russians are too strong. 然而，我可以向大家解释清楚这事的背景。你如果了解这些，你的知识水平就超过了90%的人。 首先，最基本的问题是，张益唐是谁？其实张益唐现在已经非常有名了，他是数学界少有的饱经磨难、大器晚成的代表。 张益唐1955年出生于上海，1978年进入北京大学数学系读本科，1985年到普渡大学读博士。1991年博士毕业后，由于导师不给他写推荐信，他无法在学术界找到工作，以至于沦落到打各种零工，才能维持得了生活这样子。他送过外卖，卖过炸鸡，还在快餐店当过会计，作过收银员等等。有时他没地方住，只能在车里过夜。  打工是不可能打工的 然而奇妙的是，他在这种环境下都没有放弃数学，仍然经常到图书馆去读代数几何和数论方面的期刊文章。1999年，在他的北大师弟、新罕布什尔州立大学数学系教授葛力明的帮助下，他终于在44岁时获得了一个学术界工作：到师弟的这个系担任临时讲师。  葛力明 2005年，张益唐50岁时，终于从临时讲师成为正式讲师，因为他的微积分讲得很好。按照正常的轨迹，他似乎会在这个位置上平稳地退休。 然而，命运的车轮在这时才开始转动。2013年，张益唐在58岁时发表了石破天惊的论文《质数间的有界距离》（Bounded gaps between primes），这是人类几百年来在孪生质数猜想（twin prime conjecture）上第一个实质性的进展。  《质数间的有界距离》摘要 什么是孪生质数猜想？这是一个可以用小学数学知识很容易讲清楚的问题，所以我们来好好解释一下。 最前面的几个质数是2、3、5、7、11、13、17等等，它们之间的间隔分别是1、2、2、4、2、4等等。显然，间隔1只会出现一次，即2和3之间，因为2后面就再也不会有偶的质数了。那么，间隔2会出现多少次呢？  100以内的质数和合数表 一个惊人的猜想是：无穷多次！这就是孪生质数猜想。我们把一对相差2的质数称为孪生质数（twin primes），例如3和5、5和7、11和13。孪生质数猜想说的就是，存在无穷多对孪生质数。 实际上，随着自然数的增大，质数会变得越来越稀疏。也就是说，平均而言，相邻两个质数的间隔会变得越来越大。然而，孪生质数猜想说的就是，无论质数间隔变得多大，它总会在后面的某个地方突然缩小到2，这样的事会发生无数次。 目前，我们已知的最大的孪生质数对是：2996863034895 × 2^1290000 ± 1。这是两个大得惊人的数，写成十进制有将近40万位。 孪生质数猜想目前仍然是个猜想，也就是说我们还不知道它对不对，既没有证明也没有证伪。张益唐并没有证明孪生质数猜想，但证明了一个它的弱化版本。张益唐证明的是：存在无穷多对质数，它们的间隔不超过7千万。也就是说，无论质数间隔变得多大，后面总会在某个地方缩小到7千万或以下。假如把这里的7千万换成2，就是孪生质数猜想。 7千万这个数乍看起来很大，但实际上这是个重大的突破。因为在此之前人们并不知道出现无穷多次的质数间隔有没有上限，也就是说它完全可能是无穷大，即质数间隔变得越来越大，越来越大，不再缩小。张益唐的结果是第一次给出了一个有限的上限，即把无限变成了有限。无限和7千万之间是质的区别，7千万和2之间只是量的区别。现在明白这个成果为什么如此轰动了吧？ 张益唐并没有完全挖掘他的方法的潜力。在他的论文发表后，立刻有很多数学家来改进。他们组织了一个合作项目“PolyMath8”来做这件事，包括菲尔兹奖获得者、著名华人数学家陶哲轩在内。  陶哲轩 通过这么多人的努力，目前这个上限从7千万缩小到了246。即我们已经证明了，存在无穷多对质数，它们的间隔不超过246。  PolyMath8项目的当前纪录 这虽然也是不小的进步，但重要性显然不能和最初提出7千万相提并论。此外，这种方法的潜力似乎已经被挖掘殆尽，不足以从246缩小到2。如果想最终证明孪生质数猜想，应该会需要新的思想、新的方法。 在孪生质数猜想取得突破后，张益唐已经成为了一个传奇。但他并没有躺在功劳簿上，他又回到了一个他以前就经常深思的大问题，朗道-西格尔零点猜想。如前所述，我发现这个东西太复杂，无法向普通观众解释。 在这里只能稍微介绍一下背景。整个数学中有个最著名、最困难、也最重要的未解之谜叫做黎曼猜想（Riemann hypothesis），它是决定质数分布的关键。我以前做过六期节目解释黎曼猜想（https://mp.weixin.qq.com/s/vGRa7OLtwNO28Ev3uGJKFA），欢迎大家去看。  用复平面表示黎曼猜想：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都在实部等于1/2的临界线上 黎曼猜想已经相当复杂了，但我觉得看了这六期节目以后，普通人还能理解个八九不离十。而朗道-西格尔零点猜想是一个以黎曼猜想为背景但更复杂的问题，所以我在这里就完全放弃了。大家只需要通过下面的叙述，了解这个问题的重要性就好了。  维基百科上朗道-西格尔零点的定义，如果你能看懂的话…… 张益唐说：“对于数论学家来讲，有两个宇宙。在第一个宇宙里，不存在朗道-西格尔零点。但在第二个宇宙里，存在此零点。我们的困惑是，不知道我们到底生活在哪个宇宙里面。” 他的同事、数论学家Stopple解释说，如果张益唐能证明朗道-西格尔零点猜想，“就像是同一个人被闪电劈中两次”，“如果他从未成名，那么做出这项工作也会让他跟上次一样被世界瞩目”。 张益唐对自己能解决朗道-西格尔零点猜想充满信心，认为没有大的障碍，剩下的都只是技术性问题。英国数学大师哈代（Godfrey Harold Hardy，1877 - 1947）有一句名言：“比起其他任何艺术和科学，数学更是年轻人的游戏。”还有一句名言：“我从没见过哪个年过半百的数学家开创重大的数学进展。”  哈代 有人问张益唐如何看待哈代的这些观点，他的回答是： “这个说法可能对我并不适用。我仍然相信我的直觉，我仍然对自己有信心。我仍然有不少愿景。” 目前，张益唐的论文《离散平均估计与朗道-西格尔零点》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero）刚刚发到网上，还没有正式投稿，所以还存在出错的可能性，要经过同行评审才有定论。如果它正确的话，张益唐就确实被闪电劈中了两次，在58岁做出一次奇迹后又在67岁做出另一次奇迹。只不过对普通人来说，这后一次奇迹比前一次难懂得多，所以我们没法用直观的语言来解释。  《离散平均估计与朗道-西格尔零点》摘要 虽然无法解读细节，我还是可以向大家解读一下这个成果的性质：跟前一次一样，在某个问题上取得了重大突破，但仍然没有解决问题本身。朗道-西格尔零点猜想说的是朗道-西格尔零点不存在，由此会导出一个直接的推论，某个量大于某个量的倒数即-1次方。 朗道-西格尔零点猜想的推论 张益唐不能证明这一点，但可以证明一个较弱的版本，把1换成2022。没错，真的是2022这个数，这个亮瞎眼的数不是在开玩笑！ 《离散平均估计与朗道-西格尔零点》定理1 张益唐在论文中也指出，2022这个估计很可能是可以改进的，就像对孪生质数猜想的7千万可以改进。但同时，不太可能通过目前的思路把2022改进到1，就像对孪生质数猜想无法把7千万改进到2。因此，这篇文章是对朗道-西格尔零点猜想的一个重大进展，但并不是完全解决。不过，张益唐的结果已经足以证明许多悬而未决的命题，把它们变成定理，因此这个成果确实是十分重大的。 张益唐对本文方法潜力的评估 我不久前介绍过，陈景润对哥德巴赫猜想的贡献也是这种性质（https://mp.weixin.qq.com/s/Dl945bPPNNy-qQa_8Q4Ruw）。目标是“1 + 1”，以前人们做的是“9 + 9”以至“1 + 3”等等，陈景润做到了“1 + 2”，只差一步但还差得很远。我想，能了解到这个程度，你的知识水平就超过了99%的人。 陈景润 最后我想说，即使看不懂这些数学细节，张益唐的奇迹仍然可以给我们巨大的鼓舞，告诉我们人永远都可以发挥主观能动性，永远都可以打破界限（https://mp.weixin.qq.com/s/-PTzOj6moD6R5QMzVYC0uQ）。质数的最小间隔有上限，而人的奋斗没有上限。正如《三国演义》中，诸葛亮给周瑜的祭文中的一句话（https://mp.weixin.qq.com/s/bRd1GKUU7ue78qTESlMWlQ）： “始不垂翅，终能奋翼！” |
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