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力的物理本质及数学描述
摘要： 相互作用是一个物体向另一个物体传输能量的机械方式。外力是在物
体间定向流动的机械能。作用力与反作用力是同一股能量的授受或输入与反馈。
运动力既可以描述为动量关于时间的导数，也可以描述为动能关于位移的导数。
弹力可以描述为弹性势能关于形变量的导数。重力可以描述为重力势能关于落差
的导数。力学可定义为关于能量、运动及形变的科学，其任务是通过物体的运动
变化和位形变化研究能量转换、传输、耗散的机制与规律。
关键词： 外力；能量；运动；形变；运动力
0、引言
外力是经典力学的基本概念之一 。牛顿给外力的定义是 :“外
力是施加于物体的作用，能使物体改变静止的或匀速直线运动的
状态。” 1现行的物理教科书通常将外力简称为力或直接叫做作用
力，并将其解读为“一个物体对另一个物体的作用”或“改变物
体运动状态（即产生加速度）的原因”。 2力的定义既没有揭示外
力的物理本质，也未能涵盖外力可能的作用效果。虽然不少物理
学家认为牛顿关于力的概念很难说明力的实质，但他们并没有给
出能够反映力的本质的替代概念。 3那么，外力的本质到底是什
么？应该如何定义和描述外力呢？
1、外力的物理本质
当台球运动员用球杆击打母球去碰撞前方静 止的目标球时，
1 定义中的“作用”是推、拉、提、压等具体动作的抽象概括，该定义亦然停留在现象描述层面。
2 这些解读是对牛顿定义的重新表述，目的是强调施力与受力的相互性和力与运动的因果关系。
3 爱因斯坦在广义相对论中把引力定义是时空的曲率，但把物质的引力说成时空的几何属性难以令人信服。
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如果平击母球的中部就可以把能量完全传输给目标球，从而造成
母球与目标球交换速度的情况。这个连锁反应涉及两个相对独立
的物理过程 :
①用球杆击打母球是给母球赋能的过程 。击球者在神经系统
的调节下把肌肉产生的弹性势能转化成了球杆在空间运动的动
能，球杆在击打母球时又将其动能传给了母球，母球获得能量后
被迫在空间运动。
②两球碰撞是动能在物体间的转化和传递的过程。 在压缩阶
段，目标球的动能转化 成了两个球的弹性势能；在恢复阶段，两
个球释放的弹性势能转化成了目标球的动能。这种结果可以用动
量、动能双守恒方程的联解结果确切地加以论证。
此外，如果让铜球和木球发生对心碰撞，铜球会把部分动能
传给木球使其速度倍增；如果让壁球撞击墙壁，墙壁会将所吸收
的动能回传给壁球并使之反弹。再如，子弹洞穿木板会损失部分
动能而减速；子弹打到土堆里动能会被全部吸收。
显而易见， 相互作用是一个物体向另一个物体传输能量的机
械方式。 施力意味着能量的输出，受力意味着能量的吸收。 外力
是在物体间定向流动的机械能。 外力的大小、方向、作用点分别
代表能量流的强度、方向和归宿。 作用力与反作用力是同一股能
量的授受或输入与反馈。 作用与反作用总是相互依存，同时发生、
同时变化、同时消失。
公元 6 世纪的 约翰 · 斐劳波诺斯 所说的“加诸于抛射体的性
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质”、公元 14 世纪的让·布里丹所说的“ 冲力 ”、牛顿所说的“施
加于物体的作用”、莱布尼茨所说的“活力”，实际上都是指物体
获得的机械能 或动能。牛顿相较于 斐劳波诺斯 的进步就是明确指
出了外力的作用效果。如果用能量语言对牛顿定义进行翻版，就
可以转换为：外力是输送给物体的机械能，能使物体改变静止的
或匀速直线运动的状态。
2、运动性能的数学摹写
我们在研究弹性碰撞时把动量守恒方程和动能守恒方程的
联立实际上是将现象与本质相联系。 动能是决定物体运动状态的
力学原因，动量是反映物体运动状态的力学表象。动能表达式和
动量表达式的函数关系恰恰能够体现这种因果关系。因为，动能
表达式是动量表达式的原函数。即
221mvdvmv? ??
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这就是说，动能可以看作动量在运动中的累积。
牛顿发明的“流数术（微积分）”正是以力学为背景而提出
的，流数被定义为可借运动描述的连续变量的变化率。在匀变速
直线运动中，速度就是一个连续变量，其变化率就是加速度。给
速度、加速度引入质量因子就自然而然地产生了动量和运动力的
概念。
既然运动力与动量存在必然关系，动量变化又是动能变化的
表象，那就意味着从表象上我们应该能够表明运动力与动量的关
4 鉴于本文只以直线运动为例，为行文方便用 x 表示位移矢量， v 、 a 分别代表速度、加速度矢量。
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系，从本质上我们应该能找到运动力与动能的关系。
从现象来看，物体的运动力是其动量对时间的变化率。即
madtmvdf ?? )(
就本质而言，物体的运动力是其动能对空间的变化率。即
madxmvdf ?? )2
1( 2
这就是说，动量、动能、运动力这几个物理量都可以度量物
体的运动性能。其原因是，速度并不是一个简单变量，而是一个
由位移和时间共同决定 的函数。
用物体自身的运动变化反映其力学性能是力学发展史上的
里程碑。虽然牛顿在《原理》已经说明“运动力来自加速度和质
量的结合”，但他并没有把运动力与外力区分开来，也没有给出
计算公式。
1736 年，欧拉的老师伯努利（ J.bernoulli）明确指出 :“为便
于理解，必须将运动力作为一个绝对量，因为它是由物体的质量
和加速度所组成。若以 f 表示运动力， m 表 示质量， a 表示加速
度，则有 maf? 。”
伯努利提出的 maf? 具有划时代意义，从内容上说他是第一
个把物体的运动力与外力区分开来的人，从形式上说他是第一个
用当今通用符号表示质量、加速度及其乘积的人。
3、外力作用效 果的衡量
外力的大小可以用其对物体的作用效果来衡量，而物体受力
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之后的变化可以用其应变力来度量。在一般情况下，外力 F 正比
于物体的应变力 f 。即
fF?
牛顿 在《原理》 中只给出了第二运动 定律的文字表述，并没
有提出第二定律的数学表达式 maF? 。 1736 年，瑞士数学家欧拉
（ Leonhard Euler）在其论文《 Mechanice》中提出了一个与 maF?
神形相通的式子：
Adtnpdc?
式中的 c 、 t 、 A 、 p 分别代表速度、时间、质量和力， n 为
比例常数。若用现在通用的符号替换式中的符号，就可以将其转
换成：
dtdvmnF 1?
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从内容上说欧拉表达式是最能体现牛顿第二定律精神实质
的数学描述。因为只有引入比例系数 n1 ，牛顿第二定律的才可以
写成等式。也就是说牛顿和欧拉都十分清醒地意识到，在通常情
况下外力的作用并不能完全转化为物体的运动变化。用当今的能
量语言说，外界输入的能量并不一定完全转化为物体的动能。必
须申明，欧拉断然不会因为统一力学 单位而引入比例常数。
应该说当今流行的第二定律的数学表达式 maF? ，是欧拉表
达式 Adtnpdc? 和伯努利表达式 maf? 的综合。
5 将微积分引入力学的并非欧拉。 1700年法国数学家瓦里尼翁（ P.Varignon）率先用莱布尼茨创立的微分
符号把速度表示为位移 x 对时间的 t 导数、把加速度 y 表示为速度 v 对时间 t 的导数。 1707年他又提出了
力与加速度的数学关系式。
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4、应变力的能量度量
对于理想模型，在国际单位制下，外力 F 在数值上等于物体
的应变力 f 。即
fF?
而物体的应变力 f 可以用能量来统一度量。
例如，驱动力可以用物体的运动力衡量，而理想物体的运动
力可以描述为动能对位移的导数，即
mamvdxdfF ??? )21( 2
其实质是动能在运动路径上的耗散，等同于物体对外做功。
反过来，动能可以描述为运动力对空间变量的积分，即
221 mvdxmaE k ??? ?
其实质是运动力在运动路径上的累积，意味着外力对物体所
做的功转变成了物体的动能。
又如，压力可以用线性弹簧的弹力衡量，而线性弹簧的弹力
可以描述为位形势能对形变量的导数，即
??? kkddfF ??? )21( 2
其实质是位形势能在恢复形变时的耗散，亦即弹性势能的释
放。
反过来，位形势能可以描述为弹力对位形变量的积分，即
221 ??? kdkE p ? ???
其实质是弹力在弹簧形变过程中的累积，意味着压力所做的
功转换为弹簧的位形势能。
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再如，起重力可以用物体的重力来衡量，而物体的重力可以
描述为重力势能对落差的导数，即
mgm ghdhdPF ??? )(
这意味着重力是重力势能沿力线耗散的形式，即物体在下落
过程释放重力势能的表象。
反过来，物体的重力势能可以描述为重力在其升举路径上的
积分，即
? ??? m ghdhmgE p
这意味着起重是给物体赋予能量的过程，等同 于外力克服重
力做功。
另如，启动力可以用接触面施加于物体的最大静摩擦力来衡
量，最大静摩擦力等于动摩擦力。在滑动过程中，滑动摩擦力由
法向的压力和滑动摩擦因子（切向的咬合效应及电磁纠缠的综
合）共同决定，即
NfF ???
这就是说起动力在数值上等于接触面对物体的最大束缚力。
意味着启动过程是给物体赋予能量的过程，静摩擦力从小到大的
变化说明启动过程是变力做功的过程。
总而言之，经典力 学所涉及的力都可以描述为能量对位移或
形变量的导数。
5、经典力学的能量诠释
我们把 外力诠释为物体之间的能量流 与以往的力学观念并不
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矛盾。 力学可定义为关于能量、运动及形变的科学，其任务是通
过物体的运动变化和位形变化研究能量转换、传输、耗散的机制
与规律 。
经典 静力学 中物体的平衡状态是动能恒定状态。力的合成与
分解就意味着能量流的合成与分解，静力学的五条公理也可视为
能量流合成、分解、平移、替换的矢量运算法则。宏观物体之间
能量流动的方向性是由其作用方式决定的，各种冷兵器、劳动工
具、动力传导装置都能定向传导能量。
经典 动 力学 中物体的运动变化是动能变化的必然结果。外力
对物体做功意味着为物体输送能量，物体对外做功意味着向外输
出或耗散能量。动力可视为促进运动的正能量，阻力可视为阻碍
运动的负能量。牛顿第二定律是物体与外界能量交流的“微分视
觉”，动力学定理是物体与外界能量交流的“积分视觉”，守恒定
律的本质是进出系统的机械能总体平衡、机械能在系统内总量不
变。
就 力的发生机制 而言，弹力是物体因弹性形变而产生的弹性
势能的输出形式。摩擦力是物体接触面间因电子转移而导致的电
磁能的宏观效应。 重力是物体在地球引力场（势力场）中的位置
效应。物体在地 球引力场的某一位置所受的重力犹如试探电荷在
静电场的某一位置受到的电场力。 施力的本质是物体通过变形、
变速等方式输出能量，受力的本质是物体通过变形、变速等方式
吸收或消耗能量。
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从 能量的吸收、储存、输出机制 来说，变形体能够通过形变
吸收、储存、释放能量，一切物体都能通过运动状态的变化消耗
或释放能量。物体在空间的位置变化总是以其结构位形的变化为
基础，可以说物体的结构位形决定其空间态势。人力推拉物体是
间歇性补充能量的过程，而非恒力的持续驱动或牵引。高尔夫球、
火箭的赋能往往是一蹴而就，它们的飞行都由从外界获得的动能
使然。 机械表旋紧的发条是利用形变储能的典型例证，飞轮储能
电源运转的飞轮是利用运动储能的典型例证。
总之，随着科学技术的发展，外力做功已经不是人类为物体
赋能的唯一手段。除了通过人畜的肌肉伸缩对物体施加弹性势能
外，光能、水能、风能、电能、核能、石化能都可以作为运动物
体的即用能源或自备能源。在汉语生活语境中，热能与热力、电
能与电力、风能与风力、水能与水力、核能与核力几乎具有同样
的意义。在社会生活、工程技术、物理教育中普及能量学说和推
广能量语言具有不容忽视的意义。
6、 结束语
我们之所以用能量语言诠释力的概念，是因为能量思想 贯穿
于物理学发生发展的始终，能量学说是 古典物理和现代物理一脉
相承的理论精髓。在拉格朗日力学中，一个动力系统的拉格朗日
函数通常被定义为动能与势能的差值。在哈密顿力学中，一个动
力系统的状态被表征为系统的能量和。而哈密顿力学的精髓以哈
密顿量的形式被引入薛定谔方程。薛定谔方程中 动能运算符和势
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能表达式是分析力学遗传给量子力学和量子场论的理论基因。时
至今日，能量已经成为各种运动形式的统一度量。我们不仅可以
用机械能度量机械运动这种最简单的物质运动形式，而且可以用
引力势能、电磁能、核能诠释引力作用、电磁作用、强相互作用
和弱 相互作用。毋庸置疑，物理学终将蜕变为一门关于物质与能
量的科学，能量转换与守恒定律必然是物质运动的不二法则。
参考文献 :
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